2012届高考数学（理）全国版统编教材学海导航高中总复习（第1轮）课件：11.2离散型随机变量的期望与方差（第1课时）.ppt

1、第十一章概率与统计第讲（第一课时）1考 点搜 索数学期望、方差、标准差的计算公式期望与方差的基本性质，二项分布的期望与方差公式高 考猜 想1.以实际问题为背景，求随机变量的期望与方差.2.利用期望和方差对实际问题进行决策与比较.2 1.若离散型随机变量的概率分布为则称E=_为数学期望或平均数、均值，数学期望又简称期望.x1x2xnPP1P2Pnx1p1+x2p2+xnpn+32.如果离散型随机变量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别为p1，p2，pn，则称D=叫做随机变量的方差.D的 算 术 平 方 根 D叫 做 随 机 变 量 的_，记作_.(x1-E)2p1+(x2-E)

2、2p2+(xn-E)2pn+标准差43.期望与方差的基本性质：(1)E(a+b)=_，D(a+b)=_;(2)若B(n，p)，则E=_，D=_.aE+ba2D npnp(1-p)51.设投掷1颗骰子的点数为，则()A.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=B6解：可以取1，2，3，4，5，6.P(=1)=P(=2)=P(=3)=P(=4)=P(=5)=P(=6)=16，所以D=(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)272.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次

3、数为，则下列结论正确的是()A.E=0.1B.D=0.1C.P(=k)=0.01k0.9910-kD.P(=k)=解：B(n，p)，E=100.01=0.1，P(=k)=A83.有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2，已知E1=E2，D1D2，则自动包装机的质量较好.解：E1=E2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样；D1D2说明甲机包装重量的差别大，不稳定，所以乙机质量好.乙9题型1 利用基本公式求数学期望1.(1)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响.设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有

4、游览的景点数之差的绝对值，求的分布列及数学期望;(2)把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E.10分析：第(2)小题中每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，所以总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为，所以；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为所以.同样可分析得出P(=2)，P(=3).解：(1)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”为事件A、B、C，由已知A、B、C相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)=0.6.11据题意，的可能取值为1，3.其中P(=3)=P(ABC)+P()=20.40.50.6=0.24.

5、P(=1)=1-0.24=0.76.所以E=10.76+30.24=1.48.(2)的所有可能的取值为0，1，2，3.12所以的分布列为所以点评：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.计算数学期望可以在求得分布列后，直接按公式计算即可.0123P13某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1)X的分布列；(2)X的数学期望.14解：(1)X的

6、所有可能取值为0，10，20，50，60.15故X的分布列为(2)X010205060P16题型2 求二项分布的数学期望2.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望.17解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci，i=1，2，3.由题意知A1,A2,A3相互独立，B1,B2,B3相互独立，C1,C2,C3相互独立，Ai,Bj,Ck(i，j

7、，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.18解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知B(3，)，且=3-.所以19故的分布列为 的数学期望0123P20解法2：第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i=1,2,3，由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=所以B(3,),即21故的分布列为 的数学期望点评：若随机变量服从二项式分布时，可由二项分布的期望计算公式(若B(n，p)，则E=np)更简便的求得期望.0123P22为了拓展网络市场，腾讯公司为

8、QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”“QQ音乐”“QQ读书”等市场调查表明，QQ用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为、，现有甲、乙、丙三位QQ用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；(2)记为三人中选择的应用是“QQ农场”或“QQ音乐”的人数，求的分布列与数学期望23解：记第i名用户选择的应用是“QQ农场”“QQ音乐”“QQ读书”分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，且Ai，Bj，Ck(i，j，k=1,2,3且i，j，k互不相同)相

9、互独立，且P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.(1)他们选择的应用互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=.24解：(2)设3位用户选择的应用是“QQ读书”的人数是，由已知B(3，)，且=3-，2526题型3 利用分解与合成原理求数学期望3.甲、乙两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，甲队队员是A1，A2，A3，乙队队员是B1，B2，B3.根据以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：A1胜B1的概率为，A2胜B2的概率为，A3胜B3的概率为，按上述对阵方式出场，每场比赛胜队得1分，负队得0分，设甲、乙两队最后所得总分分别为、，求E、E.27解

10、法1：根据题意，的可能取值为3，2，1，0，且+=3.所以28因为=-+3，所以解法2：设甲队队员Ai(i=1，2，3)每场的得分为i，则=1+2+3.因为1的可能取值为1，0，且29所以同理所以30点评：如果两个随机变量、满足一定的关系式：=a+b，则E(a+b)=aE+b，利用这个公式可方便快捷地求相关随机变量的期望.31某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图(例如：ACD算作两个路段，其中路段AC、CD发生堵车事件的概率分别为).若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E.32解：设1、2、3分别为路段AC、CF、FB中遇到堵车的次数，则其可能取值都为1，0，且=1+2+3.因为所以331.对离散型随机变量的期望应注意：(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.(2)E是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，可取不同值，而E是不变的，它描述E取值的平均状态.34(3)E=x1p1+x2p2+xnpn+直接给出了E的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加.2.对比较复杂的随机变量，可考虑把它拆成几个比较简单的随机变量之和，再把它们的期望相加，就可求得原随机变量的期望.这是期望的分解原理，可避免繁杂的计算.35