2013版高中全程复习方略数学（理） 7-6 空间直角坐标系.ppt

1、第六节空间直角坐标系三年4考高考指数:1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；2.会推导空间两点间的距离公式.1.本节内容属了解内容，一般不单独命题2.本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离；3.通过求点的坐标考查空间想象能力，通过求两点间的距离考查计算能力.1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度,给定正方向,建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系_.坐标原点点O坐标轴_、_、_坐标平面通过每两个坐标轴的平面Oxyzx轴y轴z轴(2)右手直角坐标系的含义当右手拇指指

2、向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向_的正方向.(3)空间中点M的坐标空间中点M的坐标常用有序实数组(x,y,z)来表示，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_.建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.z轴横坐标纵坐标竖坐标【即时应用】(1)思考:空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：三个坐标平面把空间分为八部分.(2)xOz平面内点的坐标的特点是_.【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖坐标不确定.答案:纵坐标为0(3)在空间直角坐标系中，点M(

3、-5,3,1)关于x轴的对称点坐标为_.【解析】关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.答案：(-5,-3,-1)2.空间两点间的距离(1)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=_ 特别地，点P(x,y,z)与坐标原点O的距离为|OP|=_.(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为【即时应用】(1)思考:在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面.(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，

4、则线段AB的中点到原点的距离为_.【解析】由中点坐标公式可得线段AB的中点为(-2,1,1),故到原点的距离为答案：(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面的对称点为P，则=_.【解析】由题意得P(1，-1，1),答案：2求空间点的坐标【方法点睛】1.建立恰当坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.2.求空间中点P的坐标的方法(1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的

5、符号，进而可求得点P的坐标.【例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为_.(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.【解题指南】(1)空间直角坐标系中,点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小.【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A点为坐标原点，AC、AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设A

6、C的中点是D，连接BD，则BDy轴，且BD=，A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1(,1,2),C1(0,2,2).【反思感悟】1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用.2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上.空间中点的对称问题【方法点睛】空间直角坐标系中点的对称规律已知点P(x,y,z)，则点P关于点、线、面的对称点坐标为：点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)点、线、面对称点坐标y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-

7、y,z)xOy平面(x,y,-z)yOz平面(-x,y,z)xOz平面(x,-y,z)【例2】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(-2,-3,-1)，求其他七个顶点的坐标.【解题指南】由题意知，长方体的各顶点关于原点O和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性，据此可写出其他七个顶点的坐标.【规范解答】由题意得，点B与点A关于xOz面对称，故点B的坐标为(-2,3,-1)；点D与点A关于yOz面对称，故点D的坐标为(2,-3,-1);点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3,-1)；由于点A1,B1,C1,D1分别

8、与点A,B,C,D关于xOy面对称，故点A1,B1,C1,D1的坐标分别为A1(-2,-3,1),B1(-2,3,1),C1(2,3,1),D1(2,-3,1).【反思感悟】1.求对称点坐标要看点是关于轴对称还是关于坐标平面对称，明确哪些坐标发生了变化，哪些没变，一定要记清变化的规律2.记清各类对称点坐标间的特征关系是正确解题的关键.空间两点间的距离【方法点睛】1.求空间两点间距离的步骤(1)建立坐标系，写出相关点的坐标；(2)利用公式求出两点间的距离.2.两点间距离公式的应用(1)求两点间的距离或线段的长度；(2)已知两点间距离，确定坐标中参数的值；(3)根据已知条件探求满足条件的点的存在性

9、.【例3】(1)(2012广州模拟)三角形ABC三个顶点的坐标为A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则ABC的形状为_.(2)如图所示，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在棱CD上当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值.【解题指南】(1)利用空间两点间的距离公式判断.(2)确定点P、Q的坐标，利用两点间的距离公式得到|PQ|，然后利用函数知识解决.【规范解答】(1)|AB|=同理，AC2+BC2=AB2，故ABC为直角三角形.答案：直角三角形(2)因为B(0,0,a),A(a,

10、a,0)，P为AB的中点,所以P().又点Q在棱CD上运动，所以可设Q(0,a,z0)，其中z00,a，故|PQ|=因此当z0=时，|PQ|的最小值为【反思感悟】1.解此类问题的关键是确定点的坐标，常出现的错误是将坐标求错.2.利用空间两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长度，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决.【易错误区】求点的坐标时忽略解的讨论致误【典例】(2012 临沂模拟)已知点P在z轴上，且满足|OP|=1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为_.【解题指南】先确定点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可.【规范解答】设点P的坐标为(0,0,

11、z)，由|OP|=1得=|z|=1，故z=1.当z=1时，点P的坐标为(0,0,1),|PA|=当z=-1时，点P的坐标为(0,0,-1),|PA|=答案：或【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易造成失误：(1)忽视对点P坐标的讨论而丢失一个解；(2)不能分析点P的特点，导致引入的参数较多而无法解题.备考建议本节的主要内容为空间坐标系的基础知识，高考对这部分内容考查较少，因此备考时要重视如何恰当地建立空间直角坐标系、如何确定点的坐标以及如何利用两点间的距离公式解决有关问题.1.(2012合肥模拟)已知点A(-3,0,-4)，点A

12、关于原点的对称点为B，则|AB|等于()(A)12 (B)9 (C)25 (D)10【解析】选D.由题意知点B的坐标为(3,0,4),故|AB|=2.(2012东莞模拟)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有()(A)1个(B)2个(C)不存在(D)无数个【解析】选D.在坐标平面xOy内，可设点P(x,y,0)，由题意得=解得y=,xR.所以符合条件的点有无数个.3.(2012惠州模拟)正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1)，B(3,-2,3),则正方体的体积为()(A)8 (B)27 (C)64 (D)128【解析】选C.设正方体的棱长为a，根据条件则有,解得a=4,所以体积为43=64.4.(2012梅州模拟)如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，BC=3,M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为_.【解析】由题意得M为AC1的中点.又A(0,0,0)，C1(2,3,2),故M(1,1).答案：M(1,1)