2013版高中全程复习方略配套课件：11.9离散型随机变量的均值与方差（北师大版.ppt

1、第九节离散型随机变量的均值与方差三年22考高考指数:1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.离散型随机变量的均值是高考考查的重点；2.数形结合、分类讨论是解决均值与方差问题的重要思想方法；3.题型以解答题为主，常与分布列等知识综合考查.离散型随机变量的均值与方差(1)离散型随机变量X的分布列Xa1a2aianPp1p2pipn(2)离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式作用反映了离散型随机变量X取值的_刻画了随机变量X与其均值EX的_“中心位置”平均偏离程度【即时应用】(1)思考：随机变量的均值、

2、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？提示：随机变量的均值、方差是一个常数.样本的均值、方差是一个变量.随着样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.(2)随机变量X的分布列如表，则X的数学期望是_.【解析】由题知：0.20.5m1，m0.3，EX10.220.530.32.1.答案：2.1X123P0.20.5m(3)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的个数，则EX_.【解析】X的取值为0,1,2,3，则P(X0)P(X1)P(X2)P(X3)EX答案：(4)甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量X、Y，其分布列分别为：若甲、乙

3、两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2【解析】甲、乙一天中出现废品数的均值分别为EX00.410.320.230.11，EY00.310.520.20.9，所以EXEY，故乙的技术较好.答案：乙离散型随机变量的均值与方差【方法点睛】求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)理解的意义，写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值的定义求E；(5)由方差的定义求D.【例1】(2011福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂

4、执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)=6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.(3)在(1)、(2)的条件下，若以

5、“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：(1)产品的“性价比”=(2)“性价比”大的产品更具可购买性.【解题指南】(1)利用期望公式和EX1=6以及分布列中的所有概率和为1，联立关于a,b的方程组，解方程组求得a,b的值；(2)根据题中提供的数据，列等级系数X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；(3)根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【规范解答】(1)因为EX16,所以50.4+6a+7b+80.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由，解得(2)由已知得，样本的频率分

6、布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：所以EX2=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1=4.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为=1.2.所以乙厂的产品更具可购买性.【反思感悟】求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先

7、求出随机变量的分布列.求离散型随机变量的分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求概率时，要注意概率类型的确定与转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.与二项分布有关的期望与方差【方法点睛】与二项分布有关的期望与方差的求法(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从B(n,p)，则用公式E=np,D=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(a+b)=aE+b以及E=np求

8、出E(a+b)，同样还可求出D(a+b).【提醒】E(a+b)=aE+b，但注意D(a+b)aD+b，D(a+b)aD.【例2】(2012洛阳模拟)某商场在“五一”节期间搞促销活动，决定从1种品牌的洗衣机，3种品牌的电视机和2种品牌的电冰箱中，选出3种品牌的商品进行促销.(1)求选出的3种品牌的商品中至少有一种是电冰箱的概率；(2)该商场对选出的商品采用有奖销售的促销方案，即在该商品现价的基础上先将价格提高200元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得a元奖金，假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量，求的分

9、布列；(3)在(2)的条件下，问该商场若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？【解题指南】在(1)中利用对立事件求；在(2)中利用二项分布求解；在(3)中利用两个随机变量的关系，比较期望即可.【解析】(1)从总共6种型号的商品中选出3种型号的商品一共有=20种选法.选出的3种型号的商品中没有电冰箱的选法有=4种，所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电冰箱的概率为：(2)设中奖的次数为，则B(3，)，的分布列为：0a2a3aP(3)由B(3，)，E=2，又=a，E=2a,要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此2a200，a100.故每次中奖奖

10、金要低于100元，才能使促销方案对商场有利.【反思感悟】是随机变量,则=f()一般也是随机变量,在求的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.均值与方差的实际应用【方法点睛】均值与方差的实际应用(1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【例3】某突发事件，在不采

11、取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)【解题指南】要确定预防方案的总费用应分别计算出采取预防措施的费用和发生突发事件损失的均值.可从“不采取预防措施”、“单独采取预防措施甲”、“单独采取预防措施乙”、“联合采取甲、乙两种预防措施”四种情况考虑.【规范解答】不

12、采取预防措施时，总费用即损失期望为4000.3=120(万元)；若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为10.9=0.1，损失期望值为4000.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85(万元)；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90(万元)；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)=0.015，损失期望值为4000.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(

13、万元).综合、，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.【反思感悟】解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率.对于实际问题要通过分析题意抽象出具体的数学模型来求解.【满分指导】离散型随机变量均值问题的规范解答【典例】(12分)(2011天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；获奖的概率；(2)求

14、在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX.【解题指南】(1)根据古典概型、互斥事件的概率公式求解；(2)先求出独立事件的概率，再求数学期望.【规范解答】(1)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0,1,2,3),则2分设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2A3，又4分且A2，A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=6分(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.7分10分所以X的分布列是X的数学期望EX=12分X012P【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)求A2的概率时，遗漏

15、两个事件“甲中两白乙中两黑”“甲中一白一黑，乙中一白一黑”当中的一个事件，从而求错概率而失分.(2)在求期望时，不能正确确定X的取值或取每一个值的概率求错致使分布列计算不准确而失分.备考建议解决均值与方差问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对二项分布不能正确理解，错误使用二项分布的期望与方差公式；(2)审题不清、事件类型判断不明导致错误.1.(2011浙江高考)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X

16、=0)=，则随机变量X的数学期望EX=_.【解析】由P(X=0)=可得从而P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=所以EX=答案：2.(2011上海高考)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：请小牛同学计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E=_.x123P(=x)？！？【解析】设P(=1)=P(=3)=a，P(=2)=b，利用概率之和为1的性质，可得2a+b=1,又结合数学期望的公式得E=2(2a+b)=21=2.答案：23.(2012西安模拟)某工厂生产A、B两种型号的产品,每种型号的产品在

17、出厂时按质量分为一等品和二等品.为便于掌握生产状况，质检时将产品分为每20件一组，分别记录每组一等品的件数.现随机取了5组的质检记录，其一等品数如下面的茎叶图所示：(1)试根据茎叶图所提供的数据，分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB;(2)已知每件产品的利润如表一所示，用、分别表示一件A、B型产品的利润，在(1)的条件下，求、的分布列及数学期望(均值)E、E；(3)已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示，该厂有配件30件，可用资金40万元，设x、y分别表示生产A、B两种产品的数量，在(2)的条件下，求x,y为何值时，z=xE+yE最大？最大值是多少？(解答时须给出图示)表一等级利润产品一等品二等品A型4(万元)3(万元)B型3(万元)2(万元)表二项目用量产品配件(件)资金(万元)A型64B型28【解析】(1)由茎叶图知(2)随机变量、的分布列分别是E=40.68+30.32=3.68,E=30.71+20.29=2.71.43P0.680.3232P0.710.29(3)由题意知x，y满足条件目标函数z=3.68x+2.71y,当z过点(4，3)时有最大值，即x=4，y=3时,zmax=22.85.答：当x,y分别为4，3时，z有最大值22.85.