安徽省2023中考数学 第2章 方程（组）与不等式（组）第2节 分式方程及其应用试题.docx

1、第二章方程(组)与不等式(组)第二节分式方程及其应用考 点 帮易错自纠易错点1去分母时,忽略分数线的括号作用1.方程 3x2-1-1x+1=0的解为x=4.易错点2忽略分式方程分母不能为0的条件2.解分式方程 1-xx-2+2=12-x,可知方程的解为( D )A.x=2B.x=4C.x=3D.无解易错点3解分式方程过程中忘记检验3.解分式方程2x+1+3x-1=6x2-1,以下四步中,错误的一步是( D )A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=1易错点4

2、列分式方程时方程两边的单位不统一4.小明每天乘坐公交车上学,他家与公交站台相距1.2 km.已知小明骑共享单车到公交站台所花时间比步行到公交站台少12 min,且小明骑共享单车的平均速度是步行平均速度的2.5倍,则小明步行的平均速度是3.6km/h.方法 帮提分特训1.2020重庆A卷解一元一次方程12(x+1)=1-13x时,去分母后正确的是( D )A.3(x+1)=1-2xB.2(x+1)=1-3xC.2(x+1)=6-3xD.3(x+1)=6-2x2.2020四川乐山解二元一次方程组:2x+y=2,8x+3y=9.解:2x+y=2,8x+3y=9.方法一:-3,得2x=3,解得x=32

3、,把x=32代入,得y=-1,原方程组的解为x=32,y=-1.方法二:由,得y=2-2x,把代入,得8x+3(2-2x)=9,解得x=32,把x=32代入,得y=-1.原方程组的解为x=32,y=-1.3.2020江苏扬州中考节选阅读感悟:有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值,而是关于未知数的代数式的值,如以下问题:已知实数x,y满足3x-y=5,2x+3y=7,求x-4y和7x+5y的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组,解得x,y的值再代入欲求值的代数式得到答案,常规思路运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值

4、,如由-可得x-4y=-2,由+2可得7x+5y=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.解决问题:(1)已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=-1,x+y=5.(2)某班级组织活动购买小奖品,买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元?解:(1)-15解法提示:2x+y=7,x+2y=8,-,得x-y=-1;+,得 3x+3y=15,x+y=5.(2)设每支铅笔x元,每块橡皮y元,每本日记本z元,由题意得20x+3y+2z=32,39x+5y+3z=58,2-,得x+y+

5、z=6,则5(x+y+z)=30.答:购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.4.2020合肥蜀山区模拟九章算术是中国传统数学最重要的著作之一,其中均输卷记载了这样一道有趣的数学问题:“今有凫(注释:野鸭)起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫、雁俱起,问何日相逢.”译文:“野鸭从南海起飞,7天飞到北海;大雁从北海起飞,9天飞到南海.现野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞,问经过多少天相遇.”请列方程解答上面的问题.解:设经过x天相遇,依题意得x7+x9=1,解得x=6316.答:经过6316天相遇.5.2020广东广州粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作

6、,无人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场.今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元,预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%.(1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元;(2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆.解:(1)50(1-50%)=25(万元).答:明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元.(2)设明年改装的无人驾驶出租车是x辆,则今年改装的无人驾驶出租车是(260-x)辆,由题意得,50(260-x)+25x=9 000,解得x=160.答:明年改装的无人驾驶出租车是160辆.6.2020

7、江苏徐州本地某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按千克计费.小丽分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如下表:收费标准目的地起步价/元超过1千克的部分/(元/千克)上海ab北京a+3b+4实际收费目的地质量/千克费用/元上海29北京322求a,b的值.解:依题意,得a+(2-1)b=9,a+3+(3-1)(b+4)=22,解得a=7,b=2.真 题 帮【考法速览】考法1解分式方程(10年2考)考法2分式方程的实际应用(10年1考)考法1解分式方程1.2016安徽,5方程 2x+1x-1=3的解是( D )A.-45B.45C.-4 D.42.2014安徽

8、,13方程4x-12x-2=3的解是x=6.考法2分式方程的实际应用3.2013安徽,20某校为了进一步开展“阳光体育”活动,购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2 000元要多.多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x元,请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用;(2)若购买的两种球拍数一样,求x.解:(1)购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用是(4 000+25x)元.(2)由(1)知购买每副乒乓球拍用去了x元,则购买每副羽毛球拍用去了(x+20)元.由题意,得2000x=2000+

9、25xx+20,解得x1=40,x2=-40(不合题意,舍去).经检验,x=40是原方程的根,x=40.作 业 帮基础分点练(建议用时:40分钟) 考点1分式方程的解及解法1.2020海南分式方程3x-2=1的解是( C )A.x=-1B.x=1C.x=5D.x=22.2019湖南益阳解分式方程x2x-1+21-2x=3时,去分母化为一元一次方程,正确的是( C )A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-1)D.x+2=3(2x-1)3.2020上海用换元法解方程 x+1x2+x2x+1=2时,若设x+1x2=y,则原方程可化为关于y的方程是( A )A.y2-2y+1=0B.y2+

10、2y+1=0C.y2+y+2=0D.y2+y-2=04.2020黑龙江哈尔滨方程2x+5=1x-2的解为( D )A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=95.2020四川成都已知x=2是分式方程kx+x-3x-1=1的解,那么实数k的值为( B )A.3B.4C.5D.66.2020内蒙古齐齐哈尔若关于x的分式方程3xx-2=m2-x+5的解为正数,则m的取值范围为( D )A.m-10且m-67.2020江苏盐城分式方程x-1x=0的解为x=1.8.2020江苏南京方程 xx-1=x-1x+2 的解是x=14.9.2020山东潍坊若关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1有增根,

11、则m=3.10.解方程:x+23x-1=32.解:去分母,得2(x+2)=3(3x-1),去括号,得2x+4=9x-3,移项、合并同类项,得-7x=-7,系数化为1,得x=1.检验:当x=1时,2(3x-1)0,故x=1是分式方程的解.11.2020陕西解分式方程:x-2x-3x-2=1.解:由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2).x2-4x+4-3x=x2-2x.-5x=-4.x=45.经检验,x=45是原方程的根. 考点2分式方程的实际应用12.2020辽宁鞍山甲、乙两人加工某种机器零件,已知每小时甲比乙少加工6个这种零件,甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用

12、的时间相等,设甲每小时加工x个零件,所列方程正确的是( B )A.240x=300x-6B.240x=300x+6C.240x-6=300xD.240x+6=300x13.2020辽宁朝阳某体育用品商店出售毽球,有批发和零售两种售卖方式,小明打算为班级购买毽球,如果给每个人买一个毽球,就只能按零售价付款,共需80元;如果小明多购买5个毽球,就可以享受批发价,总价是72元.已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同,则小明班级共有多少名学生?设小明班级共有x名学生,依据题意列方程得( B )A.5080x=72x+540B.4080x=72x+550C.4072x-5=80x50

13、D.5072x-5=80x4014.2020四川自贡某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是 ( A )A.80(1+35%)x-80x=40B.80(1+35%)x-80x=40C.80x-80(1+35%)x=40D.80x-80(1+35%)x=4015.甲、乙两车同时从A地出发前往B地,其中甲车选择有高架的路线,全程共50 km,乙车选择没有高架的路线,全程共44 km.甲车平均每小时比乙车多行驶20 km,乙车到达B地花费的

14、时间是甲车的1.2倍.问甲、乙两车的平均速度分别是多少.解:设乙车的平均速度为x km/h,则甲车的平均速度为(x+20)km/h.根据题意,得1.250x+20=44x,解得x=55.经检验,x=55是所列方程的解.55+20=75.答:甲车的平均速度为75 km/h,乙车的平均速度为 55 km/h.16.2020江苏扬州如图,某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.进货单商品进价/(元/件)数量/件总金额/元甲7 200乙3 200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:李阿姨:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.王师傅:甲商品比乙商品的数量多40件.请

15、你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.解:设乙商品的进价为每件x元,则甲商品的进价为每件1.5x元,根据题意,得72001.5x-3200x=40,解得x=40,经检验,x=40是原方程的根,1.5x=60,3200x=80,72001.5x=120, 故补全进货单如下:进货单商品进价/(元/件)数量/件总金额/元甲60 120 7 200乙40 80 3 200 综合提升练(建议用时:25分钟)1.2020福建我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运

16、费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( A )A.3(x-1)=6210xB.6210x-1=3C.3x-1=6210xD.6210x=32.若关于x的分式方程2m+xx-3-1=2x无解,则m的值为( D )A.-1.5B.1C.-1.5或2D.-0.5或-1.53.2020湖北荆门已知关于x的分式方程2x+3x-2=k(x-2)(x+3)+2的解满足-4x-1,且k为整数,则符合条件的所有k值的乘积为( A )A.正数B.负数C.零D.无法确定4.2019江西斑马线前“车让人”,不仅体现着一座

17、城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,某路口的斑马线路段ABC横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒,根据题意列方程得6x+61.2x=11.5.2020浙江湖州某企业承接了27 000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间共50名工人,合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天生产25件,乙车间每人每天生产30件.(1)求甲、乙两个车间分别有多少名工人参与生产.(2)为了提前完成生产任务,该企业设

18、计了两种方案:方案一甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.方案二乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变.设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同.求乙车间需临时招聘的工人数.若甲车间租用设备的租金是每天900元,租用期间另需一次性支付运输费等费用1 500元;乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问:从新增加的费用考虑,选择哪种方案能更节省开支?请说明理由.解:(1)设甲车间有x名工人参与生产,乙车间有y名工人参与生产.由题意得x+y=50,20(25x+30y)=27000,解得x=30,y=20.答:甲车间有30名工人参与

19、生产,乙车间有20名工人参与生产.(2)设方案二中乙车间需临时招聘m名工人.由题意得270003025(1+20%)+2030=270003025+(20+m)30,解得m=5.经检验,m=5是原方程的解,且符合题意.答:乙车间需临时招聘5名工人.选择方案一能更节省开支.理由:企业完成生产任务所需的时间为270003025(1+20%)+2030=18(天), 故选择方案一需增加的费用为90018+1 500=17 700(元),选择方案二需增加的费用为518200=18 000(元).17 7000,解得m-10,故m的取值范围为m-10且m-6.7.18.x=14去分母,得x(x+2)=(

20、x-1)2;去括号,得x2+2x=x2-2x+1;移项、合并同类项,得4x=1;系数化为1,得x=14.检验:当x=14时,(x-1)(x+2)0,故x=14是原分式方程的解.9.3去分母得3x=m+3+(x-2),整理,得2x=m+1,关于x的分式方程3xx-2=m+3x-2+1有增根,x-2=0,x=2,把x=2代入2x=m+1,得22=m+1,m=3.10.略11.略12.B根据题意可知乙每小时加工(x+6)个这种零件,故240x=300x+6.故选B.13.B依据题意可知每个毽球的零售价为80x元,批发价为72x+5元,由此列方程,得4080x=72x+550.故选B.14.A由题意可

21、得原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米,所以原计划的工作时间为80x1+35%=80(1+35%)x(天).实际的工作时间为80x天.由“提前40天完成了这一任务”可得80(1+35%)x-80x=40.故选A.15.略16.略综合提升练1.A根据题意可知一株椽的价钱为3(x-1)文,x株椽的价钱为6 210文,所以可列方程为3(x-1)=6210x.2.D方程两边都乘以x(x-3),得(2m+x)x-x(x-3)=2(x-3),即(2m+1)x=-6.分两种情况讨论.(1)当2m+1=0时,原分式方程无解,此时m=-0.5.(2)当2m+10,即m-0.5时,x=-62m+1.关于x的

22、分式方程2m+xx-3-1=2x无解,-62m+1=0或3,m=-1.5.综上,m的值是-0.5或-1.5.3.A解关于x的分式方程2x+3x-2=k(x-2)(x+3)+2,得x=k-217.-4x-1,-4k-217-1,解得-7k14,整数k为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.又分式方程中x2且x-3,k35且k0,所有符合条件的k值中,负整数有6个,正整数有13个,k值的乘积为正数.故选A.4.6x+61.2x=11依题意,得小明通过AB路段和BC路段所用的时间分别为6x秒、61.2x秒,故可列方程为6x+61.2x=11.5.略全国视野创新练B根据题意,得1x-4=2x-4-1,去分母,得1=2-(x-4),解得x=5,经检验,x=5是分式方程的解.故选B.