安徽省黄山市高二期末数学试卷（理科）.docx

1、2022-2022学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则复数z=（）A1iB1+iC2iD1+i2某年龄段的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x85.71，给出下列结论，则错误的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B若该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgC回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，n）中的一个D回归直线一定过样本点的中心点（

2、，）3设随机变量N（2，9），若P（c+3）=P（c1），则实数c的值为（）A1B2C3D04定积分dx的值是（）A +ln2BC3+ln2D5下列说法正确的是（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”C命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b20”D若命题“p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题6一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）ABCD7“x2”是“ln（x1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8将4名教师

3、（含2名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且2名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（）A48B36C30D609已知抛物线y2=8x的准线过双曲线=1（a0，b0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=2x，则双曲线离心率为（）ABCD10设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（）Aa2+b2+c2ab+bc+caBab+2C|ab|+|bc|ac|D11ABC中，若D是BC的中点，则=（+）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体ABCD中，若G为BCD的，则=（+），则处应该填（）A中心B重心C外心D垂线12设函数f（x）=

4、x2+bln（x+1），如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，0）（0，）C（0，）D0，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设（2x）5的展开式中x3的系数为A，则A=14如图，用4种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同的涂色方案有种（用数字作答）15已知抛物线C：y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（，1），则直线l的方程为16已知函数f（x）=exx2在点（x0，f（x0）处的切线与直线x+y6=0垂直，则切点坐标为三、解答题（共6小题，满

5、分70分）17已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（nN+）（）计算a2，a3；（）求数列an通项公式an18甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投4次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过4次（）求甲同学至少投中3次的概率；（）求乙同学投篮次数X的分布列和数学期望19某课题主题研究“中学生数学成绩与物理成绩的关系”，现对高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按“优秀”和“不优秀”分类：数学和物理成绩都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学成绩不

6、优秀的有100人（）请完成下面的22列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4名学生中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的人数为X，求X的数学期望E（X），附：K2=P（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.82822列联表： 数学优秀数学不优秀 总计 物理优秀 物理不优秀 总计20如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（）证明：A

7、E平面PAD（）若AP=AB=2，求二面角EAFC的余弦值21已知函数f（x）=lnx+，其中a0（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在区间2，3上的最小值22已知点P是椭圆E： +y2=1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足=+（）求动点Q的轨迹方程；（）若已知点A（0，2），过点A作直线l与椭圆E相交于B、C两点，求OBC面积的最大值2022-2022学年安徽省黄山市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则复数z=（）A1iB

8、1+iC2iD1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的几何意义先求出复数对应的点的坐标，利用点的对称性进行求解即可【解答】解： =1i，对应的点的坐标为（1，1），复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，复数z对应的点的坐标为（1，1）对应的复数为z=1+i，故选：D2某年龄段的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为=0.85x85.71，给出下列结论，则错误的是（）Ay与x具有正的线性相关关系B若该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgC回归直线至少经过样本数

9、据（xi，yi）（i=1，2，n）中的一个D回归直线一定过样本点的中心点（，）【考点】线性回归方程【分析】根据回归方程为=0.85x85.71，0.850，回归直线一定过样本点的中心点（，），但不一定过样本数据，可知A，B，D均正确，可以判断C错误【解答】解：由线性回归方程=0.85x85.71，0.850，y与x具有正的线性相关关系，故A正确；由线性回归方程可知该年龄段内某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故B正确；由线性回归直线一定过样本点的中心点（，），故D正确；回归直线不一定经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，n）中的点，故C错误，故答案选：C3设随机变量N（2，9）

10、，若P（c+3）=P（c1），则实数c的值为（）A1B2C3D0【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=1对称，根据P（c+3）=P（c1），结合曲线的对称性得到点c+3与点c1关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果【解答】解：随机变量服从正态分布N（2，9），曲线关于x=2对称，P（c+3）=P（c1），c+3+c1=4，c=1故选：A4定积分dx的值是（）A +ln2BC3+ln2D【考点】定积分【分析】求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案【解答】解： dx=ln2ln1+=故选：A5下列说法正确的是

11、（）A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“xR，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”C命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b20”D若命题“p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据四种命题真假关系进行判断，B根据全称命题的否定是特称命题进行判断，C根据逆否命题的定义进行判断，D根据复合命题真假关系进行判断【解答】解：A逆命题和否命题互为逆否命题，逆否命题的真假性相同，则一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但逆否命题不一定为真，故A错误B“xR，x3x2+10”的否定是“

12、xR，x3x2+10”，故B错误，C命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b20”，故C错误，D若p为真命题，则p是假命题，若p或q为真命题，则q一定是真命题，故D正确故选：D6一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：，所以h=故选B7“x2”是“ln（x1）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不

13、充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由ln（x1）0，得：0x11，解得：1x2，故x2是1x2的必要不充分条件，故选：B8将4名教师（含2名女教师）分配到三所学校支教，每所学校至少分到一名，且2名女教师不能分到同一学校，则不同分法的种数为（）A48B36C30D60【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】首先分析题目4个老师分到3个学校，每个学校至少分到一人，求2名女教师不能分配到同一个学校的种数，考虑到应用反面的思想求解，先求出2名女教师在一个学校的种数，然后用总的种数减去2名女教师在一个学校的种数，即可

14、得到答案【解答】解：考虑用间接法，因为2名女教师分配到同一个学校有32=6种排法；将四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师有C42A33=36种排法；故2名女教师不能分配到同一个学校有366=30种排法；故选：C9已知抛物线y2=8x的准线过双曲线=1（a0，b0）的左顶点，且双曲线的两条渐近线方程为y=2x，则双曲线离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，利用准线和双曲线左顶点的关系求出a，结合双曲线的渐近线求出，b，c即可求双曲线的离心率【解答】解：抛物线的准线方程为x=2，抛物线y2=8x的准线过双曲线=1（a0，b0）的左顶点（a，0）

15、，a=2，则a=2，双曲线的两条渐近线方程为y=2x=x=x，=2，则b=4，则c=2，则双曲线的离心率e=，故选：D10设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式不恒成立的是（）Aa2+b2+c2ab+bc+caBab+2C|ab|+|bc|ac|D【考点】基本不等式；不等式的基本性质【分析】Aa，b，c是互不相等的正数，可得（ab）2+（bc）2+（ac）20，展开化简即可判断出结论；Bab时，（ab）+=2，即可判断出正误；C由绝对值的不等式的性质即可判断出结论；D平方作差=220，即可判断出结论【解答】解：Aa，b，c是互不相等的正数，（ab）2+（bc）2+（ac）20，展开化为a2+

16、b2+c2ab+bc+ca，因此恒成立；Bab时，（ab）+=2，因此不恒成立；C由绝对值的不等式的性质可得：|ab|+|bc|ab+bc|=|ac|，因此恒成立；D=220，+，因此，因此恒成立综上可得：只有B不恒成立故选：B11ABC中，若D是BC的中点，则=（+）是真命题，类比该命题，将下面命题补充完整，使它也是真命题：在四面体ABCD中，若G为BCD的，则=（+），则处应该填（）A中心B重心C外心D垂线【考点】三角形五心；向量的线性运算性质及几何意义【分析】在ABC中，D为BC的中点，则有=（+），平面可类比到空间就是“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”得结论【解答】

17、解：由“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”，有：在四面体ABCD中，若G为BCD的重心，则=（+）事实上，如图：若G为BCD的重心，连接BG并延长交CD于E，连接AE，则=故选：B12设函数f（x）=x2+bln（x+1），如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，0）（0，）C（0，）D0，【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由于函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值f（x）=0在（1，+）有两个不等实根g（x）=2x2+2x+b=0在（1，+）有两个不等实根0且g（1）0，解出即可【解答】解：函数f（x）在定义域内既有极大值又

18、有极小值，f（x）=0在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（1，+）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则=48b0且g（1）0，0b故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设（2x）5的展开式中x3的系数为A，则A=40【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案【解答】解：设（2x）5的展开式的通项公式为Tr+1，则Tr+1=25r（1）rxr，令r=3，则A=（1）3253=40故答案为：4014如图，用4种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，则不同

19、的涂色方案有84种（用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】本题是一个分类问题，B，C同色，有4种选择，A有3种选择，D有3种选择，当B，C不同色时，A有4种选择，B有3种选择，C有2种选择，D有2种选择，根据分类计数原理得到结果【解答】解：分类讨论：B，C同色，有4种选择，A有3种选择，D有3种选择，共有433=36种不同的涂色方案；B，C不同色，共有4322=48种不同的涂色方案；共有36+48=84种不同的涂色方案故答案为：8415已知抛物线C：y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为（，1），则直线l的方程为y=2x【考点】抛物线的简单性质【分析】设出

20、A，B的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求得直线l的斜率利用点斜式方程即可得到结论【解答】解解：设A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线，y12=4x1，y22=4x2，两式作差可得：y12y22=4（x1x2），即4（x1x2）=（y1y2）（y1+y2），即AB的斜率k=，线段AB的中点为（，1），=1，则y1+y2=2，k=2即直线l的斜率为2则对应的方程为y+1=2（x），即y=2x，故答案为：y=2x16已知函数f（x）=exx2在点（x0，f（x0）处的切线与直线x+y6=0垂直，则切点坐标为（0，1）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析

21、】求出函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得ex0=1，设g（x）=exx1，求得导数和单调区间，和最值，即可得到切点坐标【解答】解：f（x）=exx2的导数为f（x）=exx，可得在点（x0，f（x0）处的切线斜率为k=ex0，由切线与直线x+y6=0垂直，可得ex0=1，设g（x）=exx1，导数为g（x）=ex1，当x0时，g（x）0，g（x）递增；当x0时，g（x）0，g（x）递减则g（x）在x=0处取得极小值，且为最小值0即有ex0=1的解为x0=0，f（x0）=e00=1则切点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）三、解答题（共6小题，满分70分）17已知

22、数列an满足a1=1，an+1=2an+1（nN+）（）计算a2，a3；（）求数列an通项公式an【考点】数列递推式【分析】（I）由a1=1，an+1=2an+1（nN+），令n=1，2即可得出（II）由an+1=2an+1，变形为：an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：（I）a1=1，an+1=2an+1（nN+），a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7（II）由an+1=2an+1，变形为：an+1+1=2（an+1），数列an+1是等比数列，公比为2，首项为2an+1=2n，解得an=2n118甲、乙两同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概

23、率均为，且各次投篮的结果互不影响，甲同学决定投4次，乙同学决定一旦投中就停止，否则就继续投下去，但投篮总次数不超过4次（）求甲同学至少投中3次的概率；（）求乙同学投篮次数X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设甲同学在四次投篮中，“至少投中3次”的概率为P，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出甲同学至少投中3次的概率（）由题意知X可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和E（X）【解答】解：（）设甲同学在四次投篮中，“至少投中3次”的概率为P，则P=（）由题意知X可能取值为1，2，3，4，

24、P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=（）3=，X的概率分布列为： X 1 2 3 4 PE（X）=19某课题主题研究“中学生数学成绩与物理成绩的关系”，现对高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩按“优秀”和“不优秀”分类：数学和物理成绩都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理成绩不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学成绩不优秀的有100人（）请完成下面的22列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（）若将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地依次随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4名

25、学生中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的人数为X，求X的数学期望E（X），附：K2=P（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.82822列联表： 数学优秀数学不优秀 总计 物理优秀 物理不优秀 总计【考点】独立性检验的应用【分析】（1）由题意得列联表，可计算K216.66710.828，可得结论；（2）可得数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的概率为0.3，由题意可知XB（4，0.3），可得期望【解答】解：（1）由题意可得列联表：物理优秀物理不优秀总计数学优秀60140160数学不优秀100500640总计200600800因为K2=16.66710.828所以

26、能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关；（2）每次抽取1名学生成绩，其中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的频率=0.3将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学、物理两科成绩恰有一科“优秀”的概率为0.3由题意可知XB（4，0.3），从而E（X）=np=1.220如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC=60，E，F分别是BC，PC的中点（）证明：AE平面PAD（）若AP=AB=2，求二面角EAFC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）推导出PAAE，BCAE，从而ADAE，由此能证明A

27、E平面PAD（）推导出平面PAC平面ABCD，过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连结ES，则ESO为二面角EAFC的平面角，由此能求出二面角EAFC的余弦值【解答】证明：（）PA面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，又底面ABCD为菱形，ABC=60，ABC是正三角形，又E是BC的中点，BCAE，又BCAD，ADAE，又ADPA=A，PA、AD平面PAD，AE平面PAD解：（）PA平面ABCD，PA平面PAC，平面PAC平面ABCD，过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，连结ES，则ESO为二面角EAFC的平面角，在RtAOE中，EO=AEsin3

28、0=，AO=AEcos30=，又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=，又SE=，在RtESO中， =，二面角EAFC的余弦值为21已知函数f（x）=lnx+，其中a0（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）求函数f（x）在区间2，3上的最小值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值【解答】解：（）f（x）=（x0），a=1时，f（x）=，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：x1，f（x）在（0，1）递减，

29、在（1，+）递增；（）a时，f（x）=0在2，3恒成立，f（x）在2，3递增，f（x）的最小值是f（2）=ln2；a时，令f（x）0，解得：x3，令f（x）0，解得：2x，f（x）在2，）递减，在（，3递增，f（x）的最小值是f（）=ln+1；0a时，f（x）0在2，3恒成立，f（x）在2，3递减，f（x）的最小值是f（3）=ln3；综上，a时，f（x）的最小值是f（2）=ln2；a时，f（x）的最小值是f（）=ln+1；0a时，f（x）的最小值是f（3）=ln322已知点P是椭圆E： +y2=1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，动点Q满足=+（）求动点Q的轨迹方程；（）若

30、已知点A（0，2），过点A作直线l与椭圆E相交于B、C两点，求OBC面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由a2=4，b2=1，可得c=，可得，F2=设Q（x，y），P（x0，y0）由动点Q满足=+，可得，y0=，代入椭圆方程即可得出（II）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx2B（x1，y1），C（x2，y2）与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x216kx+12=0，由0，解得k2利用根与系数的关系SOBC=SOACSOAB=|OA|（|x2|x1|）=|x2x1|=代入换元利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（I）a2=4，b2=1，c=，F2=设Q（x，y），P（x0，y0）动点Q满足=+，解得，y0=，代入椭圆方程可得： =1，动点Q的轨迹方程为： =1（II）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx2B（x1，y1），C（x2，y2）联立，化为：（1+4k2）x216kx+12=0，由0，解得k2x1+x2=，x1x2=SOBC=SOACSOAB=|OA|（|x2|x1|）=|x2x1|=令=t0，化为4k2=t2+3SOBC=1，当且仅当t=2时取等号，此时k=（SOBC）max=1