2015高中数学 1.6.2.2平面与平面垂直的性质 课件（北师大版必修2）.ppt

1、1.应用面面垂直的性质定理时要注意的问题(1)四个条件缺一不可“，=l，a，al”.(2)一般要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点，作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直.面面垂直的性质定理的应用2.面面垂直的两个重要结论(1)若两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内.(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面.应用面面垂直的性质定理时，恰当利用平面几何知识，在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键.【例1】(2011福建八市联考)如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AFBE，AFEF，求证：EA平面A

2、BCD.【审题指导】解答本题的关键是证明EAAB，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AFBE，AFEF，等条件计算AB、AE、BE的长度，利用勾股定理逆定理证明.【规范解答】设AF=EF=a，则BE=2a.过A作AMBE于M，AFBE,AMAF.又AFEF AMEF，四边形AMEF是正方形.AM=a，EM=MB=a,AE2+AB2=EB2，AEAB.又平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB,AE 平面ABEF,EA平面ABCD.折叠问题的解答要注意以下几点(1)抓住折叠前后不变的垂直关系；(2)抓住折叠前后不变的平行关系；(3)抓住折叠前后不变的长度和角度等不变量.一般地，

3、在折线同侧的量折叠前后不变，跨过折线的量，折叠前后可能会发生变化.折叠问题【例2】如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=2AB=2a，ACBD=E，将其沿对角线BD折成直二面角.求证：(1)AB平面BCD;(2)平面ACD平面ABD.【审题指导】(1)由线段AB、AD、BD的长度关系可证ABBD，结合平面ABD平面BCD，可利用面面垂直的性质定理证明线面垂直.(2)利用(1)的结论可知平面ABD的垂线，即可证出.【规范解答】(1)在ABD中，AB=a，AD=2a，AB2+BD2=AD2ABD=90,ABBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，AB 平面ABD,AB平面BCD

4、.(2)四边形ABCD是平行四边形，且ABBD，CDBD.AB平面BCD，ABCD.又ABBD=B,CD平面ABD.又CD 平面ACD,平面ACD平面ABD.垂直的转化关系平行、垂直关系的综合应用是面面垂直的定义;是线面垂直的判定定理.是线面垂直的定义.是面面垂直的判定定理.是面面垂直的性质定理.是线面垂直的性质定理.是若ab，a，则b.是若，a，则a.是若a，a，则.由以上可知线面垂直是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，也是联系“垂直关系”与“平行关系”的重要环节.【例3】(2010江西高考改编)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，O为CD的中点，

5、连接AM并延长交平面BCD于点E,连接CE，DE.(1)求证：B、O、E三点共线.(2)求证：四边形BCED是平行四边形.【审题指导】(1)证明三点共线的基本方法是由其中两点确定一条直线，并说明此直线是某两个平面的交线，然后再证明点在这两个平面的交线上.(2)证明的关键是说明对角线互相平分.【规范解答】(1)连接OM.MCD是等边三角形，O是CD的中点,OMCD.又平面MCD平面BCD，平面MCD平面BCD=CDOM 平面MCD,OM平面BCD.又AB平面BCD,ABOM,AB与OM共面.又平面ABOM平面BCD=BO,EAM平面ABOM，E平面BCD,EBO,B、O、E三点共线.(2)在等边

6、三角形MCD中,而且OMAB,EOMEBA,O为BE的中点.又O为CD的中点，四边形BCED是平行四边形.立体几何问题中的计算问题(1)关键：计算依据的证明.计算是建立在证明有关结论的基础之上的，缺少了算理的支撑，盲目计算显得毫无意义.与面面垂直有关的计算问题(2)常见问题及解决方法：求角问题.主要是计算异面直线所成的角、二面角的平面角.距离问题.主要是计算点与点、点与线、点与面的距离.(3)解题步骤.“一作、二证、三算”.“一作”是关键，实际上在这一步就应该设计好解题思路.【例】如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，BADBDC90，BC2CD(1)求AC的长；(2)求证：平面AB

7、C平面ACD.【审题指导】(1)根据平面ABD平面BCD，为了利用面面垂直的性质，要在其中一个平面内作直线BD的垂线，找到线面垂直关系，构造直角三角形，求AC的长.(2)在平面ABD 平面BCD的条件下，根据CDBD可证CD平面ABD，结合ABAD这一条件可考虑证明AB平面ACD，进而证明平面ABC平面ACD.【规范解答】(1)取BD的中点O,连接OA、OC.AB=AD，AOBD.又平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,AO 平面ABD,AO平面BCD.又OC 平面BCD，AOOC.在ABD中，BAD=90，BD=6，AO=3.在BCD中，BDC=90，BC2CD，BD=6由BD2

8、+CD2=BC2,得在RtOCD中，在RtAOC中，(2)CDBD，平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD，CD 平面BCD,CD平面ABD,CDAB.又ABAD且ADCD=D,AB平面ACD，又AB 平面ABC,平面ABC平面ACD.【典例】(12分)(2010全国改编)如图，四棱锥S-ABCD中，SD平面ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1,SD=2，BCBD，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.(1)证明DE平面SBC.(2)证明SE=2EB.【审题指导】由平面EDC平面SBC可考虑作或找这两个平面交线的垂线.【规范解答】(1)连接BD,SD平面ABCD,故BC

9、SD,又BCBD,BC平面BDS,BCDE.2分作BKEC,K为垂足,因平面EDC平面SBC,故BK平面EDC,BKDE.4分又BK 平面SBC，BC 平面SBC，BKBC=B，DE平面SBC.6分(2)由(1)知DESB,8分10分SE=2EB.12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：1.若平面，直线a，则()(A)a (B)a或a (C)a与相交(D)a 或a或a与相交【解析】选D.如图所示，a,显然a，但是a的位置在内是不确定的，因此a 或a或a与相交.2.已知，=l，Pl，则给出下列四个结论：过P和l垂直的直线在内；过P和垂直的直线在内；过P和l垂直的直线必与垂直；过P与

10、垂直的平面必与l垂直.其中正确的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.如图所示，m过点P且ml,但是m不在内也不与垂直，故错误.平面过点P且与垂直，但是不与l垂直，故错误.对于由面面垂直的性质定理可知过P和垂直的直线是唯一的，且在内.3.如果，且=l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b()(A)可能垂直，不可能平行(B)可能平行，不可能垂直(C)可能垂直，也可能平行(D)不可能垂直，也不可能平行【解析】选B.当al,bl时，ab.若ab,可在a上任取点A，在内作l的垂线c，如图，则c,cb,b,bl，这与已知矛盾.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为上

11、底面A1B1C1D1内的一点，过P点的直线EF分别交直线B1C1、C1D1于E、F，若要使EFAP，则在上底内直线EF需满足条件：_.【解析】AA1平面A1B1C1D1，AA1EF，要使EFAP，只需EF平面A1AP,即EFA1P便可.答案：EFA1P5.如图所示，四边形ABCD是菱形，平面PAC平面ABCD.求证：平面PBD平面PAC.【证明】四边形ABCD是菱形,BDAC.又平面PAC平面ABCD,平面PAC平面ABCD=AC，BD 平面ABCD,BD平面PAC，又BD 平面PBD,平面PBD平面PAC.一、选择题(每题4分，共16分)1.(2011福州高一检测)已知平面平面，=l,则下列

12、说法中错误的是()(A)如果直线a,那么直线a必垂直于平面内的无数条直线(B)如果直线a,那么直线a不可能与平面平行(C)如果直线a，al，那么直线a平面(D)平面内一定存在无数多条直线都垂直于平面内的所有直线【解析】选B.如图(1)平面内与直线l垂直的直线都与平面垂直，故与直线a垂直，这样的直线有无数条，故A正确.如图(2)，a 且al，此时a，故B错误.选项C是平面与平面垂直的性质定理,正确.如图(3)，在平面内与直线l垂直的直线与平面垂直，故与平面内的所有直线垂直，这样的直线有无数条，故D正确.2.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC中，BAC=90，且BC1AC，过点C

13、1作C1H底面ABC，垂足为H，则点H在()(A)直线AC上(B)直线AB上(C)直线BC上(D)ABC的内部【解析】选B.BC1AC，BAAC，BC1BA=B,AC平面BC1A，又AC 平面BAC,平面BAC平面BC1A.C1H平面ABC，且点H为垂足，平面BAC平面BC1A=AB,HAB.3.直二面角-AB-，点C，点D，当满足CAB=DAB=45时，则CAD的大小为()(A)30 (B)45(C)60 (D)120【解析】选C.过点C作CEAB，垂足为E，过E作EFAB，垂足为E，EF与AD或其延长线相交于点F，连接CF.二面角-AB-是直二面角,CE,CEEF.在RtACE中，CAE=

14、45,同理在RtAEF和RtCEF中可求得ACF是等边三角形,CAD=60.4.如图，ABCD中，ABBD,沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有()(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对【解析】选C.由面面垂直的判定和性质可知平面ABD平面BCD,平面ABD平面ACD,平面ABC平面BCD.二、填空题(每题4分，共8分)5.正方形ABCD中，将三角形ACD沿它的对角线AC折成一个直二面角，则异面直线EC和AB所成角的大小是_.【解题提示】解答本题的关键是先找到EC和AB所成的角，然后利用面面垂直的性质求得角的大小.【解析】ABCD，

15、ECD是异面直线EC和AB所成的角.由于二面角E-AC-D是直二面角，得DOOE，设正方形的边长是2，得DE=DC=EC=2,DCE是等边三角形,ECD=60.答案：606.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB平面PBC，若PBBC，则ABC的形状为_.【解析】平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC=PB，BCPB，且BC 平面PBC，BC平面PAB，AB 平面PAB，BCAB，ABC为直角三角形.答案：直角三角形三、解答题(每题8分，共16分)7.(2011海淀模拟)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C,O为AC的中点.证明：A1O平面ABC.【

16、证明】因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1OAC.又由题意可知，平面AA1C1C平面ABC，交线为AC，所以A1O平面ABC.8.(2011西安高一检测)如图，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点.(1)求证：EF平面PAB.(2)若平面PAC平面ABC，且PA=PC，ABC=90，求证：平面PEF平面PBC.【证明】(1)E、F分别为AC、BC的中点，EFAB.又EF平面PAB，AB 平面PAB，EF平面PAB.(2)PA=PC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE 平面PAC.PE平面ABC，BCPE.ABC=90,BCAB.又EFAB，BCEF又

17、PEEF=E，BC平面PEF.又BC 平面PBC，平面PEF平面PBC.【挑战能力】(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB=60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点.(1)求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.【解析】(1)在菱形ABCD中，DAB=60，G为AD边的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BG平面PAD.(2)连接PG，则PGAD，由(1)得BGAD，又PGBG=G，BG平面PBG，PG平面PBG，AD平面PBG，PB 平面PBG.ADPB.(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，则由平面几何知识，在PBC中，EFPB，在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，ED 平面DEF，EFDE=E，PB 平面PGB，GB 平面PGB，PBGB=B，平面DEF平面PGB.又侧面PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD,又侧面PAD所在平面垂直于底面ABCD，PG平面ABCD，而PG 平面PGB，平面PGB平面ABCD.故平面DEF平面ABCD.