2022秋高中数学 第二章 平面解析几何 测评试题（一） 新人教B版选择性必修第一册.docx

1、第二章测评(一)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定2.如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.(3,+)B.(-,-2)C.(-,-2)(3,+)D.(-6,-2)(3,+)3.(2021贵州贵阳模拟)已知椭圆C:x2m+y24=1(m4)的离心率为33,则椭圆C的长轴长为()A.6B.6C.26D.124.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0pb0)的两条渐近线夹角为,且tan

2、 =43,则其离心率为()A.52B.2或5C.5D.52或56.(2022吉林长春月考)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是x轴上点F右侧一点,若以FN为始边,FM为终边的角NFM=60,则|FM|等于()A.2B.433C.23D.47.(2021安徽合肥期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆半长轴长与半短轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆x23+y2=1的

3、蒙日圆上,则b的值为()A.1B.5C.21D.258.(2021河南郑州模拟)已知双曲线D:x2-y2=1,点M在双曲线D上,点N在直线l:y=kx上,l的倾斜角4,2,O为坐标原点,且|ON|2=cos21+cos2,双曲线D在点M处的切线与l平行,则OMN的面积的最大值为()A.3-54B.3-52C.32D.3-22二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021湖南长沙期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为

4、()A.x24+y29=1B.x29+y25=1C.x29+y24=1D.x25+y29=110.(2021广东广州模拟)已知方程x2sin -y2sin 2=1,则()A.存在实数,使该方程对应的图形是圆,且圆的面积为43B.存在实数,使该方程对应的图形是平行于x轴的两条直线C.存在实数,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的双曲线,且双曲线的离心率为2D.存在实数,使该方程对应的图形是焦点在x轴上的椭圆,且椭圆的离心率为3311.(2021山东滨州一模)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正

5、确的是()A.|PF1|+|PF2|=5B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45C.存在点P满足F1PF2=90D.若F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为512.(2021江苏南通模拟)设A,B是抛物线x2=y上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是()A.若OAOB,则|OA|OB|2B.若OAOB,直线AB过定点(1,0)C.若OAOB,点O到直线AB的距离不大于1D.若直线AB过抛物线的焦点F,且|AF|=13,则|BF|=1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知椭圆C:x23+y2=1,过C上一点P(第一象限)的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B

6、.若|PA|=1,则|PB|的值为.14.(2021海南三亚三模)双曲线x24y2b2=1(b0)的离心率为52,则b=,过双曲线的右焦点F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为A,设O为坐标原点,则|OA|=.15.(2021上海徐汇期末)设椭圆x225+y29=1上的一点P到椭圆两焦点的距离的乘积为s,则当s取得最大值时,点P的坐标是.16.(2021上海徐汇检测)如图,P为椭圆E1:x2a2+y2b2=1(ab0)上的一动点,过点P作椭圆E2:x2a2+y2b2=(00)上的点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求p,t的值;(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且OAO

7、B=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.19.(12分)(2021广东东莞模拟)已知双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2F1F2,OHPF1,垂足为点H,OH=OF1,19,12.(1)当=13时,求双曲线的渐近线方程;(2)求双曲线的离心率e的取值范围.20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.

8、(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程;(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)(2021安徽黄山期中)已知圆C:(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ的端点Q的坐标是(4,3),端点R在圆C上运动,且点T满足RT=2TQ,记T点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点A(0,3)斜率为k的直线l与曲线交于M,N两点,试探究:设O为坐标原点,若OMON=26,这样的直线l是否存在?若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由.求线段MN的

9、中点D的轨迹方程.第二章测评(一)1.A直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.D3.C由题意可知m-4m=33,解得m=6,即a=6,所以椭圆长轴长为26.4.B由抛物线的定义及已知条件可得3+p2=23-p2,又0pb0)的两条渐近线夹角为,且tan=43,一条渐近线的斜率为tan2,则2tan21-tan22=43,解得tan2=12或tan2=-2(舍),e2=1+ba2=54,e=52(负值舍去).6.D如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程为x=-1,设M的坐标为y24,y,NFM=60,y241,|y|=

10、3y24-1,整理得3y2-4|y|-43=0,解得|y|=23,又NFM=60,|FM|=23sin60=4.7.C由椭圆的定义知,x23+y2=1的蒙日圆r1=3+1=2,所以蒙日圆为x2+y2=4,因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切,由已知r2=3,所以22+b2=r1+r2=5,解得b=21.8.D由题意,不妨设M(x0,y0)在第一象限,则双曲线D在M处的切线方程为x0x-y0y=1,所以k=x0y0,又因为x02y02=1,联立k=x0y0,x02-y02=1,解得x0=kk2-1,y0=1k2-1.点M到直线l的距离d=|kx0-y0|1

11、+k2=k2k2-1-1k2-11+k2=k2-1k2+1,因为|ON|2=cos21+cos2,所以|ON|=cos21+cos2=cos2sin2+2cos2=1k2+2,所以SOMN=12|ON|d=121k2+2k2-1k2+1=12k2-1k4+3k2+2,令t=k2-1,则k2=t+1,因为4,2,所以k1,所以t0,SOMN=12tt2+5t+6=121t+6t+5125+26=12(3+2)=3-22,当且仅当t=6t,即t=6时取等号,即面积取到最大值3-22.9.AC由题可得2a=6,2b=4,则a2=9,b2=4,故椭圆的标准方程可能为x29+y24=1或x24+y29=

12、1.10.CD对于A,若存在,只需sin=-sin20,即sin=-2sincos0,得cos=-12,所以sin=32,方程即为x2+y2=233,圆的半径满足r2=233,故圆面积为r2=233=233,故A错误;对于B,令sin=0,则有sin2=2sincos=0,方程化为0=1,显然不成立,故B错误;对于C,取sin=sin20,由题可知,sin0,所以cos=12,取=3,则方程为x2233y2233=1,为等轴双曲线,故离心率为2,故C正确;对于D,将方程化为标准形式为x21sin+y2-1sin2=1,故a2=1sin0,b2=-1sin20,且1sin-1sin2,则由已知得

13、1sin+1sin21sin=ca2=e2=13,整理得1+2cos2sincos2cos2sincos=1+12cos=13,解得cos=-34,又由上述三个不等式知sin0,cos-12,所以显然存在满足题意的的值,故D正确.11.BD由椭圆方程可得:a=5,c=5,则F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;设点P的坐标为(m,n),则m225+n220=1,即n2=201-m225=45(25-m2),则kPA1=nm+5,kPA2=nm-5,所以kPA1kPA2=n2m2-25=45(25-m2)

14、m2-25=-45,故B正确;PF1=(-5-m,-n),PF2=(5-m,-n),若F1PF2=90,则PF1PF2=m2-5+n2=0,又n2=45(25-m2),联立可得15m2+15=0,方程无解,故C错误;SPF1F2=12|F1F2|yP|=1225|yP|=45,解得yP=4,代入椭圆方程可得xP=5,故D正确.12.ACD对于A,设A(x1,x12),B(x2,x22).OAOB,OAOB=0,x1x2+(x1x2)2=0,x1x2(1+x1x2)=0,x2=-1x1,|OA|OB|=x12(1+x12)1x121+1x12=1+x12+1x12+12+2=2,当且仅当x1=1

15、时等号成立,故A正确;对于B,若OAOB,显然直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,联立方程y=kx+m,y=x2,消去y得x2-kx-m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=k,x1x2=-m,y1y2=x12x22=(x1x2)2=m2.OAOB,OAOB=0,x1x2+y1y2=0,-m+m2=0,m=0或m=1,易知直线AB不过原点,m=1,直线AB的方程为y=kx+1,恒过定点(0,1),故B错误;点O到直线AB的距离d=11+k2.k20,k2+11,d1,故C正确;对于D,直线AB过抛物线的焦点F0,14,设直线AB的方程为y=kx+14,联立方程

16、y=kx+14,x2=y,消去y得x2-kx-14=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点A在y轴右侧,x1+x2=k,x1x2=-14,|AF|=y1+14=13,y1=112,x1=36,x2=-14x1=-32,y2=34,|BF|=y2+14=1,故D正确.13.3过点P作y轴的垂线,垂足为点Q,如图,设P(3cos,sin),A(a,0),|PA|=1,sin2+(3cos-a)2=1,得a=(3+1)cos或a=(3-1)cos,3cos0)的离心率为52,可得4+b22=52,则b=1,所以双曲线x24-y2=1的右焦点F(5,0),其中一条渐近线方程为x-2y=0,

17、所以|AF|=51+(-2)2=1,所以|OA|=(5)2-12=2.15.(0,3)或(0,-3)设椭圆x225+y29=1的焦点为F1,F2,由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10,则s=|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即P(0,3)或(0,-3),s取得最大值25.16.12设点P(x0,y0),由题可知切线PA,PB斜率存在,则过点P的直线方程为y-y0=k(x-x0),联立y-y0=k(x-x0),x2a2+y2b2=,化简得(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2

18、=0,因为直线与椭圆相切,所以=2a2k(y0-kx0)2-4(b2+a2k2)a2(y0-kx0)2-a2b2=0,展开得4a4k2(y0-kx0)2-4a2(b2+a2k2)(y0-kx0)2+4a2b2(b2+a2k2)=0,即-b2(y0-kx0)2+b2(b2+a2k2)=0,即(y0-kx0)2-b2-a2k2=0,整理为关于k的方程可得(x02-a2)k2-2x0y0k+y02-b2=0,因为有两条切线,所以此方程有两个不等的实数根.因为k1k2为定值,可设k1k2=t,由根与系数的关系得k1k2=y02-b2x02-a2=t,化简得y02-b2=tx02-ta2,因为P(x0,

19、y0)在椭圆E1上,代入可得x02a2+y02b2=1(ab0),化简可得b2x02+a2y02=a2b2,则y02-b2=tx02-ta2,b2x02+a2y02=a2b2,化简得=12.17.解设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1b10),双曲线的方程为x2a22y2b22=1(a20,b20),c=13,由已知,得a1-a2=4,ca1ca2=37,解得a1=7,a2=3,所以b12=36,b22=4,所以两条曲线的标准方程分别为x249+y236=1,x29y24=1.18.(1)解由抛物线的定义,得3+p2=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,将点T(3,t)代入

20、,得t2=12,解得t=23.(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,Ay124,y1,By224,y2,联立y2=4x,x=my+n,消去x得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由OAOB=5,得(y1y2)216+y1y2=5,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).19.解如图,当x=c时,代入双曲线方程可得y=b2a,由相似三角形可知,|OH|PF2|=|OF1|PF1|,得=b2a2a+b2a,2a2+b2=b2,整理得b2a2=21-.(1)当=13时,b2a2

21、=1,则a=b,双曲线的渐近线方程为y=x.(2)|PF2|=b2a,e2=c2a2=1+b2a2=1+21-=1-2-1=-1-2-1.令y=-1-2-1,则函数y在19,12上单调递增,=12时,e2的最大值为3,当=19时,e2的最小值为54,54e23,即52e3.故离心率e的取值范围为52,3.20.(1)解由题意,得a2-b2a=22,又点(2,2)在C上,所以4a2+2b2=1,联立,可解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x28+y24=1.(2)证明由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l:y=kx+n(k0,n0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

22、将y=kx+n代入x28+y24=1,整理得(2k2+1)x2+4knx+2n2-8=0.故xM=x1+x22=-2kn2k2+1,yM=kxM+n=n2k2+1.所以直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,所以kOMk=-12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式=(-8m)2-4(16m-16)=64m-122+340.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=12,所以直线l的方程为2

23、x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得14x2-(n+8)x+n2=0,其中=(n+8)2-n2=16n+640,则n-4.(*)又xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-192,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.22.解(1)设R(x0,y0),则(x0-1)2+(y0-3)2=9,设T(x,y),因为RT=2TQ,所以x0=3x-8,y0=3y-6,则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9,即曲线的方程为(x-3)2+(y-3)2

24、=1.(2)由题意,知直线l方程为y=kx+3,M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=kx+3,(x-3)2+(y-3)2=1可得(1+k2)x2-6x+8=0,则=36-32(1+k2)0,解得k218,且有x1+x2=61+k2,x1x2=81+k2,所以y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=17k2+18k+91+k2,则OMON=x1x2+y1y2=81+k2+17k2+18k+91+k2=17k2+18k+171+k2=26,解得k=1,不符合k218,故不存在这样的直线l,使得OMON=26.由知,MN中点坐标为x1+x22,y1+y220k218,x1+x22=31+k2,y1+y22=3k1+k2+3,即D点坐标为31+k2,3k1+k2+3,又因为yD-3xD=k,所以xD=31+k2=31+(yD-3xD)2,整理可得xD-322+(yD-3)2=94,即点D的轨迹方程为x-322+(y-3)2=94.