2022秋高中数学 第二章 平面解析几何 综合训练 新人教B版选择性必修第一册.docx

1、第二章综合训练一、单项选择题1.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos ,sin )到直线x-my-2=0的距离,当,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.42.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,则“a=-4”是“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,564.设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为()A.52B.6C.5D.25.已知圆C经过两点A

2、(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=06.设P是双曲线x2a2y2b2=1(a0,b0)上的点,F1,F2是其左、右焦点,双曲线的离心率是43,且F1PF2=90,F1PF2的面积是7,则a+b等于()A.3+7B.9+7C.10D.167.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a28B.a24

3、C.a22D.a28.在平面直角坐标系Oxy中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1B.2C.3D.4二、多项选择题9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.811

4、.在平面直角坐标系中,曲线C上任意一点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|212.已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.点P纵坐标为3B.F1PF22C.F1PF2的周长为4(2+1)D.F1PF2的内切圆半径为32(2-1)三、填空题13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.14.若双曲线x2my2m-5

5、=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m的值为.15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为,|AB|=.16.已知O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是.(结果用m表示)四、解答题17.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.(1)求直线l的方程;(2)点P

6、在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.18.已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.19.已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当F1PF2=60时,PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.20.已知过抛物线x2=2py(p0)的焦点,斜率为24的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,

7、y2)(x10)的焦点F到准线的距离为2.(1)求抛物线C的方程;(2)已知点O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.22.(2021上海虹口期末)已知椭圆:x212+y28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点P(0,t).(1)若F1PF2P,求t的值.(2)若点A在第一象限,满足F1AF2A=7,求t的值.(3)在平面内是否存在定点Q,使得QAQB是一个确定的常数?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.第二章综合训练1.Ccos2+sin2=1,P为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A(2,0),d的

8、最大值为|OA|+1=2+1=3(O为坐标原点),故选C.2.C直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,当a=-4时,a8=2a-12-a,l1l2,当l1l2时,a8=2a-12-a,解得a=-4,“a=-4”是“l1l2”的充要条件.3.C设直线l2的斜率为k.因为l1:xcos2+3y+2=0的斜率k1=-cos23-33,0,当cos=0时,即k1=0时,k不存在,此时直线l2的倾斜角为12,由l1l2,当k10时,可知直线l2的斜率k=-1k13,此时l2倾斜角的取值范围为3,2.综上可得l2倾斜角的取值范围为3,2.4.A(方法一)由椭圆方程可得a=5,b=

9、1,故椭圆的上顶点为B(0,1).设P(x,y),则有x25+y2=1,故x2=5(1-y2),由椭圆的性质可得-1y1.则|PB|2=x2+(y-1)2=5(1-y2)+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4y2+y2+6=-4y+142+254.因为-1y1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52.(方法二)由题意可设P(5cos,sin)(R),又B(0,1),则|PB|2=5cos2+(sin-1)2=5cos2+sin2-2sin+1=-4sin2-2sin+6,于是当sin=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4116-2-1

10、4+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.C因为圆心C在直线l:2x-y-3=0上,设圆心C(a,2a-3),又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),所以|CA|=|CB|,故a2+(2a-5)2=(a-4)2+(2a-9)2,解得a=3,所以圆心C(3,3),半径r=|CA|=32+12=10,则圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.6.A由题意,不妨设点P是双曲线右支上的一点,半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,a=3,c=4.b=c2-a2=7

11、.a+b=3+7.7.A根据题意,以桥的顶点为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x2=-2py(p0).该抛物线经过点a2,-,代入抛物线方程可得a24=2hp,解得p=a28.桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a28.8.D根据题意,如图,若MAB为直角三角形,分3种情况讨论:若MAB=90,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则kl1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0

12、,此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=2121001,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;若AMB=90,则点M在以线段AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设线段AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=22,则以线段AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2=2.4340,则有2-1|OC|2,当且仅当2x2=16x2,即x2=22时,等号成立,故B正确;对于C,函数y=x-4x是奇函数,所以曲线C关于原点对称,是中心对称图形,

13、故C正确;对于D,横坐标x满足xR且x2且x0,故D错误.12.CD由题可知a=22,b=2,c=2.设点P坐标为(x,y),S=122c|y|=124|y|=3,得y=32或y=-32,故A错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b2tan2(为焦点三角形的顶角),S=4tan2=3,得tan2=34,则24,F1PF25时,c2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y轴上,即m0时,c2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.y=3(x-1)163抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(a,b),m,b0.FC=3FB,(-2,m)

14、=3(a-1,b)=(3a-3,3b),则3a-3=-2,m=3b,即a=13,此时b2=4a=413=43,得b=-43=-233,即m=-23,则C(-1,-23),则直线AB的斜率k=232=3,则直线AB的方程为y=3(x-1),代入y2=4x,得3x2-10x+3=0,得x1+x2=103,则|AB|=x1+x2+2=103+2=163.16.x-2y+2=02m2+32根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在直线上,又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1

15、(4,3),反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0.设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与点M关于y轴对称,易得M2(-m,0),线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,即M1(4,4-m),又由M2(-m,0),则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.17.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为k1=2,直线AC的中点坐标为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y

16、-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为使|AP|+|BP|最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,所以点P的坐标为103,-103.18.解(1)直线l:y-1=a(x-3),直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是圆C的一条切线,不妨设切点为A(3,0).由圆的性质可知ABPC(点C为圆C的圆心),kPC=1-03-1=12,kAB=-2,直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.

17、(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.PAAC,PBBC,四边形PACB的外接圆是以线段PC为直径的圆,线段PC的中点坐标为2,12,四边形PACB的外接圆的标准方程为(x-2)2+y-122=54.19.解(1)因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,则点F2到渐近线距离为|bc0|b2+a2=b(其中c是双曲线的半焦距,c0),所以由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=43a,故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0.(2)因为F1PF2=60,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2

18、-|PF1|PF2|=4c2.又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4a2,相减得|PF1|PF2|=4c2-4a2=4b2.根据三角形的面积公式得S=12|PF1|PF2|sin60=344b2=3b2=483,得b2=48.由(1)得a2=916b2=27,故所求双曲线方程是x227y248=1.20.解(1)抛物线x2=2py的焦点为0,p2,所以直线AB的方程为y=24x+p2,联立y=24x+p2,x2=2py,消去x,得4y2-5py+p2=0,所以y1+y2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y1+y2+p=9,即5

19、p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x2=8y.(2)由p=4知,方程4y2-5py+p2=0,可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4,易知x10,故x1=-22,x2=42.所以A(-22,1),B(42,4).则OC=OA+OB=(-22,1)+(42,4)=(-22+42,1+4).因为C为抛物线上一点,所以(-22+42)2=8(1+4),整理得2-2=0,所以=0或=2.21.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(

20、1-x2,-y2).因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=0,(*)当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,k0,方程(*)的判别式=0,即-252-4k2925=0,解得k=13,所以直线

21、OQ斜率的最大值为13.22.解(1)由椭圆:x212+y28=1的方程可知c2=a2-b2=12-8=4,所以c=2,即左焦点F1(-2,0),右焦点F2(2,0).因为P(0,t),若F1PF2P,则F1PF2P=0,即(2,t)(-2,t)=0,整理可得t2=4,所以t=2,所以t的值为2.(2)设A(x1,y1),因为F1AF2A=7,由(1)可得(x1+2,y1)(x1-2,y1)=7,所以x12-4+y12=7,即x12+y12=11,而x1212+y128=1,所以x12+81-x1212=11,x10,解得x1=3,y1=2,所以直线AB的方程为y=23+2(x+2),令x=0

22、,可得y=225,即t的值为225.(3)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x+2),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y=k(x+2),x212+y28=1,整理可得(2+3k2)x2+12k2x+12(k2-2)=0,可得x1+x2=-12k22+3k2,x1x2=12(k2-2)2+3k2,所以QAQB=(x1-a,y1-b)(x2-a,y2-b)=(x1-a)(x2-a)+(kx1+2k-b)(kx2+2k-b)=(1+k2)x1x2+(2k2-bk-a)(x1+x2)+4k2-4kb+b2+a2=(1+k2)12(k2-2)2+3k2+(2k2-bk-a)-

23、12k22+3k2+4k2-4kb+b2+a2=(3a2+3b2+12a-4)k2-8kb+2(a2+b2-12)2+3k2=,则(3a2+3b2+12a-4-3)k2-8kb+2(a2+b2-12-)=0恒成立,则3a2+3b2+12a-4-3=0,8b=0,a2+b2-12-=0,解得a=-83,b=0,=-449,这时Q-83,0,即存在定点-83,0满足条件QAQB=-449.当直线AB的斜率不存在时,AB的方程为x=-2,可得A-2,43,B-2,-43,设Q(a,b),要使得QAQB是一个常数,即-2-a,43-b-2-a,-43-b=(a+2)2+b2-163,显然Q-83,0也使QAQB=-449成立.综上所述,存在定点Q-83,0满足条件QAQB=-449.