2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：3-1　导数的概念及运算 WORD版含解析.docx

1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算必备知识预案自诊知识梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1或yx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:f(x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x.(2)几何意义:f(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的.3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f(x),则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x)的,通常也简称为导数.4.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数y=c(c为常

2、数)y=0y=x(为实数)y=y=sin xy=y=cos xy=y=tan xy=y=cot xy=y=ax(a0,a1)y=y=exy=y=logax(a0,a1)y=y=ln xy=5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)f(x)g(x)=;(3)f(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f(x)反映

3、了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.()(2)求f(x0)时,可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.()2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为s=13t3-32t2+2t,那

4、么速度为零的时刻是()A.0 sB.1 s末C.2 s末D.1 s末和2 s末3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+14.(2020山东淄博一模,13)曲线f(x)=1x+ln1x在点(1,f(1)处的切线方程是.5.(2020全国3,文15)设函数f(x)=exx+a.若f(1)=e4,则a=.关键能力学案突破考点导数的运算【例1】分别求下列函数的导数.(1)y=excos x;(2)y=xx2+1x+1x3;(3)y=x-sin x2cos x2;(4)y=ln1+x

5、2.思考函数求导应遵循怎样的原则?解题心得函数求导应遵循的原则(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1x;(3)y=cosxex;(4)y=ln(2x-5).考点导数几何意义的应用(多考向探究)考向1过函数图像上一点求切线方程【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(

6、x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.对点训练2(1)已知函数f(x)=xln x(x0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切

7、线的方程为.考向2已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】(1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是.(2)设aR,函数f(x)=ex+aex的导函数是f(x),且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.考向3已知切线方程(或斜率)求参数的

8、值【例4】若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,bR)在点(e,f(e)处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为,.1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.导数的几何意义是函数的图像在切点处的切线斜

9、率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求在该点处的导数值k=f(x0);(2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k;(3)已知切线过某点M(x1,f(x1)(不是切点)求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0),求导数得出斜率k=第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算必备知识预案自诊知识梳理2.(2)斜率3.导函数4.x-1cos x-sin x1cos2x-1sin2xaxln aex1xlna1x5.(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)+f(x)g(x)6.yuuxy对uu对x考点自诊1.(1)(2)(3)(4)

10、(5)2.Ds=13t3-32t2+2t,v=s=t2-3t+2.令v=0,则t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.故选D.3.B对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.4.2x+y-3=0由已知,f(x)=-1x2-1x,所以f(1)=-2.又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.5.1对函数f(x)=exx+a求导得f(x)=ex(x+a-1)(x+a)2,由题意得f(1)=ea(

11、1+a)2=e4,解得a=1.关键能力学案突破例1解(1)y=(ex)cosx+ex(cosx)=excosx-exsinx.(2)y=x3+1+1x2,y=3x2-2x3.(3)y=x-sinx2cosx2=x-12sinx,y=x-12sinx=1-12cosx.(4)y=ln1+x2=12ln(1+x2),y=1211+x2(1+x2)=1211+x22x=x1+x2.对点训练1解(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.(2)y=lnx+1x=(lnx)+1x=1x-1x2.(3)y=cosxex=(cosx)ex-cosx(ex)(ex)2=-sinx

12、+cosxex.(4)令u=2x-5,y=lnu,则y=(lnu)u=12x-52=22x-5,即y=22x-5.例2解(1)f(x)=3x2-8x+5,f(2)=1,又f(2)=-2,曲线在点(2,f(2)处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,x03-4x02+5x0-4).f(x0)=3x02-8x0+5,切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).又切线过点P(x0,x03-4x02+5x0-4),x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解

13、得x0=2或1,经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.对点训练2(1)B(2)y=2x(1)f(x)=lnx+1,x0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像的切点为(x0,y0),则kx0-1=y0,x0lnx0=y0,lnx0+1=k.解得x0=1,y0=0,k=1.所以直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.(2)设切点坐标为(x0,y0).对y=lnx+x+1求导可得y=1x+1.由题意得,1x0+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.例3(1)(0,2)(2)ln 2(1)由题

14、意,得y=ex,且切线斜率为1,设切点为P(x,y),则ex=1,所以x=0,y=e0+1=2,故切点P的坐标为(0,2).(2)函数f(x)=ex+aex的导函数是f(x)=ex-aex.又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),即ex-aex=-(e-x-aex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)(1-a)=0,解得a=1.所以f(x)=ex-1ex.令ex-1ex=32,解得ex=2或ex=-12(舍去),所以x=ln2.对点训练3(1,1)函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00)

15、.函数y=1x的导函数为y=-1x2,曲线y=1x(x0)在点P处的切线的斜率k2=-1x02.由题意可知,k1k2=-1,即1-1x02=-1,所以x02=1.又x00,x0=1.又点P在曲线y=1x(x0)上,y0=1.故点P的坐标为(1,1).例4解(1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xlnx+2m的导数为f(x)=1+lnx,点P(n,n)处的切线斜率为1+lnn=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m=12.(2)f(x)=xlnx+1.设切点为(u,v),则切线的斜率为f(u)=1+lnu,即有切线的方程为y-ulnu-1=(1+lnu)(x-u).代入点Q(1,t),即有t-ulnu-1=(1+lnu)(1-u).即为t-2=lnu-u,在(0,+)上有两实数解,记g(u)=lnu-u,导数为g(u)=1u-1.当u1时,g(u)递减,当0u1时,g(u)递增,可得当u=1时,取得最大值g(1)=-1,即有t-2-1,解得t1.故实数t的取值范围为(-,1).对点训练41-1将点(e,f(e)代入直线y=3x-e的方程得f(e)=3e-e=2e.f(x)=axlnx-bx,则f(x)=alnx+a-b.由题意得f(e)=(a-b)e=2e,f(e)=2a-b=3,解得a=1,b=-1.