2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：7-2　基本不等式及其应用 WORD版含解析.docx

1、7.2基本不等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.基本不等式:aba+b2(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.(3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值已知x0,y0,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是2p(简记:积定和最小).(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时,xy有最值是s24(简记:和定积最大).(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)aba+b22(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)a2+b22a+b22(a,bR),当且仅当a

2、=b时取等号.(4)ba+ab2(a,bR,且a,b同号),当且仅当a=b时取等号.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)当a0,b0时,a+b2ab.()(2)两个不等式a2+b22ab与a+b2ab成立的条件是相同的.()(3)函数y=x+1x的最小值是2.()(4)函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为2.()(5)x0且y0是xy+yx2的充要条件.()2.若a0,b0,ab=2,则a+2b的最小值为()A.22B.4C.42D.63.(2020北京海淀期中,4)设a,bR,且ab0.则()A.1aabC.a+b2abD.ba+ab24.(2020

3、山东淄博4月模拟,14)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.5.(2020北京陈经纶中学摸底,14)设x0,y0,x+2y=2,则xy的最大值为.关键能力学案突破考点利用基本不等式证明不等式【例1】(2020黑龙江哈尔滨香坊区期末)已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,求证:(1)1a+1b+1c9;(2)1a-11b-11c-18.思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?解题心得利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式,则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条

4、件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.对点训练1已知a0,b0,a+b=1,求证:1+1a1+1b9.考点利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1求不含等式条件的最值问题【例2】(1)若x0,则函数y=x+12x+1的最小值为()A.2+12B.2-12C.2+1D.2-1(2)1sin2+4cos2的最小值为.(3)已知0x0,y-1,且满足2x+y=1,则2x2+1x+y2y+1的最小值是()A.3B.32+2C.22D.12+2(2)(2020天津河北线上测试,15)已知a0,b0,且1a+1b=1,则1a

5、-1+4b-1的最小值为.对点训练2(1)(2020江苏联考)已知x0,y0,则x+yx+16xy的最小值为.(2)(2020天津,14)已知a0,b0,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为.考点基本不等式的实际应用【例4】(2020广东高州一中月考)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成,已知土地使用权费为6 000元/m2.材料工程费在建造第一层时为500元/m2,以后每增加一层费用增加30元/m2.(每一层的建筑面积都相同)(1)若把楼盘的楼房设计成x层,平均每平方米建筑面积的成本为y元,将y表示成x的函数;(2)若平均每平方米建筑面积的成本不高于1 235元,求楼房

6、设计层数最少为多少层?(3)应把楼盘的楼房设计成多少层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低?思考应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么?需注意什么事项?解题心得1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.2.在用基本不等式求所列函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数单调性求解.3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练3(2020福建期末联考)某品牌饮料原来每瓶成本为10元,售价为15元,月销售8万瓶.(1)据市场调查,若售价每提

7、高1元,月销售量将相应减少2 000瓶,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),该饮料每瓶售价最多为多少元?(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每瓶售价x(x16)元,并投入334(x-16)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每瓶售价每提高1元,月销售量将相应减少0.45(x-15)2万瓶,则当每瓶售价x为多少时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.1.应用基本不等式求最值的常用方法有:(1)若直接满足基本不等式的条件,则直接应用基本不等式.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常

8、数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.3.对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形,例如a2+b22ab逆用就是aba2+b22;a+b2ab(a0,b0)逆用就是aba+b22(a0,b0).变形有aba+b22a2+b22,aba+b2a2+b22(a0,b0)等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等.7.2基本不

9、等式及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.(1)a0,b0(2)a=b2.(1)x=y小(2)x=y大考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.B依题意,a0,b0,所以a+2b22ab.又ab=2,所以a+2b22ab=24=4,当且仅当a=2,b=1时,取得等号.故选B.3.D取a=-2,b=-1代入选项A,B,C都不成立,因为ab0,ab0,且baab.由基本不等式,得ba+ab2baab=2.4.14由2a+18b=2a+2-3b22a-3b=22-6=22-3=2-2=14,当且仅当a=-3b,即a=3,b=-1时,等号成立.5.12x0,y0,x+2y22xy,即222xy,整理

10、得xy12,当且仅当x=1,y=12时取最大值12.关键能力学案突破例1证明(1)a0,b0,c0,且a+b+c=1,1a+1b+1c=1a+1b+1c(a+b+c)=3+ba+ab+cb+bc+ca+ac3+2baab+2cbbc+2caac=9.当且仅当a=b=c时,等号成立.(2)1a-11b-11c-1=a+b+ca-1a+b+cb-1a+b+cc-1=b+caa+cba+bc2bc2ac2ababc=8abcabc=8.当且仅当a=b=c时上式等号成立.对点训练1证明(方法1)a0,b0,a+b=1,1+1a=1+a+ba=2+ba.同理,1+1b=2+ab.1+1a1+1b=2+b

11、a2+ab=5+2ba+ab5+4=9,当且仅当ba=ab,即a=b=12时,等号成立.1+1a1+1b9,当且仅当a=b=12时,等号成立.(方法2)1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+1ab=1+2ab.a,b为正数,a+b=1,aba+b22=14,当且仅当a=b=12时,等号成立.于是1ab4,2ab8,当且仅当a=b=12时,等号成立.1+1a1+1b1+8=9,当且仅当a=b=12时,等号成立.例2(1)B(2)9(3)B(1)x0,函数y=x+12x+1=x+12+12x+12-12212-12=2-12,当且仅当x=2-12时取等号.函数y=x+12x+1

12、的最小值为2-12.故选B.(2)1sin2+4cos2=1sin2+4cos2sin2+cos2=1+4+cos2sin2+4sin2cos25+2cos2sin24sin2cos2=9.当且仅当cos2=2sin2时取得等号.(3)因为0x0,b0,且1a+1b=1,得a1,b1,且b=aa-1,所以1a-1+4b-1=1a-1+4aa-1-1=1a-1+4(a-1)21a-14(a-1)=4,当且仅当a=32时,等号成立,因此,1a-1+4b-1的最小值为4.对点训练2(1)42(2)4(1)由x0,y0,x+yx+16xy=x+y2+16xyx+2y4xy=x+8yxy2x8yxy=4

13、2,当且仅当x=22,y=4时,等号成立.(2)ab=1,b=1a.12a+12b+8a+b=12a+a2+8a+1a=121a+a+8a+1a.令1a+a=t0,则原式=t2+8t2t28t=24=4.当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立,此时1a+a=4.例4解(1)设每层的面积为zm2,则该楼盘材料工程总费用为p=500z+(500+30)z+(500+60)z+500+(x-1)30z=z500x+x(x-1)230=z(15x2+485x),则平均每平方米建筑面积的成本费为6000z+pxz=6000+15x2+485xx=485+6000x+15x,故y=485+6000x+1

14、5x,xN*.(2)依题意得y1235,所以6000x+15x750,所以x2-50x+4000,解得10x40,所以楼层设计层数最少为10层.(3)y=485+6000x+15x485+26000x15x=1085,当且仅当6000x=15x,即x=20时,等号成立,故应把楼房设计成20层,才能使平均每平方米建筑面积的成本费最低.对点训练3解(1)设每瓶定价为t元,依题意,有8-(t-15)0.2(t-10)58,整理得t2-65t+7500,解得15t50.因此要使销售的总收入不低于原收入,每瓶定价最多为50元.(2)设每瓶定价为x(x16)元,月总利润为f(x),则f(x)=(x-10)8-(x-15)0.45(x-15)2-334(x-16)=-14x-0.45xx-15+4.5x-15+52=-14(x-15+15)-0.45(x-15+15)x-15+4.5x-15+52=-14(x-15)+2.25x-15+47.8-214(x-15)2.25x-15+47.8=46.3.当且仅当14(x-15)=2.25x-15,即(x-15)2=9,所以x-15=3或x-15=-3(舍去),所以x=18.因此当每瓶售价18元时,下月的月总利润最大,最大总利润为46.3万元.