2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：7-3　归纳与类比 WORD版含解析.docx

1、7.3归纳与类比必备知识预案自诊知识梳理合情推理(1)归纳推理:根据一类事物中具有某种属性,推断该类事物中都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.简言之,归纳推理是由到,由到的推理.归纳推理的基本模式:a,b,cM且a,b,c具有某属性.结论:任意dM,d也具有某属性.(2)类比推理:由于两类不同对象具有,在此基础上,根据的其他特征,推断也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简言之,类比推理是由的推理.类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有属性:a,b,c;结论:B具有属性d.(a,b,c,d与a,b,c,d相似或相同)(3)合情推理:根据实验和实践的结

2、果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是an=n(nN+).()2.下列说法正确的是()A.合理推理就是类比推理B.合情推理得到的结论一定是正确的C.合情推理得到的结论不一定正确D.归纳推理

3、得到的结论一定是正确的3.如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是()A.12B.48C.60D.1444.(2020山东潍坊二模,3)甲、乙、丙三人中,一人是律师,一人是医生,一人是记者.已知丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是律师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是律师C.甲是医生,乙是律师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是律师5.(2020山西大同一中月考,理6)在等差数列an中,若an0,公差d0,则有a4a6a3a7.类比上述性质,在等比数列bn中,若bn0,公比q0,则关于b5,b7,b4,b8的一个不

4、等关系正确的是()A.b5b7b4b8B.b7b8b4b5C.b5+b7b4+b8D.b7+b81,nN+)个点,每个图形总的点数记为an,则9a2a3+9a3a4+9a4a5+9a2019a2020=.考点类比推理【例4】(1)对于命题:如果O是线段AB上一点,则|OB|OA+|OA|OB=0;将它类比到平面的情形是:若O是ABC内一点,有SOBCOA+SOCAOB+SOBAOC=0;将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有.(2)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过

5、程.比如在表达式1+11+11+中“”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+1x=x求得x=1+52,类似上述过程,则36+36+36+=()A.1B.2C.3D.4思考类比推理的关键是什么?解题心得类比推理的关键及类型(1)类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤:找出两类事物之间的相似性或者一致性.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).(2)类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运

6、算类比;圆锥曲线间的类比等.对点训练2设an=n(n+1),利用n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3求出数列an的前n项和Sn=n(n+1)(n+2)3,设bn=n(n+1)(n+2),类比这种方法可以求得数列bn的前n项和Tn=.考点生活中的合情推理【例5】(1)(2020北京八中模拟二,10)为配合促销活动,某公司的四个商品派送点如图环形分布,并且公司给A,B,C,D四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现,需要将发送给A,B,C,D四个派送点的商品数调整为40,45,54,61,但调整只能在相邻派送点进行,每次调动可以调整1件商品.为完成调整,则

7、()A.最少需要16次调动,有2种可行方案B.最少需要15次调动,有1种可行方案C.最少需要16次调动,有1种可行方案D.最少需要15次调动,有2种可行方案(2)(2020湖南长郡中学四模,文14)甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏,方法如下:第一步,先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子(如图所示),甲从中记下某个棋子的坐标;第二步,甲分别告诉其他三人:告诉乙棋子的横坐标,告诉丙棋子的纵坐标,告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等;第三步,由乙、丙、丁依次回答.对话如下:乙先说我无法确定,丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道.则甲记下的棋子的坐标为.思考如何解决生活中的合情推理问题?解题心得

8、在进行合情推理时,要依据一定的“规则”已知条件、公式、法则、推理等.只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.对点训练3(1)(2020山东济南一模,5)某方舱医院医疗小组有七名护士,每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天,丁的夜班比戊晚两天,乙的夜班比庚早三天,己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,则周五值夜班的护士为()A.甲B.丙C.戊D.庚(2)(2020陕西榆林一模,理5)关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断:若甲未被录取,则乙、丙都被录取;乙与丙中必有一个未被录取;或者甲未被录取,或者乙被录取.则三人中被录取的是()A.甲B.丙C.

9、甲与丙D.甲与乙1.合情推理(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;(3)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明.2.在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.7.3归纳与类比必备知识预案自诊知识梳理(1)部分事物每一个部分整体个别一般(2)某些类似的特征一类对象另一类对象特殊到特殊考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.C合情推理包括类比推理和归纳推理,故A错误;由类比推理和归纳推理的概念可知,它们得到的结论不一定正确,故B,D

10、错误,C正确.故选C.3.D根据题意得,第n行有n个数,且当n3时,每一行的第一个数与最后一个数都等于n,中间每个数等于其肩上两个数的积,则a所表示的数是1212=144.故选D.4.C由甲的年龄和记者不同,记者的年龄比乙小,得到丙是记者,从而排除B和D;由丙的年龄比医生大且比乙小,得到乙不是医生,从而乙是律师,甲是医生.故选C.5.C在等差数列an中,由4+6=3+7时,有a4a6a3a7,类比到等比数列bn中,由5+7=4+8时,有b4+b8b5+b7,因为b4+b8-(b5+b7)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b4(1-q)+b4q3(q-1)=b4(1-q)(1-q3)=b4(1

11、-q)2(1+q+q2)0,所以b4+b8b5+b7成立.故选C.关键能力学案突破例1C设第n行第n个数字是ann,由题意知,第n行是首项为n+1,公差为n的等差数列,所以ann=(n+1)+(n-1)n=n2+1,故选C.例2C11+2=13,11+2+11+2+3=12=24,11+2+11+2+3+11+2+3+4=35,则11+2+11+2+3+11+2+12=1113.故选C.例3C由题设可得f(1)=1,求出f(2)=21+1=3,由于每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推导出f(n+1)=

12、2f(n)+1,所以f(6)=63.故选C.对点训练1(1)C(2)C(3)20182019(1)由题意可知第一组的各个数字和为3,第二组各个数字和为4,第三组各个数字和为5,第四组各个数字和为6,第n组各个数字和为n+2,且各个数对无重复数字,可得第30组各个数字和为32,则第30组第20个数对为(21,11).故选C.(2)由题意,从23到m3,正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+m=(2+m)(m-1)2个,123是从3开始的第123-32+1=61个奇数,当m=10时,用去了(2+10)(10-1)2=54个奇数,当m=11时,用去了(2+11)(11-1)2=65个奇数,故m=1

13、1.故选C.(3)每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故第n个图形的点数为3n-3,即an=3n-3,令Sn=9a2a3+9a3a4+9a4a5+9a2019a2020=112+123+120182019=1-12+12-13+12018-12019=20182019,故答案为20182019.例4(1)VO-BCDOA+VO-ACDOB+VO-ABDOC+VO-ABCOD=0(2)B(1)线段长度类比到空间为体积,再结合类比到平面的结论,可得空间中的结论为VO-BCDOA+VO-ACDOB+VO-ABDOC+VO-ABCOD=0.(2)由题知36+36+

14、36+的值可以通过方程36+x=x求出,因为36+x=x,解得x=2,所以36+36+36+=2.故选B.对点训练2n(n+1)(n+2)(n+3)4类比题中的方法裂项可得,n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)4,则数列bn的前n项和Tn=n(n+1)(n+2)(n+3)4.例5(1)A(2)(5,5)(1)根据题意A,B两处共需向C,D两处调15个商品,这15个商品应给D处11个商品,C处4个商品,按照调动次数最少的原则,有以下两种方案:方案一:A调动11个给D,B调动1个给A,B调动4个给C,共调动16次;方案二:A调动10个给D,B调

15、动5个给C,C调动1个给D,共调动16次.故选A.(2)由题意,乙只知道棋子的横坐标,又无法确定,所以棋子必落在横坐标为2,5,6,7上,接下来丙知道棋子的纵坐标,又无法确定,所以棋子必落在纵坐标为0,1,3,4,5,7上,这些横纵坐标相等的点只有(5,5),所以丁说棋子的坐标为(5,5).对点训练3(1)D(2)D(1)因为己的夜班在周四,且恰好在乙和丙的正中间,所以乙可能在星期一,二,三,五,六,日,因为乙的夜班比庚早三天,所以乙可能在星期二,三,如果乙在星期三,则庚在周六,且丙在周五,庚比丙晚一天,但与甲的夜班比丙晚一天矛盾,则乙在周二,庚在周五,故选D.(2)若甲被录取,对于命题,其逆否命题成立,即若乙、丙未全被录取,则甲被录取,命题成立,则乙、丙有且只有一人录取,命题成立,则乙被录取,三个命题能同时成立;若乙被录取,命题成立,则丙未被录取,命题成立,命题成立,其逆否命题成立,即若乙、丙未全被录取,则甲被录取,三个命题能同时成立;若丙被录取,命题成立,则乙未被录取,命题成立,则甲未被录取,那么命题就不能成立,三个命题不能同时成立.综上所述,甲与乙被录取.故选D.