新教材2020-2021学年人教A版数学选择性必修第一册学案：1-4-2　第1课时　距离问题 WORD版含解析.doc

1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题素养目标定方向 课程标准学法解读1理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导2了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题(直观想象、数学运算)必备知识探新知 知识点1 点P到直线l的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量a在直线l上的投影向量为au，则点P到直线l的距离为(如图)知识点2 点P到平面的距离设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离为(如图

2、)思考1：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离关键能力攻重难 题型探究题型一利用空间向量求点线距典例1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离解析以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量(4,3

3、,0)，(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离d规律方法用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确【对点训练】如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，AB1，BC2，AA3，求点B到直线AC的距离解析因为AB1，BC2，AA3，所以A(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)，所以直线AC的方向向量(1,2，3)又(0,2,0)，所以在上的投影长为 所以点B到直线AC的距离d题型二利用空间向量求点面距、线面距典例2在三棱锥SABC

4、中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示求点B到平面CMN的距离分析借助平面SAC平面ABC的性质，建立空间直角坐标系，先求平面CMN的法向量，再求距离解析取AC的中点O，连接OS，OBSASC，ABBC，ACSO，ACBO平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC又BO平面ABC，SOBO又ABC为正三角形，O为AC的中点，AOBO如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0，0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，

5、(1,0，)，(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d规律方法求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)在三棱锥中用等体积法求解(3)向量法：d(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)【对点训练】在直三棱柱中，AA1ABBC3，AC2，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求直线B1C到平面A1BD的距离解析(1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DEB1C平面A1BD(2)解：因为B1C平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平

6、面A1BD的距离，如图建立坐标系，则B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(1,0,3)，(0,2，3)，(0,2，0)，(1,0,3)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，所以所以n(3,0,1)所求距离为d题型三利用空间向量求面面距典例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在棱BB1上，EB11，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离分析根据两个平行平面间距离的定义，可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一点到另一

7、个平面的距离，即点面距解析(1)证明：如图所示建立空间直角坐标系，设ABa，则A1(a,0,0)，B1(0,0,0)，C1(0，2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a，0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G所以(0,2,2)，(a,0,0)，(0,2，2)所以0000，0440所以，所以B1DAB，B1DBD，又ABBDB，所以B1D平面ABD(2)证明：由(1)可得(a,0,0)，(0,2，2)，(0,1，1)，所以2，2，所以，所以GFAB，EFBD又GFEFF，ABBDB，所以平面EGF平面ABD(3)解：由(1)(2)知，是平面EGF和平面ABD的法向量因为平面

8、EGF平面ABD，所以点E到平面ABD的距离就是两平面的距离，设为d因为(0,0,3)，(0,2,2)，所以d即两平面间的距离为规律方法求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解注意：这个点要选取适当，以方便求解为主【对点训练】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解析以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(0,1，1)，(1，0，1)，(1,0,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n

9、(1,1,1)，点D1到平面A1BD的距离d易证平面A1BD平面B1CD1，平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为易错警示典例4已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG2，求点B到平面EFG的距离错解建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,2)，E(4，2,0)，F(2，4,0)，B(4,0,0)，(4，2，2)，(0，2,0)，(2，4，2)设平面EFG的法向量为n(x，y，z)由得所以xy，z3y取y1，则n(1,1，3)所以点B到平面EFG的距离d|n|2辨析对距离公式记忆不够准确忽略法向量的模而使距离求错利用距离公式求解时一定牢记距离公式正解所以点B到平面EFG的距离d