新教材2020-2021学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时素养评价 3-1-2-1 椭圆的简单几何性质 WORD版含解析.doc

1、二十一椭圆的简单几何性质(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是()A.长轴长为B.焦距为 C.短轴长为D.离心率为【解析】选D.椭圆C:16x2+4y2=1,化为标准形式为+=1,可得a=,b=,则c=,可得离心率为e=.【加练固】 椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率依次是()A.7,2,B.14,4,C.7,2,D.14,4,-【解析】选B.将椭圆方程化为标准形式为+=1,可知b=2,a=7,c=3,则可得e=.2.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为a2=

2、2,b2=m,e=,所以m=.3.设F1,F2是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,F2PF1是底角为30的等腰三角形|PF2|=|F2F1|2=2ce=.4.已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若tanPF2F1=,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选A.如图,把x=-c代入+=1,可得y=,不妨取P,则|PF1|=,而|F1F2|=2c,所以tanPF2F1=,则2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=

3、0.解得:e=-2(舍)或e=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为.【解析】当焦点在x轴上时,a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=,所以=,解得m=3.当焦点在y轴上时,a2=m,b2=5,所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=,所以=,解得m=.故m=3或m=.答案:3或6.已知F1为椭圆+=1(ab0)的右焦点,过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l,交椭圆于A,B两点,且ABF1的周长的最大值为5b,则该椭圆的离心率为.【解析】设椭圆的左焦点为F2,则有|AF1|+|BF1|+|AB|AF1|+|BF1|+|AF

4、2|+|BF2|=4a=5b,则c=a,因此所求离心率为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,在平面直角坐标系中有一直角梯形ABCD,AB的中点为O,ADAB,ADBC,|AB|=8,|BC|=6,以A,B为焦点的椭圆经过点C.求椭圆的标准方程.【解析】根据题意,设椭圆的标准方程为+=1(ab0),|AB|=8且AB的中点为O,则A的坐标为(-4,0),B的坐标为(4,0),即椭圆中c=4,则a2-b2=16;又由|BC|=6,故C的坐标为(4,6),椭圆经过点C,则有+=1;解得:a2=64,b2=48,故椭圆的标准方程为+=1.8.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上

5、一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos 60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以,即e.又0e1,所以e的取值范围是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin 60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.(15分钟30分)1.(5分)(多选题)F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cosOF

6、A=,则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选BD.当焦点在x轴上时,cos OFA=.因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以椭圆方程为+=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.2.(5分)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为=0,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb,c2b2=a2-c2,故e2,所以0eb0)的

7、焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率e=.【解析】如图,切线PA,PB互相垂直,半径OA垂直于PA,所以OAP是等腰直角三角形,故=a,解得e=.答案:4.(5分)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B,满足=,且,则椭圆的离心率为.【解析】由题意,根据=,可知点B的坐标为(-3c,0),因为A(0,b),F2(c,0),所以=(-3c,-b),=(c,-b),所以=-3c2+b2=-3c2+a2-c2=a2-4c2=0,解得=,即e=.答案:5.(10分)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),

8、且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),且+=1,所以=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.所以为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为4m.由题意知,当x0=4时,最小,所以4m4,所以m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1m4.1.已知椭圆+=1(ab0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根

9、x1,x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能【解析】选A.因为x1,x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根,所以x1+x2=-,x1x2=-=-.所以+=(x1+x2)2-2x1x2=+1,因为ab,所以1,所以+12,故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.2.已知定点A(a,0),其中0a3,它到椭圆+=1上的点的距离的最小值为1,求a的值.【解析】设椭圆上任一点为P(x,y)(-3x3),则|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+(36-4x2)=+4-a2,当0a时,有0(舍);当a3时,有3a,当且仅当x=3时,(|PA|2)min=a2-6a+9=1,解得a=2或a=4(舍),综上可得a=2.关闭Word文档返回原板块