新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：5-1-2　弧度制 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家5.1.2弧度制目标 1.知道弧度制；2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式；3.能进行弧度与角度的互化重点 弧度与角度的互化难点 1弧度角的概念的理解知识点一角的单位制 填一填(1)角度制(2)弧度制答一答1扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关2在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？提示：1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的1弧度的角是长度等

2、于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系 填一填(1)正角：正角的弧度数是一个正数(2)负角：负角的弧度数是一个负数(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|.答一答3判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应()(3)用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同()4角6这种表达方式正确吗？提示：正确角6表示6弧度的角，这里将“弧度”省

3、去了知识点三角度与弧度的互化 填一填答一答5在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如2k30，kZ是不正确的写法，应写成2k，kZ或k36030，kZ.知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式 填一填扇形的半径为R，弧长为l，(02)为圆心角，则扇形弧长为lR，周长为l2R，扇形面积SlRR2.答一答6角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l，扇形面积公式S.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角

4、度制下的公式简单，但要注意它的前提是为弧度制类型一弧度制的概念 例1有关角的度量给出以下说法：1的角是周角的，1 rad的角是周角的；1 rad的角等于1度的角；180的角一定等于 rad的角；“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位其中正确的说法是_解析由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，均正确；因为1 rad57.301，故不正确答案解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念，知道角度制与弧度制的关系变式训练1下列说法中，错误的是(D)A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是

5、1弧度解析：由弧度制的定义知D说法错误故选D.类型二角度制与弧度制的互化 命题视角1：角度制与弧度制的换算例2将下列角度与弧度进行互化：(1)36；(2)11230；(3)；(4).解(1)3636 rad rad；(2)11230112.5112.5 rad rad；(3)105；(4)396.将角度转化为弧度时，在把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可.变式训练2(1)630化为弧度为；(2)15730；(3)3 rad，它是第三象限角解析：(1)630630.(2)15730.(3)根据角度制与弧度制的换算，1 rad，则3 r

6、ad171.9.分析可得，是第三象限角命题视角2：用弧度制表示终边相同的角例3(1)把1 480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0,4中找出与角终边相同的角解(1)因为1 4801 480 rad rad，所以10 ，其中.(2)因为18072，所以终边与角相同的角为72k360(kZ)，当k0时，72；当k1时，432.所以在0,4中与角终边相同的角为，.用弧度表示的与角终边相同的角的一般形式为2k(kZ)，这些角所组成的集合为|2k，kZ.变式训练3将下列各角化成2k(02，kZ)的形式，并指出它们是第几象限角(1)1 725；(2)870.解：(1)因为1 725536075，

7、所以1 72510.所以1 725与的终边相同，故1 725是第一象限角(2)8704，角870与终边相同，故870是第二象限角类型三弧长公式与扇形面积公式 例4(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin2C.D2sin1(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数已知一扇形的圆心角是72，半径等于20 cm，求扇形的面积分析(1)求弧长圆心角和弦长构造三角形利用三角函数(2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积lR或SlR.解析(1)如图，过点O作OCAB于C，延长OC，交于D，则AOCBOC1 rad，且ACAB1.在RtAOC

8、中，OA.圆心角所对的弧长lOA，故选C.(2)解：设扇形圆心角的弧度数为(02 rad(舍去)当r4时，l2(cm)，此时， rad.设扇形弧长为l，因为7272(rad)，所以lR208(cm)所以SlR82080(cm2)答案(1)C(2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.变式训练4已知一扇形的周长为8 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2rl8，l82r，Slrr(82r)r24r(r2)24(0r4)当r2

9、时，Smax4 cm2，此时l4 cm，2.所以当半径长为2 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为4 cm2.12 100化成弧度是(A)A.B10 C.D.解析：2 1002 100.2角的终边所在的象限是(D)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：4，的终边位于第四象限，故选D.3与角终边相同的角是(C)A.B.C.D.解析：与角终边相同的角的集合为|2k，kZ，当k1时，2，故选C.4在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2rad.解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为2 rad.5已知800.(1)把改写成2k(kZ,02)的形式，并指出的

10、终边在第几象限；(2)求 角，使与角的终边相同，且.解：(1)8003360280，280，(3)2，角与的终边相同，是第四象限角(2)与角终边相同的角为2k，kZ，与终边相同，2k，kZ.又，2k，当k1时，不等式成立，2.本课须掌握的三大问题1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数度数3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度- 11 - 版权所有高考资源网