2022高考数学人教B版一轮总复习学案：5-4　复数 WORD版含解析.docx

1、5.4复数必备知识预案自诊知识梳理1.复数的有关概念(1)定义:当a和b都是时,称a+bi为复数,其中i为虚数单位.复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,bR),其中称为z的实部,称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.(2)所有复数组成的集合C=z|z=a+bi,a,bR称为复数集.2.复数的分类对于复数z=a+bi(a,bR),当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当且仅当时,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.可以通过下图表示:(1)复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0),虚数(b0)纯虚数a=0,非纯虚数a0.(2)集合表示3.复数相等两个复数z1与z2,如果

2、都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.即如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di.特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是.4.复数的几何意义(1)复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是,因此x轴称为;y轴上的点除了外,对应的都是,称y轴为.(2)复数的几何意义复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,与以O为始点的向量组成的集合之间也建立一一对应关系,即复数z=a+bi点Z(a,b)向量OZ=(a,b).5.共轭复数如果两个复数的实部,而虚部,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用z表示,当z=a

3、+bi(a,bR)时,有z=a-bi.温馨提示在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.共轭复数的和为实数,即若z=a+bi,则z+z=2a.特别地,若z0,且z+z=0,则z是纯虚数.6.复数的模一般地,向量OZ=(a,b)的称为复数z=a+bi的模(或绝对值),用|z|表示.因此|z|=a2+b2.当b=0时,|z|=.7.复数的加法(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=.(2)加法运算律对任意复数z1,z2,z3,有交换律:z1+z2=z2

4、+z1.结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)复数加法的几何意义如果复数z1,z2所对应的向量分别为OZ1,OZ2,则当OZ1与OZ2不共线时,以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则z1+z2所对应的向量就是OZ.由复数加法的几何意义得|z1|-|z2|z1+z2|z1|+|z2|.8.复数的减法(1)复数z=a+bi(a,bR)的相反数记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称z1-z2为z1与z2的差,则z1-z2=.(3)复数减法的几何意义如果复数z1,z2所对应的向量分别为OZ1,

5、OZ2,设点Z满足OZ=Z2Z1,则z1-z2所对应的向量就是OZ.由复数减法的几何意义得|z1|-|z2|z1-z2|z1|+|z2|.9.复数的乘法(1)复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),称z1z2(或z1z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3,有交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z310.复数的除法(1)如果复数z20,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=z1z2(或z=

6、z1z2).(2)一般地,给定复数z0,称1z为z的倒数,z1除以z2的商z1z2也可以看成z1与z2的倒数之积.显然,利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数,以及任意两个复数的商(除数不能为0).11.实系数一元二次方程在复数范围内的解集当a,b,c都是实数且a0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且(1)当=b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当=b2-4ac0时,方程有两个互为共轭的虚数根.1.(1)zz=|z|2=|z|2R,z与z互为实数化因式.(2

7、)z1z2=z1z2,z1z2=z1z2,z1z2=z1z2(z20).(3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.(4)in(nN*)的性质nN*时,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,其中i0=1,i-n=1in(nN*).说明:上述公式说明i的幂具有周期性,且最小正周期是4;n可推广到整数集;4k(kZ)是i的周期;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.2.n(nN*)的性质1的三次虚数根的性质,由方程x3-1=0,得x1=1,x2=-1+3i2,x3=-1-3i2.取1=-1+3i2,2=-1-3i2,则1,2具有下列性质

8、:13=23=1;1+1+2=0;12=2,22=1;1=2;12=1,1=12,2=11;另外,3n=1,3n+1=,3n+2=2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若aC,则a20.()(2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,bR)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()2.(多选)(2021年1月8省适应性测试)设z1,z2,z3为复数,z10.下列命题中正确的是()A.若|z2|=|z3|

9、,则z2=z3B.若z1z2=z1z3,则z2=z3C.若z2=z3,则|z1z2|=|z1z3|D.若z1z2=|z1|2,则z1=z23.(2020安徽安庆高三二模)已知i为虚数单位,复数z满足(1+i3)z=2,则下列判断正确的是()A.z的虚部为iB.|z|=2C.zz=2D.z2=24.(2020新高考全国1,2)2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是.关键能力学案突破考点复数的有关概念【例1】(1)(2020全国3,理2)复数11-3i的虚部是()A.-310B.-110C.110D.310(

10、2)(2020全国1,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.2D.2(3)复数z1=a+2i,z2=-2+i,如果|z1|z2|,那么实数a的取值范围为.解题心得解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,bR),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di共轭a=c,b=-d(a,b,c,dR).对点训练1(1)(多选)(2020江苏盐城大丰新丰中学高三期中)下面是关于复数z=2-1+i

11、的结论,其中正确的为()A.|z|=2B.z2=2iC.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为-1(2)记复数z的共轭复数为z,若z(1-i)=2i,则|z|=()A.2B.1C.22D.2考点复数的运算【例2】(1)(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i(2)(2020湖南湘潭高三三模)若复数z=1+i1-i2019,则z=.(3)(2020全国2,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.解题心得复数代数形式运算问题的解题策略复数的加、减法在进行复数的加、减

12、法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的乘法,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式对点训练2(1)(2020山东青岛一模)已知i是虚数单位,复数z=1-2ii,则z的共轭复数z的虚部为()A.-iB.1C.iD.-1(2)(2020浙江宁波效实中学高三)已知复数z1=i,z2=2i1+i,则|z1+z2|=,z1+z12+z12020=.考点复数的几何意义【例3】(1)(2019全国2,理2)设z=-3+2i,则

13、在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1(3)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,若OC=OA+OB(,R),则+的值是.解题心得解与复数的几何意义相关的问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算,将复数化为代数形式;(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系,依据是复数a+bi(a,bR)与复平面上的点(a,b)一一对应.对点训练3(1)(2020陕西汉中高三教学质量检测)在复平面内,复数1+i(1-i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是()A.P0点的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为22