2022高考数学人教B版一轮总复习学案：9-1　两个基本计数原理、排列与组合 WORD版含解析.docx

1、第九章排列、组合与二项式定理、统计模型9.1两个基本计数原理、排列与组合必备知识预案自诊知识梳理1.两个基本计数原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的方法完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法结论完成这件事共有N=种不同的方法完成这件事共有N=种不同的方法依据能否独立完成整件事能否逐步完成整件事2.两个计数原理的区别与联系名称分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是用来计算完成一件事的不同

2、方法种类的计数方法不同点针对“分类”问题,各种方法相互独立,每一类办法中的每一种方法都可以完成这件事针对“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事分类完成,类类相加分步完成,步步相乘注意点类类独立,不重不漏步步相依,步骤完整3.排列与组合的概念名称定义说明排列一般地,从n个不同对象中,任取m(mn)个对象按照排成一列时的排列(即的排列)称为全排列组合4.排列数及排列数公式排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数排列数的表示Anm(n,mN+,mn)排列数公式乘积式Anm=n(n-1)n-(m-1)m个数=阶乘式A

3、nm=n!(n-m)!续表阶乘Ann=规定0!=,An0=性质(1)Anm=nAn-1m-1;(2)Anm+mAnm-1=5.组合数及组合数公式定义从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数表示(n,mN+且mn)组合数公式乘积式Cnm=阶乘式Cnm=性质(1)Cnm=Cnn-m;(2)Cn+1m+1=Cnm+1+Cnm.1.Anm=(n-m+1)Anm-1.2.Anm=nAn-1m-1.3.(n+1)!-n!=nn!.4.kCnk=nCn-1k-1.5.Cnm=nmCn-1m-1=nn-mCn-1m=n-m+1mCnm-1.6.Anm=CnmAmm

4、.7.Cnm=nmCn-1m-1=n(n-1)m(m-1)Cn-2m-2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()(2)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列.()(3)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同.()(4)从甲、乙、丙三名同学中选出两名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法是组合问题.()(5)若组合式Cnx=Cnm,则x=m成立.()2.A42+C73=()A.35B.47C.45D.573.3个班分别从5个景点中选择一处游览,不同的选法种数为

5、()A.243B.125C.128D.2644.2020年4月30日,我国的5G信号首次覆盖了海拔8 000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线,为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播,现从海拔5 300米、5 800米和6 500米的三个大本营中抽出了4名技术人员,派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测,每个路段至少安排1名技术人员,则不同的安排方法共有()A.72种B.36种C.48种D.54种5.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数是.关键能力学案突破考点两个计数原理的综合应用【例1】用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成个无

6、重复数字的四位偶数.解题心得解决较为复杂的计数问题,一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做到合理分类,准确分步:处理计数问题,应紧扣两个原理,根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”,要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.分类时需要满足两个条件:类与类之间要互斥(保证不重复);总数要完备(保证不遗漏),也就是要确定一个合理的分类标准.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到步与步之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.对点训练1如图,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种.考点排列数、组合数公式的

7、应用【例2】(1)计算:C105C100-C1010.(2)证明:mCnm=nCn-1m-1.(3)解方程:A2x+14=140Ax3.解题心得1.排列数和组合数公式要注意mN*,nN*,且nm,由此确定m,n的范围,求解后要验证所得结果是否符合题意.2.解排列数(组合数)不等式(方程)时,应先利用计算公式将排列数(组合数)的形式转化为常规代数不等式(方程)的形式,然后求解.对点训练2(1)解方程:3Cx-3x-7=5Ax-42.(2)解不等式:An-222-n.考点简单的排列应用题考向1在与不在问题特殊元素(或位置)优先法【例3】6人站成一排,其中甲不能站在排头,乙不能站在排尾的不同排法共有

8、种.解题心得解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法即以元素为主,优先考虑特殊元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法即以位置为主,优先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置.变式发散6人站成一排,则甲既不站排头又不站排尾的站法有种.对点训练36个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种考向2相邻问题捆绑法【例4】3名男生、3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为()A.2B.9C.72D.36解题心得在实际排列问题中,某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看成一个整体,与其他元素排

9、列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“捆绑法”.对点训练4某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.32考向3不相邻问题插空法【例5】某校高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()A.1 800B.3 600C.4 320D.5 040解题心得某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入已排好的元素的空隙或两端位置,这种方法称为“插空法”.对点训练5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小

10、品类节目和1个相声类节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168考向4定序问题等几率法【例6】有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有种.解题心得若有(m+n)个元素排成一列,其中有m个元素之间的顺序固定不变,则将这(m+n)个元素排成一列,共有Am+nm+n种不同的排法,然后固定其他的n个元素的位置不动,把这m个元素变换顺序,共有Amm种排法,其中只有一个排列是我们所需要的排列,因而共有Am+nm+nAmm种不同的排法.对点训练67个人排成一队参观某项目,其中A,B

11、,C三人进入展厅的次序必须是先B再A后C,则不同的列队方式种数为()A.120B.240C.420D.840考点简单的组合应用题【例7】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解题心得组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出

12、,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.对点训练7男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.考点分组与分配问题【例8】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1

13、)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.相同元素的“分配”问题,常用的方法是采

14、用“隔板法”;不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;限制条件的分配问题常采用分类法求解.对点训练8(1)某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1,2,3的三个实验室实习,若要求每个实验室分配到的大学生人数不少于该实验室的编号,则不同的分配方案的种数为()A.280B.455C.355D.350(2)学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试,则每所大学至少推荐一人的不同推荐方法种数为()A.240B.180C.150D.540类型一圆形排列问题【例1】小明及朋友小张去参加一个聚会,8个人围着圆桌随机坐下,每个

15、人坐在任何一个位置的概率相等.在这种情况下小明同其朋友小张坐在一起所有可能情况有种.答案1 440解析小明及其朋友小张坐在一起时总的坐法可以这样考虑,第一步:将除去小明及其朋友小张外6个人排好,有(6-1)!种坐法;第二步,把小明及其朋友小张作为一个整体插到6个人形成的空隙中,6个人围在一起时,会形成6个空隙,故有6种情况;第三步,小明及其朋友小张内部可以全排列.由分步乘法计数原理,小明及其朋友坐在一起的坐法有(6-1)!6A22=1440(种).解题心得n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n-1)!种.解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想,即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中.类

16、型二“隔板法”解一类分组与分配问题【例2】将组成篮球队的10个名额分配给7所学校,每校至少1名,问名额的分配方式共有多少种?解(方法1)问题等价于将排成一行的10个相同元素分成7份的方法数,相当于在10个相同元素的9个间隔(除去两端)中插入6块隔板分成7份,共有C96=84(种)方法.所以名额分配方式有84种.(方法2)由于每校至少1名,先将每个学校分配1名,还剩下3名,将这3名分配给7所学校,共有以下三类分法:全部分给一校有C71种(此时该校共有4名,另外六校各1名);分给两校,一校2名,另一校1名有C71C61(或列式为A72)种;均分给三校有C73种.由分类加法计数原理知共有分配方式C7

17、1+C71C61+C73=84(种).解题指导“名额”是不加区分的,相当于将10个相同的元素分配到7个不同的单位,每个单位至少一个,求分配的种数,因此可考虑分类(不均匀分配)处理或用“隔板法”.【例3】求方程x1+x2+x3+x4=10的正整数解的组数.解将10个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的9个空中任选3个插入3块隔板,把球分为四组(如图).x1x2x3x4每一种分法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4.显然x1+x2+x3+x4=10,故(x1,x2,x3,x4)是方程的一组解.反之,方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4),对应着唯一的一种在10个球之间插入隔板的方式(如图

18、).y1y2y3y4故方程的正整数解和插入隔板的方法一一对应,即方程的正整数解的组数等于插隔板的方法数C93,即84组.解题心得“隔板法”是解决相同元素的分配问题与不定方程整数解的组数问题的常用方法.(1)凡“相同小球放入不同盒中”的问题,即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用“隔板法”解:当每组至少含一个元素时,其不同分组方式有N=Cn-1m-1种,即在n个元素中间的n-1个空中加入m-1个“隔板”.任意分组,可出现某些组含元素为0个的情况,其不同分组方式有N=Cn+m-1m-1种,即将n个相同元素与m-1个相同“隔板”进行排序,在n+m-1个位置中选m-1个安排

19、“隔板”.(2)不定方程就是未知数的个数大于方程的个数,像方程x1+x2+xn=m就是一个最简单的不定方程.求这类不定方程的整数解的组数的常用方法也是“隔板法”.类型三几何图形中的组合问题【例4】(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,有多少种不同的取法?(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同取法?解题指导对(1)可用直接法,对(2)先求出从10个点中任取4个点的取法,然后剔除不合题意的:在四面体的同一平面内;其中三点在一条棱上,另一点是其所对棱的中点;都是对棱的中点.解(1)(直接法)如图,含顶点A的四面体的

20、3个面上,除点A外都有5个点,从中取出3个点必与点A共面,共有3C53种取法;含顶点A的三条棱上,除点A外都有2个点,它们与所对棱的中点共面,共有3种取法.根据分类加法计数原理,与顶点A共面的3个点的取法有3C53+3=33(种).(2)(间接法)如图,从10个点中取4个点的取法有C104种,除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面,有4C64=60(种)取法;四面体的每一条棱上3点与所对棱中点共面,共有6种取法;从6条棱的中点中取4个共面点时有3种取法(对棱中点连线两两相交且互相平分),故4点不共面的取法有C104-(60+6+3)=141(种).解题心得利用组合知识解决与几何有关的问题应注意:(1)将已知条件中的元素特征搞清楚,确定采用直接法还是间接法.(2)使用分类方法时,确定分类的标准是一个难点,具体问题应具体分析.(3)常采用间接法解决该类问题.