新教材2020-2021高中人教A版数学选择性必修第三册素养检测：第六章 计数原理 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元素养检测(一)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.5位同学报名参加两个课外活动,每位同学限报其中的一个活动,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种【解析】选D.因为5位同学报名参加两个课外活动,每位同学限报其中的一个活动,都有2种方法,则不同的报名方法共有25=32种.2.在的展开式中,常数项为()A.-120B.120C.-160D.1

2、60【解析】选C.展开式的通项Tk+1=(-1)k2kx2k-6,令2k-6=0,k=3,常数项T3+1=(-1)323=-160.3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有()A.1440种B.960种C.720种D.480种【解析】选B.5名志愿者先排成一排,有种方法,2位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有24=960种不同的排法.4.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,指数学.某校国学社团开展“

3、六艺”课程讲座活动,每“艺”安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.12种B.24种C.36种D.48种【解析】选C.由题意,“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻时,可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,有3种,再考虑两者的顺序,有=2种,剩余的3门全排列,安排在剩下的3个位置,有=6种,所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有326=36种不同的排法.5.四所大学同时向甲、乙、丙、丁四名学生发出录取通知书,若这四名学生都愿意进这四所大学的任一所就读,则仅有两名学

4、生被录取到同一所大学的就读方式有()A.288种B.144种C.108种D.72种【解析】选B.先把人分成2,1,1三组,有种方法,再给其安排学校有种安排方法,根据分步乘法计数原理可得就读方式有=144(种).6.因新冠肺炎疫情防控工作需要,M,N两社区需要招募义务宣传员,现有A,B,C,D,E,F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加,现将他们分成两个小组,分别派往M,N两社区开展疫情防控宣传工作,要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生,且B由于工作原因只能派往M社区,则不同的选派方案种数为()A.120B.90C.60D.30【解析】选C.由于B只能派往M社区,所以分组时不用考

5、虑B.按照要求分步将大学生和党员教师分为两组,再分别派往两个社区.第一步:按题意将剩余的5位大学生分成一组2人,一组3人,有=10种;第二步:按题意将3位党员教师分成一组1人,一组2人,有=3种;再分别派往两个社区的不同选派种数为1032=60.7.设(-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则(a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2的值为()A.0B.-1C.1D.(-1)10【解析】选C.由(-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10可得:当x=-1时,(+1)10=a0+a11+a212+a10110=a0+a1+a2+a10,当x=1时,(-1)10=a0-a1

6、+a2+a10.所以(a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2=(a0+a1+a2+a10)(a0-a1+a2-a3+a10)=(-1)10(+1)10=(-1)(+1)10=1.8.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码,它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如表:数字123456789形式其中“”需要1根火柴,“”与“”需要2根火柴,若为0,则用空位表示.(如123表示为,405表示为)如果把6根火柴以适当的方式全部放入的表格中,那么可以表示的不同的三位数的个数为()A.87B.95C.100D.103【解析】选D.用6根火柴表示数字,所有搭配情况如下:1根火柴

7、和5根火柴:1根火柴可表示的数为1; 5根火柴可表示的数为8,和0一起能表示的数共有4个 (108,180,801,810).2根火柴和4根火柴:2根火柴可表示的数为2,5; 4根火柴可表示的数为7,和0一起能表示的数有4=8(个).3根火柴和3根火柴:3根火柴可表示的数为3,4,6,9,和0一起能表示的数分为2类:()除0外的两个数字相同,可表示的数有4=8(个);()除0外的两个数字不同,则有4=24(个),所以共有 8+24=32(个).1根火柴、1根火柴和4根火柴:即有1,1,7组成的数,共有3个 (117,171,711);1根火柴、2根火柴和3根火柴:即由1,2或5中的一个,3,4

8、,6,9中的一个数字组成的三位数,共有=2432=48(个).2根火柴、2根火柴、2根火柴:即由2或5组成的三位数,分为两类:()三个数字都相同,共有2个 (222,555);()三个数字中的两个数字相同,则有3=6(个),共有 2+6=8(个).综上可知,可组成的三位数共有4+8+32+3+48+8=103(个).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列等式中,成立的有()A.=B.+=C.=D.=n【解析】选BCD.=n(n-1)(n-m+1)=,A错;根据组合数性质知

9、B,C正确;=n,D正确.10.现有8个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有种()A.(+)B.-C.D.-【解析】选AB.除了甲、乙、丙三人以外的5人先排,有种排法,5人排好后产生6个空当,第一类插入甲、乙、丙三人有种方法,这样共有种排法,第二类甲、乙、丙三人任两人有种方法,和剩余一人插入6个空当有种方法,这样共有种排法,一共有(+)种排法,在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数,即-,故B正确.11.有四名男生,三名女生排队照相,七个人排成一排,则下列说法正确的有()A.如果四名男生必须连排在一起,那么有720种不同排法B.

10、如果三名女生必须连排在一起,那么有576种不同排法C.如果女生不能站在两端,那么有1 440种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起,那么有1 440种不同排法【解析】选CD.A中,如果四名男生必须连排在一起,将这四名男生捆绑,形成一个“大元素”,此时,共有=242=576种不同的排法,A选项错误;B中,如果三名女生必须连排在一起,将这三名女生捆绑,形成一个“大元素”,此时,共有=6120=720种不同的排法种数,B选项错误;C中,如果女生不能站在两端,则两端安排男生,其他位置的安排没有限制,此时,共有=12120=1 440种不同的排法种数,C选项正确;D中,如果三个女生中任何两个

11、均不能排在一起,将女生插入四名男生所形成的5个空中,此时,共有=2460=1 440种不同的排法种数,D选项正确.12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是()A.每人都安排一项工作的不同方法数为45B.每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加,则不同的方法数为C.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排一人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为(+)D.每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是+【解析】选AD

12、.每人都安排一项工作的不同方法数为45,即选项A正确;每项工作至少有一人参加,则不同的方法数为,即选项B错误;如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排一人,则这5名同学全部被安排的不同方法数为:,即选项C错误;分两种情况:第一种,安排一人当司机,从丙、丁、戊选一人当司机有,从余下四人中安排三个岗位,故有=;第二种情况,安排两人当司机,从丙、丁、戊选两人当司机有,从余下三人中安排三个岗位,故有;所以每项工作至少有一人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是+.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.的展开

13、式中x3项的系数是.(用数字作答)【解析】展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k=26-k,k=0,1,6,令6-k=0,k=4,6-k=3,k=2,展开式中,常数项为T5=22=60,含x3项为T3=24x3=240x3,的展开式中x3项系数为60+240=300.答案:30014.某市政府决定派遣8名干部(5男3女)分成两个小组,到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作,若要求每组至少3人,且女干部不能单独成组,则不同的派遣方案共有种.(用数字作答)【解析】由题意知,派遣8名干部分成两个小组,每组至少3人,可得分组的方案有3,5和4,4两类,第一类有(-1)=110种;第二类有=70种,由分类计数

14、原理,可得共有N=110+70=180种不同的方案.答案:18015.(2019浙江高考)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.【解析】展开式通项是:Tr+1=()9-rxr,所以常数项是T1=()9=16,若系数为有理数,则9-r为偶数,所以r为奇数,所以r可取1,3,5,7,9.答案:16516.用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2不相邻,这样的六位数的个数是(用数字作答).【解析】任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,可分三步来做这件事:第一步:先将3,5排列,共有种排法;第二步:再将4,6插空排

15、列,共有2种排法;第三步:将1,2放到3,5,4,6形成的空中,共有种排法.由分步乘法计数原理得共有2=40(种).又任何相邻两个数字的奇偶性不同,共有2=72种,所以任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2不相邻,这样的六位数的个数是72-40=32.答案:32四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求证:2n+23n+5n-4能被25整除.【证明】因2n+23n+5n-4=46n+5n-4=4(5+1)n+5n-4=4(5n+5n-1+5n-2+52+5+1)+5n-4=4(5n+5n-1+5n-2+52)+25n显然(5n+5n

16、-1+5n-2+52)能被25整除,25n能被25整除,所以2n+23n+5n-4能被25整除.18.(12分)用0,1,2,3,4这五个数字,可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数?(1)被4整除.(2)比21 034大的偶数.(3)左起第二、四位是奇数的偶数. 【解析】(1)被4整除的数,其特征应是末两位数是4的倍数,可分为两类:当末两位数是20,40,04时,其个数为3=18,当末两位数是12,24,32时,其个数为3=12.故满足条件的五位数共有18+12=30(个).(2)可分五类:当末位数是0,而首位数是2时,有=6(个);当末位数字是0,而首位数字是3或4时,有=12(

17、个);当末位数字是2,而首位数字是3或4时,有=12(个);当末位数字是4,而首位数字是2时,有+=3(个);当末位数字是4,而首位数字是3时,有=6(个).故共有6+12+12+3+6=39(个).(3)可分两类,0是末位数,有=4(个);2或4是末位数,有=4(个).故共有4+4=8(个).19.(12分)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.【解析】根据所给的等式求得常数项a0=1,令x=1,所以a0+a1+a2+a7=-1,则a1+a2+

18、a7=-2.在所给的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+a7=-1令x=-1,则a0-a1+a2-a3+-a7=37用-再除以2可得a1+a3+a5+a7=-1 094.用+再除以2可得a0+a2+a4+a6=1 093.在中,令x=-1,可得+=a0-a1+a2-a3+-a7=37=2 187.20.(12分)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法.(用数字回答)(1)每人恰好参加一项,每项人数不限;(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加.【解析】(1)每人都可以从这四个项目中选报一项,各有4种

19、不同的选法,由分步乘法计数原理知共有46=4 096种.(2)每项限报一人,且每人至多报一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种不同的选法,第二个项目有5种不同的选法,第三个项目有4种不同的选法,第四个项目有3种不同的选法,由分步乘法计数原理得共有报名方法=6543=360(种).(3)每人限报一项,人人参加,且每个项目均有人参加,因此需将6人分成4组,有+=20+=65(种).每组参加一个项目,由分步乘法计数原理得共有=24=1 560(种).21.(12分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的数,问(1)能够组成多少个五位奇数?(2)能够组成多少个正整数?(3)能够组成多少个大于40

20、 000的正整数?【解析】(1)首先排个位数字,从1,3,5中选1个数排在个位有=3种,其余4个数全排列有=24种,按照分步乘法计数原理可得有=72个五位奇数.(2)根据题意,若组成一位数,有5种情况,即可以有5个一位数;若组成两位数,有=20种情况,即可以有20个两位数;若组成三位数,有=60种情况,即可以有60个三位数;若组成四位数,有=120种情况,即可以有120个四位数;若组成五位数,有=120种情况,即可以有120个五位数;则可以有5+20+60+120+120=325个正整数.(3)根据题意,若组成的数字比40 000大的正整数,其首位数字为5或4,有2种情况;在剩下的4个数,安排

21、在后面四位,共有=48种情况,则有48个比40 000大的正整数.22.(12分)若某一等差数列的首项为-,公差为展开式中的常数项,其中m是7777-15除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.【解析】由已知得:又nN,所以n=2.所以-=-=-=-54=100,所以首项a1=100.7777-15=(76+1)77-15=7677+7676+76+1-15=76M-14,(MN*),所以7777-15除以19的余数是5,即m=5.的展开式的通项Tr+1=(-1)r()5-2r,(r=0,1,2,3,4,5),若它为常数项,则r-5=0,所以r=3,代入上式所以T4=-4=d.从而等差数列的通项公式是:an=104-4n,设其前k项之和最大,则解得k=25或k=26,故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,S25=S26=1 300.关闭Word文档返回原板块