2022届高考数学理北师大版一轮复习训练：7-4 直接证明与间接证明、数学归纳法 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一反证法的应用1.用反证法证明命题:“a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且ac+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()A.a,b,c,d至少有一个正数B.a,b,c,d全为正数C.a,b,c,d全都大于等于0D.a,b,c,d中至多有一个负数2.对于命题:“若ab=0(a,bR),则a=0或b=0”,若用反证法证明该命题,下列假设正确的是()A.假设a,b都不为0B.假设a,b至少有一个不为0C.假设a,b都为0D.假设a,b

2、中至多有一个为03.若数列an是各项均为正数的等比数列,公比q1,求证:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.【解析】1.选C.用反证法证明命题:“a,b,c,dR,a+b=1,c+d=1,且ac+bd1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为a,b,c,d全都大于等于0.2.选A.用反证法证明命题“若ab=0(a,bR),则a=0或b=0”时,假设正确的是:假设a,b都不为0.3.假设1-an,1-an+1,1-an+2成等比数列,则(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),即1-2an+1+=1+anan+2-(an+an+2),因为数列an是等比数列,所以=

3、anan+2,所以2an+1=an+an+2,所以数列an是等差数列,所以数列an是常数列,这与已知相矛盾,故假设不成立,所以1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.考点二分析法的应用【典例】1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且a+b+c=0,求证:0;a-c0;(a-b)(a-c)0;(a-b

4、)(a-c)0.2.已知数列an是各项都是互不相等的正数的等差数列,求证:+2.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1由a+b+c=0,想到 b=-a-c由bc,且a+b+c=0可得 b=-a-c,要证“a”,只要证b20,即证2a2-c2-ac0,(a-c)(a+a+c)0,即证(a-c)(a-b)0,故“0.答案:2.要证+2,只要证a1+a3+24a2,因为数列an是等差数列,所以a1+a3=2a2,只要证a2,只要证,因为数列an各项均为互不相等的正数,所以成立,所以+0,且an2,故an+1=,所以=,显然an0,+23,所以0),当a0时,f(x)0时,x时,f(x)0,故f(x

5、)在递减,在递增.(2)当a=3时,f(x)=+3ln x-2,令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,则h(x)=(x0),令h(x)0,解得:x1,令h(x)0,解得:0x1,故h(x)在递减,在递增,故h(x)极小值=h(x)min=h=40,显然成立,故g(x)f(x)恒成立.构造差函数用什么方法证明恒成立?提示:构造差函数,通过求出差函数的最小值证明.与立体几何有关的证明【典例】如图,三棱柱ABC-A1B1C1,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,E是B1C1的中点,BAC=CAA1=60,且AB=AC=AA1.世纪金榜导学号(1)求证:DE平面AA1B1B.(2

6、)求证:B1CA1B.【证明】(1)因为点A1在平面ABC内的射影D在AC上,所以A1DAC,又CAA1=60,AC=AA1,所以D是AC的中点,取A1B1的中点F.连接EF,AF.因为E是B1C1的中点,所以EFA1C1,EF=A1C1.所以EFAD,EF=AD.所以四边形ADEF是平行四边形,故AFDE.因为AF平面AA1B1B,DE平面AA1B1B.所以DE平面AA1B1B.(2)连接BD,AB1,由(1)知D是AC的中点.又AB=AC,BAC=60,所以BDAC.所以AC平面A1BD.所以ACA1B.又四边形AA1B1B是平行四边形,AB=AA1,所以AB1A1B.所以A1B平面AB1

7、C.所以B1CA1B.1.设函数f(x)=x3+,x0,1,证明:(1)f(x)1-x+x2;(2),所以f(x).综上,-;又计算:-20.236,-0.213,-0.196,所以-2-,-.(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题.(2)判断该命题的真假,并给出证明.【解析】(1)一般性的命题:n是正整数,则-.(2)命题是真命题.因为-=,-=,所以-.考点四数学归纳法的应用【典例】(2019福州模拟)设i为虚数单位,0,2).已知(cos +isin )2=cos 2+isin 2,(cos +isin )3=cos 3+isin 3,(cos +isin )4=cos 4+isin

8、 4.(1)你能得到什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.(2)已知z=+i,试利用(1)的结论求z10.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题(1)猜想结论利用已知的式子观察、猜想数学归纳法证明按照数学归纳法证明的步骤证明(2)求z10将z化为三角形式代入计算【解析】(1)猜想:(cos +isin )n=cos n+isin n(nN*)成立.证明:当n=1时,左边=右边=cos +isin ,所以猜想成立;假设当n=k(kN*)时,(cos +isin )k=cos k+isin k成立,则当n=k+1时,(cos +isin )k+1=(cos +isin )k(cos+isin

9、)=(cos k+isin k)(cos+isin )=(cos kcos -sin ksin )+i(sin kcos+cosksin )=cos(k+1)+isin(k+1),当 n=k+1时,猜想也成立;综上,由可得对任意nN*,猜想成立.(2)z=+i=2=2,可得z10=210=1 024=1 024=512-512i.关于数学归纳法的应用(1)涉及与正整数有关的命题,才可以考虑利用数学归纳法进行证明.(2)利用数学归纳法证明的关键是证明从k到k+1时仍然成立,一是先要弄清n=k时式子的结构特征,再要弄清n=k+1时式子结构、项的变化,二是证明n=k+1时要充分利用假设,即n=k时的结论.(2019黄山模拟)已知函数f1(x)=sin ,xR,记fn+1(x)为fn(x)的导数,nN*.(1)求f2(x),f3(x).(2)猜想fn(x),nN*的表达式,并证明你的猜想.【解析】(1)f2(x)=f1(x)=cos ,f3(x)=-sin =-sin.(2)猜想:fn(x)=sin,nN*.下面用数学归纳法证明:当n=1时,结论成立;假设n=k(kN*)时,结论成立,即fk(x)=sin.当n=k+1时,fk+1(x)=fk(x)=cos=sin .所以当n=k+1时,结论成立.所以由可知对任意的nN*结论成立.关闭Word文档返回原板块