新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二学案：第五章 5-1-2 导数的概念及其几何意义 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。51.2导数的概念及其几何意义必备知识自主学习导思1.什么是函数在某点处的导数？它的几何意义是什么？2导函数是如何定义的？它与函数在某点处的导数有何关系？1.函数yf的自变量x从x0变化到x0x的平均变化率定义式实质函数值的改变量与自变量的改变量之比意义刻画函数在上函数值变化的快慢(1)xx2x1是正数吗？提示：xx2x1可能是正数，也可能是负数，但不能为0.(2)函数的平均变化率的几何意义是什么？提示：几何意义为函数yf图象上过两点P1，P2的割线的斜率2函数yf在xx

2、0处的导数(瞬时变化率)(1)定义：如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称yf在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf在xx0处的导数(2)记作f或，即f .(3)作用：刻画函数在某点处函数值变化的快慢(1)函数yf在xx0处的导数一定存在吗？提示：当x0时，平均变化率的极限存在，则函数yf在xx0处可导，否则在xx0处不可导或无导数(2)函数yf在xx0处的导数的定义还可以用别的式子表示吗？提示：还可以表示为f 等3导数的几何意义函数f(x)在xx0处的导数f(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0 f(x0).(1)曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：曲线的

3、切线并不一定与曲线只有一个公共点，可以有多个，甚至可以有无穷多个(2)曲线的切线与导数有什么关系？提示：函数f(x)在xx0处有导数，则函数f(x)在该点处必有切线，并且导数值就是该切线的斜率函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，例如f(x)在x0处有切线，但不可导4导函数的概念(1)定义：当x变化时，yf(x)就是x的函数，称它为yf(x)的导函数(简称导数).(2)记作f(x)或y，即f(x)y .f(x)与f(x0)相同吗？它们之间有何关系？提示：f(x)与f(x0)不相同f(x)是函数f(x)的导函数，f(x0)是函数f(x)在xx0处

4、的导数值，是函数f(x)在xx0时的函数值1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是函数yf(x)在点xx0处的函数值()提示：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是函数yf(x)在点xx0处的导数值(2)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值()提示：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线倾斜角的正切值(3)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(

5、x0)处的切线的斜率()提示：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率(4)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率()提示：函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率2设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()A.f(x)a Bf(x)bC.f(x0)a Df(x0)b【解析】选C.f(x0) (abx)a.3

6、(教材习题改编)函数yf(x)的图象如图所示，下列描述错误的是()A.x5处比x2处变化快B.x4处呈上升趋势C.x1和x2处增减趋势相反D.x0处呈上升趋势【解析】选D.根据导数的几何意义：f(5)0，f(4)0，f(2)0，f(0)0，f(1)f(2)0，判断可知D错误4已知函数f(x)在x0处的导数为f(x0)1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为_【解析】设切线的倾斜角为，则tan f(x0)1，又0180，所以45.答案：45关键能力合作学习类型一求函数在某点处的导数(数学抽象、数学运算)1已知函数yf(x)是可导函数，且f(1)2，则()A B2 C1 D1【解析】选C.由题意可

7、得： f(1)，即： 21.2设曲线f(x)ax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B C D1【解析】选A.因为f(1) (2aax)2a，所以2a2，所以a1.3求函数f(x)在x1处的导数【解析】由导数的定义知，函数在x1处的导数f(1)，而，又 ，所以f(1).求函数yf(x)在点(x0，f(x0) 处的导数的三个步骤【补偿训练】若函数yf(x)在xx0处可导，则等于()Af(x0) B2f(x0)C2f(x0) D0【解析】选B.因为x(x0h)(x0h)2h.所以 2 2f(x0).类型二导数的意义在实际问题中的应用(数学抽象、数学运算)【典例】一质点做

8、抛物线运动，已知在t s时，质点的运动路程(单位：m)为s83t2.(1)求质点在1，1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t1 s时的瞬时速度，并说明它们的意义四步内容理解题意条件：质点的运动路程与时间t的函数关系式结论：(1)求质点在1，1t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t1 s时的瞬时速度，并说明它们的意义思路探求(1)按照平均速度的定义式计算；(2)取平均速度的极限即为瞬时速度书写表达(1)因为s83t2，所以s83(1t)2(8312)6t3(t)2，所以质点在1，1t这段时间内的平均速度为：63t.(2)质点在t1 s时的瞬时速度即s(1).s (63t)6.质点在t1 s

9、时的瞬时速度为6 m/s，说明在第1 s附近，质点的运动路程每秒大约减少6 m题后反思当导数值为正值时，说明运动的方向与位移是一致的；当导数值为负值时，说明运动的方向与位移是相反的关于导数的实际意义根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度、求已知曲线的切线直接促使了导数的产生可以利用上述实际问题理解导数的实际意义，导数是在某一时刻附近的瞬时变化率，是路程、速度等在这一时刻附近增加(减小)的大小1某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量

10、)逐步提高的是()【解析】选B.从函数图象上看，要求图象在0，T上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高2建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf(x)0.3，求f(100)，并解释它的实际意义【解析】根据导数的定义，得f(100) 0.105.f(100)0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.类型三导数几何意义的应用(数学抽象、数学运算)角度1 求切线方程【典例】已知曲线C：yx2.求曲线在x1点处的切线方程【思路导引】可先求出切点坐标，再求切线的斜率，最后利用点斜式得

11、出切线方程【解析】把x1代入yx2得y121.即切点P(1，1)，y|x1 (x2)2，所以ky|x12.所以曲线yx2在P(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10.求曲线yx21过点P(1，0)的切线方程【解析】设切点为Q，k (2ax)2a.所以在Q点处的切线方程为y(a21)2a(xa).(*)把点(1，0)代入(*)式得(a21)2a(1a).解得a1.再把a1代入到(*)式中即得y(22)x(22)或y(22)x(22).这就是所求的切线方程角度2 导数值的大小与函数图象变化间的关系【典例】1.已知函数yf(x)的图象是下列四个选项中的图象之一，且其导函数yf(x)的图象

12、如图所示，则该函数的图象是()【解析】选B.由函数yf(x)的导函数yf(x)的图象自左至右先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小2某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数yx24x来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况【解析】因为2x4x，所以y 2x4.由于y2x4在区间上是减函数，且0y1，故该段斜坡的坡度最开始很接近45，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x达到2时坡度接近0.1利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方

13、程yy0f(x0)(xx0).(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程2导数几何意义理解中的两个关键点关键点一：yf(x)在点xx0处的切线斜率为k，则k0f(x0)0；k0f(x0)0；k0f(x0)0.关键点二：|f(x0)|越大在x0处瞬时变化越快；|f(x0)|越小在x0处瞬时变化越慢已知直线l：y4xa和曲线C：yx32x23相切求a的值和切点的坐标【解析】设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f(x) 3x24x.由题意可知，直线l的斜率k4，即3x4x04，解得x

14、0或x02，所以切点的坐标为或(2，3).当切点为时，有4a，a；当切点为(2，3)时，有342a，a5.所以当a时，切点为；当a5时，切点为(2，3).【补偿训练】已知f(x)x22.求：(1)f(x)在x1处的导数；(2)f(x)在xa处的导数【解析】(1)因为2x，当x趋近于0时2x趋近于2，所以f(x)在x1处的导数等于2.(2)因为2ax，当x趋近于0时，2ax趋近于2a，所以f(x)在xa处的导数等于2a.课堂检测素养达标1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与x轴平行或重合C与x轴垂直 D与x轴斜交【解析】选B.f(x0)0，说明曲线yf

15、(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合2已知函数yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.0f(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB)f(xB)0【解析】选B.f(xA)和f(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f(xA)f(xB)0.3曲线y在点(3，3)处的切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D60【解析】选C.令yf(x)，因为曲线f(x)在点(3，3)处的切线的斜率为kf(3) 1，所以切线的倾斜角为135.4(教材练习改编)曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程为_【解析】f(2) ，所以切线方程为y1(x2)，即x2y40.答案：x2y405求函数y3x2在x1处的导数【解析】因为y3(1x)23126x3(x)2，所以63x，所以y (63x)6.关闭Word文档返回原板块