新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修二学案：第五章 5-3-2 第3课时 利用导数解决与函数有关的问题 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第3课时利用导数解决与函数有关的问题关键能力合作学习类型一函数的图象问题(数学运算、逻辑推理)角度1作函数的大致图象【典例】如何画出函数f(x)2x33x236x16的大致图象【思路导引】可先求导，判断函数的单调性，进而得出函数的变化趋势【解析】f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2).由f(x)0得x2或x3，所以函数f(x)的单调递增区间是(，2)和(3，).由f(x)0得2x3，所以函数f(x)的单调递减区间是(2，3).由已知得f(2)60，f(3)

2、65，f(0)16.所以结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)的大致图象如图所示(答案不唯一).当实数a变化时，方程f(x)a有几解？【解析】方程2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16的图象有几个交点的问题，(1)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)当a60或a65时，方程2x33x236x16a有两解；(3)当65a60时，方程2x33x236x16a有三解角度2由函数零点求参数值或范围【典例】已知函数f(x)x33xa(a为实数)，若方程f(x)0有三个不同零点，求实数a的取值范围【思路导引】求出函数的极值，要使f

3、(x)0有三个不同零点，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围【解析】令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以当x1时，f(x)有极大值f(1)2a；当x1时，f(x)有极小值f(1)2a.因为方程f(x)0有三个不同零点，所以yf(x)的图象与x轴有三个交点，如图由已知应有解得2a0，且r0可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0，5).(2)由(1)知V(r)(300r4r3)(0r0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r(5，5)时，V(r)0，故V(r)在(5，5)上为减函数由此可知，V(r)在r5

4、处取得极大值，也是最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大题后反思解题的关键是由题意列出函数解析式，注意实际意义对自变量的制约，求出定义域后在定义域内讨论函数的最值1利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义2要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法1电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_【解析】由题设知yx239x40，令y0，解得x40或x1，故函数yx3x

5、240x(x0)在40，)上递增，在(0，40上递减所以当x40时，y取得最小值由此得为使耗电量最小，其速度应定为40.答案：402某批发商以每吨20元购进一批建筑材料，若以每吨M元零售，销售N(单位：吨)与零售价M(单位：元)有如下关系：N8 300170MM2，则该批材料零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元【解析】设该商品的利润为y元，由题意知，yN(M20)M3150M211 700M166 000，则y3M2300M11 700，令y0得M30或M130(舍去)，当M(0，30)时，y0，当M(30，)时，y0，因此当M30时，y有最大值，ymax23 000.答案：3023

6、0003某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收设每件产品的售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值【解析】(1)设日销售量为，则10，所以k10e40，则日销售量为件则日利润L(x)(x30a)10e40.答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)10e

7、40.(2)L(x)10e40.当2a4时，33a3135，当35x41时，L(x)0.所以当x35时，L(x)取最大值为10(5a)e5；当4a5时，35a3136，令L(x)0，得xa31，易知当xa31时，L(x)取最大值为10e9a.综合上述得L(x)max答：当2a4，每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5a)e5；当4a5，每件产品的日售价为a31元时，该商品的日利润L(x)最大，最大值为10e9a.类型三利用导数研究函数的问题(数学运算、逻辑推理)角度1恒成立问题【典例】已知函数f(x)x3x22x5，当x1，2时，f(x)7.答案：m7将本例中的条件“f(x)m

8、”，结果如何？【解析】由上面的解法可知，所以当x1，2时，f(x)min，因此m.角度2证明问题【典例】已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数【证明】(1)由题意知f(x)的定义域为(0，).f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)内单调递增，y在(0，)内单调递减，所以f(x)单调递增又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一的x0(1，2)，使得f(x0)0.又当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f

9、(x)0在(x0，)内存在唯一实根x.由x01得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)上的唯一实根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数解决不等式恒成立问题常常是将原问题转化为函数的最值或值域问题，我们在解决问题时常用到以下结论：(1)af(x)恒成立af(x)max，即大于函数f(x)值域的上界；(2)af(x)恒成立a0时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】由f(x)2ln x得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)时，f(x)0.故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()l

10、n a1.要使f(x)2恒成立，需ln a12恒成立，则ae.答案：e，)课堂检测素养达标1已知函数f(x)2xln |x|，则f(x)的大致图象为()【解析】选A.当x0时，f(x)2xln (x)，f(x)2(1)20，所以f(x)在(，0)上单调递增，则B，D错误；当x0时，f(x)2xln x，f(x)2，则f(x)在单调递减，在单调递增，所以A正确2若直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是()A.(2，2) B2，2)C.(2，2 D2，2【解析】选A.令f(x)3x230，得x1，则极大值为f(1)2，极小值为f(1)2.如图，观察得2a2时恰有三

11、个不同的公共点3若方程x33xm0在0，2上有解，则实数m的取值范围是()A.2，2 B0，2C.2，0 D(，2)(2，)【解析】选A.方程x33xm0在0，2上有解，则mx33x，x0，2，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题令yx33x，x0，2，则y3x23，令y0，解得x1，因此函数在0，1)上单调递减，在(1，2上单调递增，又x1时y2；x2时，y2；x0时，y0，所以函数yx33x，x0，2的值域是2，2，故m2，2，所以m2，2.4(教材二次开发：练习改编)某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的定价为_元时，利润最大【解析】利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0，得x115，当x0，函数单调递增；当x115时，S(x)0即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0，g(x)在区间1，0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.关闭Word文档返回原板块14