新教材2021-2022学年人教B版数学选择性必修第二册学案：第三章 3-1-2 第1课时 排列与排列数 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3.1.2排列与排列数第1课时排列与排列数必备知识自主学习导思什么是排列？所有对象有没有顺序关系？1.排列：从n个不同对象中，任取m(mn)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列2.相同排列的两个条件(1)对象相同(2)顺序相同(1)排列中“一定顺序”的含义是什么？提示：一定顺序就是指排列中的对象与位置有关，当位置不同时排列也就不同(2)排列定义中的两个要素是什么？提示：一是“取出不同的对象”，二是“将对象按一定顺序排列”3排列中对象所

2、满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同对象中取出m(mn)个不同的对象，否则不是排列问题(2)有序性：安排这m个对象时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列检验它是否有顺序的依据是变换对象的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序(1)每一个排列中对象的位置是确定的吗？提示：是，对象在排列中的位置不同排列也就不同(2)同一个排列中，同一个对象能重复出现吗？提示：由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个对象4排列数及排列数公式排列数定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数排列数表示法 全排列n个不同对象全部取出的

3、一个排列,叫做n个对象的一个全排列,且A=n(n-1)321阶乘正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示排列数公式乘积式=n(n-1)(n-2)(n-m+1)阶乘式=性质 A=n!,0!=1备注n,mN*,mn(1)“得到从n个不同的对象中取出m个对象的一个排列”的含义是什么？提示：“得到从n个不同对象中取出m个对象的一个排列”，包含两个方面：从n个不同对象中取出m个对象；按照一定顺序排列(2)排列与排列数有何不同？提示：排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同对象中取出m个对象按照一定顺序排成一列，是一种排法；“排列数”是指从n个不同对象中取出m个对象所得不同排列的个数，是

4、一个数，用A表示1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数()提示：排列数是从若干个对象中取出若干个对象的排列的个数，所以排列数一定是整数(2)在排列的问题中，总体中的对象可以有重复()提示：在排列问题中总体内对象不能重复(3)用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列()提示：根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列(4)若A109876，则n10，m6.( )提示：在A中m表示连乘因数的个数，所以，n10，m5.29101120可表示为()AABACADA【解析】选C.A201918(2012

5、1)2019189.3如果A151413121110，那么n_，m_【解析】151413121110A，故n15，m6.答案：156关键能力合作学习类型一排列的有关概念(数学抽象)1判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？【解析】(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题(2)因为从10名同学

6、中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题2判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、重庆三个民航站之间直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互写信【解析】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问

7、题(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题 判断一个具体问题是否为排列问题的方法类型二“树形图”解决排列问题(逻辑推理)【典例】四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来【思路导引】运用树形图一一列举出来【解析】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有432124种画出树形图：由“树形图”

8、可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式(2)策略：在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列1若直线AxBy0的系数

9、A，B可以从2，3，5，7中取不同的数值，可以构成的不同直线的条数是()A12条B9条C8条D4条【解析】选A.画树形图如下：故共有12条2写出下列问题的所有排列：(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数，试全部列出【解析】(1)所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数(2)画出树形图，如图所示由上面的树形图可知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2

10、413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个四位数类型三排列数公式及其简单应用(数学抽象逻辑推理)角度1排列数公式【典例】1.(x2)(x3)(x4)(x15)(xN，x15)可表示为()AABACA DA【思路导引】根据排列数公式求解【解析】选B.由题意xN，x15.其中最大的数(x2)为n，则m(x2)(x15)114.所以(x2)(x3)(x4)(x15)A.2(1)计算A和A.(2)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN*且n55).(3)化简n(n1)(n2)(n3)(nm

11、).【思路导引】根据题中所求排列数的特点，选择合适的排列数公式求解【解析】(1)A1514132 730，A654321720.(2)因为55n，56n，69n中的最大数为69n，且共有(69n)(55n)115(个)数，所以(55n)(56n)(69n)A.(3)由排列数公式可知n(n1)(n2)(n3)(nm)A.角度2排列数公式的应用【典例】10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【思路导引】确定一共几个人，需要选出几个人参与排列，然后用排列数公式求解【解析】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不

12、同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题从而，共有A151 200(种)坐法 1排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列对象的总个数，而正整数(因式)的个数是选取对象的个数，这是排列数公式的逆用(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量2解简单排列应用题的思路(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序(2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的对象指

13、的是什么，以及从n个不同的对象中任取m(mn)个对象的每一种排列对应的是什么事件(3)运用排列数公式求解提醒：解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件1已知3A4A，则n等于_【解析】由已知，即1，因为n9，所以解得n7.答案：72某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是_种【解析】设4个小岛分别为A，B，C，D，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，ABCD，DCBA，要去掉重复的这样，因此有A12种方法答案：123某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留

14、言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)【解析】A40391 560.答案：1 5604(1)计算；(2)解方程3A2A6A.【解析】(1)1.(2)由3A2A6A，得3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1).因为x3，且xN*，所以3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100.解得x5，x(舍去).所以x5.课堂检测素养达标1已知下列问题：(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动(3)从a，b，c，d四个字母中取出2个字母(4)从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数其中是排列问题的

15、有()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选B.(1)是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关(2)不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关(4)是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列22020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有()A64种 B48种 C24种 D12种【解析】选C.对四个医疗小组进行全排列分配到四个国家，故有A24种3已知A132，则n()A11 B12 C13 D14【解析】选B.因为A132，所以n(n1)132，整理，得n2n1320；解得n12，或n11(不合题意，舍去)；所以n的值为12.4A_，A_【解析】A4312；A3216.答案：1265判断下列问题是否是排列问题(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？【解析】(1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好有多少个排列就有多少封信，共有A12封信(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话关闭Word文档返回原板块15