新教材2021-2022学年人教B版数学选择性必修第二册学案：第三章 3-3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时二项式系数的性质、杨辉三角及二项式定理的应用 必备知识自主学习 导思什么是杨辉三角？杨辉三角与二项式系数有何关系？1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.杨辉三角的作用是什么？提示：直观地看出或探究二项式系数的性质；当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两

2、个二项式系数相等，即CC，CC，CC. (2)增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取到最大值3各二项式系数的和(1)CCCC2n(2)CCCCCC2n1(1)杨辉三角中的数是二项式系数还是项的系数？提示：杨辉三角中的数是二项式系数(2)如何求二项式中的最大项？提示：先判断n是奇数还是偶数，若是奇数则中间两项系数是最大项，若是偶数则中间项系数是最大项(3)怎样求二项式系数和？提示：利用赋值法，在(ab)n的展开式中，令ab1，可

3、得CCC2n.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()(2)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和()(3)二项展开式项的系数是先增后减的()(4)杨辉三角中每行两端的数都是1.()提示：(1).二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关(2).在二项式(ab)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和(3).二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关(4).

4、根据杨辉三角的特点可知2.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()A第8项 B第9项C第8项和第9项 D第11项和第12项【解析】选D.二项式展开式的通项公式为Tr1CnrrCxnr，令r7，则n0，解得n21，通项公式可化简为Cx由于n21，C一共有22项，其中最大的项为r10，11两项，即展开式的第11项和第12项3(2x1)6展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数和为_【解析】令展开式左、右两边x1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为2664.答案：1644如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为_13356571111791822189【解析】由1

5、，3，5，7，9，可知它们成等差数列，所以an2n1.答案：2n1关键能力合作学习类型一与杨辉三角有关的问题(数学抽象)1如图所示，满足第n行首尾两数均为n；表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n2)的第2个数是_1223434774511141156162525166【解析】由题图中数字规律可知，第n行的第2个数是11.答案：2在杨辉三角中，除1以外每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如表所示：第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15 10 1051 利用杨辉三角展开(1x)6.【解析】由杨辉三角知，第6行的二项式系数为：1，6，15，20，

6、15，6，1.所以(ab)6a66a5b15a4b220a3b315a2b46ab5b6.令其中a1，bx，得(1x)616x15x220x315x46x5x6.3如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，.记其前n项和为Sn，求S19的值【思路导引】由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【解析】S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路类型二展开式的应用(逻辑推理、数

7、学运算)【角度1】求展开式的系数和【典例】1.若a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为()A29 B291 C39 D3912设(x)10a0a1xa2x2a10x10，则a2_，(a0a2a4a10)2 (a1a3a5a9)2的值为_3已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.【思路导引】1.先令x0求出a0，再令x2求出a02a122a229a9的值即可得出结果2结合二项式系数公式计算a2，令x1或1，代入，计算结果即可3(1)根据所给的等式求得常数项a01，在所给

8、的等式中，令x1可得a0a1a2a71，从而求得a1a2a7的值(2)在所给的等式中，分别令x1，x1，可得两个等式，化简这两个等式即可求得a1a3a5a7的值(3)用再除以2可得a0a2a4a6的值(4)在7中，令x1，可得的值【解析】1.选D.令x0，则a01，令x2，则a02a122a229a939, 所以2a122a229a9391 .2利用二项式系数公式，T3C8x2720x2，故a2720，利用赋值法，令x1有a0a1a1010，a0a1a2a1010，故(a0a2a4a10)2 (a1a3a5a9)210101.答案：72013(1)根据所给的等式求得常数项a01，令x1，所以a

9、0a1a2a71，则a1a2a72.(2)在所给的等式中，令x1，可得：a0a1a2a71令x1，则a0a1a2a3a737用再除以2可得a1a3a5a71094.(3)用再除以2可得a0a2a4a61093.(4)在7中，令x1，可得372187.【拓展延伸】1.对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项

10、系数之和为a1a3a5.【拓展训练】在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和(2)各项系数之和(3)所有奇数项系数之和【解析】设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91.(3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a8，即所有奇数项系数之和为.【角度2】展开式的综合应用【典例】1.若(13x)2 020a0a1xa2 020x2 020，xR，则a13a232a2 02032 020的值为(

11、)A22 0201 B82 0201C22 020 D82 0202已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是_【思路导引】结合二项式、数列知识求解即可【解析】1.选B.由已知，令x0，得a01，令x3，得a0a13a232a2 02032 020(19)2 02082 020，所以a13a232a2 02032 02082 020a082 0201.2由二项式定理知，anC(n1，2，3，11).又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6C，则k的最大值为6.答案：6 二项式定理应用的常见类

12、型及相关解题策略常见类型及解题策略：求特殊项及系数，此类问题的求解关键在于求出指定项是第几项；近似计算问题，解决此类问题要注意题目结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取值一般要四舍五入，求数的n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数的形式；证明有关的不等式问题，有些不等式可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明；整除与求余问题，此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为烦琐，而用二项式定理明显更简洁；利用赋值法求各项系数的和的问题12331除以

13、9的余数为_【解析】由于23318111(91)111C911(1)0C910(1)1C99(1)2C90(1)111，由于前11项都有因数9，故所给的式子除以9的余数即为C90(1)1112 除以9的余数，故所给的式子除以9的余数为7.答案：72设(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018(xR).(1)求a0a1a2a2 018的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 018|的值【解析】(1)令x1，得a0a1a2a2 018(1)2 0181.(2)令x1，得a0a1a2a2 017a2 01832 018，得2(a1a3a2 0

14、17)132 018，所以a1a3a5a2 017.(3)因为Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，所以a2k10(kN*)，a2k0(kN*).所以|a0|a1|a2|a3|a2 018|a0a1a2a3a2 017a2 01832 018.类型三二项式系数性质的应用(数学抽象、逻辑推理)【典例】已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项四步内容理解题意条件：f(x)(3x2)n展开，各项的系数和比二项式系数和大992.结论：(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数最大的项思路探求求二项式系数最大的项

15、，利用性质知展开式中的中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号书写表达令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.所以(2n)22n9920，所以(2n31)(2n32)0，所以2n31(舍去)或2n32，所以n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C()3(3x2)290x6，T4C()2(3x2)3270(2)展开式的通项公式为Tr1C3r (52r)假设Tr1项系数最大，则，所以所以所以r，因为rN，所

16、以r4.所以展开式中系数最大的项为T5C (3x2)4405注意书写的规范性：注意区分项的系数与二项式系数；注意Tr1为第r1项题后反思1.求二项式系数最大的项，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a，bR)展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系

17、数分别为A1，A2，An1，且第r1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项1在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A126B70C56D28【解析】选C.由题意可得：n8.所以二项展开式的通项公式Tk1Cx8kC(1)k，要使该项系数C(1)k最小，k为奇数，取1，3，5，7，经过检验，当k3或5时，系数C(1)k最小，即第4项系数等于第6项系数，且最小，所以展开式中系数最小的项的系数为56.2已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求：(1)展开式中二项式系数最大的项(2)展开式中系数最大的项(结果可以以组合数形式表示)【解析】

18、(1)由已知得CCC121，则n(n1)n1121，即n2n2400，解得n15，或n16(舍去)，所以，展开式中二项式系数最大的项是T8C(3x)7和T9C(3x)8.(2)Tr1C(3x)r，设1，则1，即1，解得r12，同理，由1，解得r11，所以展开式中系数最大的项对应的r11，12，即展开式中系数最大的项是T12C(3x)11和T13C(3x)12.【补偿训练】1.若展开式中前三项的系数之和为15，(1)展开式中是否有常数项，说明理由(2)求展开式中系数最大的项【解析】(1)Tr1(1)rC，所以由已知得：1CC15，解得n7，所以Tr1(1)rC (r0，1，27)，因为70无整数

19、解，所以展开式中无常数项(2)由Tr1(1)rCx7知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大的项，即T535x.2已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10，若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是_【解析】(x1)n展开式的各项系数为其二项式系数，当n10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.答案：6典例备选运用二项式求近似值(数学运算)【典例】计算1.00312的近似值(精确到0.001).【思路导引】将1.00312化为二项式形式，再展开，舍去较小的部分，即不足0.001的部分【解析】1.0

20、0312(10.003)12C112C1110.003C1100.00321120.0031.0361用二项式定理计算1.0025的近似值(精确到0.001).【解析】1.0025(10.002)5C15C140.002C130.0022C15C140.00210.0101.010.2用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为()A99 000B99 002C99 004D99 005【解析】选C.9.985(100.02)5105C1040.02C1030.022C1020.023C1010.0240.025105C1040.02C1030.022100 0001 000499 004.

21、课堂检测素养达标1在(xy)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是()A第6项B第5项C第5，6项D第6，7项【解析】选A.由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，所以CC，由组合数的性质，得n10.所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项2.(nN*)的展开式中，系数最大的项是()A第1项 B第n项C第n1项 D第n项与第n1项【解析】选C.在(1x)2n(nN*)的展开式中，第n1项的系数与第n1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n1项，可得第n1项的系数最大，故选C.3已知(1x)5a0a1xa2x

22、2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_【解析】依题可得a0a2a4(a1a3a5)16，则(a0a2a4)(a1a3a5)256.答案：2564设(3x2)6a0a1(2x1)a2(2x1)2a6(2x1)6，则_【解析】令x1，得a0a1a2a61，令x0，得a0a1a2a664，两式相减，得2(a1a3a5)63，两式相加，得2(a0a2a4a6)65，故.答案：5在只有第6项的二项式系数最大，第4项与第8项的二项式系数相等，所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题注：如果选择多个条件分别解答，按第一个

23、解答计分已知(2x1)na0a1x1a2x2a3x3anxn(nN*)，若(2x1)n的展开式中，_(1)求n的值；(2)求|a1|a2|a3|an|的值【解析】(1)在二项式(2x1)n的展开式中，若选填，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即n10；若选填，第4项与第8项的二项式系数相等，则CC，即n10；若选填，所有二项式系数的和为210，则2n210，即n10.故n10；(2)(2x1)n(2x1)10a0a1x1a2x2a3x3a10x10.因为二项式(2x1)10的展开式的通项Tr1C(2x)10r(1)r(1)r210rCx10r，所以x的奇数次方的系数为负，x的偶数

24、次方的系数为正在(2x1)10a0a1x1a2x2a3x3a10x10中，取x0，得a01；取x1，得a0a1a2a3a10310.所以|a1|a2|a3|an|a0a1a2a3a10a03101.【补偿训练】设(3x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，求下列各式的值：(1)a1a2a3a4a5；(2)a0a2a4；(3)a12a23a34a45a5.【解析】因为(3x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，(1)令x0得1a0，令x1得a0a1a2a3a4a52532，所以a1a2a3a4a533.(2)令x1得45a0a1a2a3a4a5，所以a0a2a4(3245)496，(3)对(3x1)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5两边求导得15(3x1)4a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令x1可得：1524a12a23a34a45a5.所以a12a23a34a45a5240.关闭Word文档返回原板块22