新教材2021-2022学年湘教版数学必修第一册学案：2-2　从函数观点看一元二次方程 WORD版含答案.doc

1、22从函数观点看一元二次方程新课程标准解读核心素养会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数，了解函数的零点与方程根的关系数学抽象、直观想象、逻辑推理函数与方程有着一定的联系，如一次函数yaxb与一元一次方程axb0之间关系的探究：a0a0时，一元二次方程ax2bxc0的根、二次函数yax2bxc的图象、二次函数yax2bxc的零点之间的关系如表所示：判别式b24ac000，所以函数零点的个数为2.答案：2二次函数的零点与对应方程的实根例1(链接教科书第46页例2)(1)二次函数yx27x12的零点为_；(2)若函数y1x2axb的图象如图所示，则函数y2bx2ax

2、1的零点是_解析(1)由x27x120得x13，x24.所以函数yx27x12的零点为3和4.(2)由题图可知函数y1x2axb的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2axb0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a235，b236，即a5，b6.所以y26x25x1，易得y26x25x1的零点为和.答案(1)3和4(2)和二次函数零点的求法(1)代数法：求出方程ax2bxc0(a0)的实数根，即为函数yax2bxc(a0)的零点；(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点 跟踪训练求下列函数的零点(1)y3x22

3、x1；(2)yax2xa1(aR)；(3)yax2bxc，其图象如图所示解：(1)由3x22x10解得x11，x2，所以函数y3x22x1的零点为1和.(2)当a0时，yx1，由x10得x1，所以函数的零点为1.当a0时，由ax2xa10得(axa1)(x1)0，解得x1，x21，又(1).当a时，x1x21，函数有唯一的零点1.当a且a0时，x1x2，函数有两个零点1和.综上：当a0或时，函数的零点为1.当a且a0时，函数有两个零点1和.(3)由图象可知，函数有两个零点1和3.函数的零点个数的判断与证明例2(链接教科书第45页例1)若a2，求证： 函数y(a2)x22(a2)x4有两个零点证

4、明因为4(a2)216(a2)4(a2)(a2)，又a2，所以0，所以函数y(a2)x22(a2)x4有两个零点母题探究(变设问)求函数y(a2)x22(a2)x4有零点的充要条件解：因为函数y(a2)x22(a2)x4有零点当a2时，方程(a2)x22(a2)x40无解函数无零点当a2时，因为函数y(a2)x22(a2)x4有零点，所以方程(a2)x22(a2)x40有实数根所以4(a2)216(a2)4(a2)(a2)0.即或解得a2或a2，又a2所以a2或a2，所以函数y(a2)x22(a2)x4有零点的充要条件为a2或a2.二次函数yax2bxc(a0)的零点个数的判断对于一元二次方程

5、ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac.(1)0函数yax2bxc(a0)有两个零点；(2)0函数yax2bxc(a0)有一个零点；(3)0，函数yax2xa有两个零点综上，函数yax2xa(aR)有零点.二次函数零点的分布探究例3(1)判断二次函数yx22x1在(3，2)是否存在零点；(2)若二次函数y(a2)x22(a2)x4(a2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围解(1)由x22x10得x11，x21，因为312，所以二次函数yx22x1在(3，2)存在零点(2)因为函数y(a2)x22(a2)x4的两个零点均为正数，所以(a2)x22(a2)x40有两个正实数根显然a2.由

6、一元二次方程的根与系数的关系得即所以a2，即实数a的取值范围是(，2二次函数yax2bxc(a0)零点的分布探究结合一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式b24ac和根与系数的关系处理：(1)函数yax2bxc(a0)有两个正零点； (2)函数yax2bxc(a0)有两个负零点；(3)x1x20函数yax2bxc(a0)有两个异号零点跟踪训练已知函数yx2xa2a(aR)(1)若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围解：由x2xa2a0得x1a，x21a，(1)因为该函数有两个不相等的正零点，所以解得0a或a1或a0

7、.所以a的取值范围是(，0)(1，)1已知某一元二次函数的图象与函数y2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1，3)，则此函数的解析式为()Ay2(x1)23By2(x1)23Cy2(x1)23 Dy2(x1)23解析：选D设所求函数的解析式为y2(xh)2k，根据顶点为(1，3)，可得h1，且k3，故所求的函数解析式为y2(x1)23，故选D.2已知：p：关于x的方程ax2bxc0有两个异号实数根，q：ac1，则p是q的_条件解析：因为关于x的方程ax2bxc0有两个异号实数根x1x20ac0，所以p是q的必要不充分条件答案：必要不充分 3讨论函数y(ax1)(x2)(aR)的零点解：当a0时，函数为yx2，则函数的零点为2；当a时，则(x2)0，解得x1x22，则函数的零点为2；当a0且a时，由(ax1)(x2)0，解得x1，x22，则函数的零点为和2.