新教材2021-2022学年苏教版数学选择性必修第一册学案：第4章 4-1　第2课时　数列的递推公式 WORD版含答案.doc

1、第2课时数列的递推公式学 习 任 务核 心 素 养1理解递推公式的含义(重点)2掌握递推公式的应用(难点)借助数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理素养与数学运算素养看下面例子：(1)1，2，4，8，16，(2)1，cos 1，cos(cos 1)，coscos(cos 1)，(3)0，1，4，7，10，13请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？知识点1数列的递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递推公式1所有数列都有递推公式吗？提示不一定

2、例如精确到1，0.1，0.01，0.001，的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式1已知数列an的首项a11，且满足an1an，此数列的第3项是()A1BCDCan1an，a11，a2a11，a3a21故选C2数列an满足an11，且a12，则a2 021的值为()AB1C2D1A由an11及a12，得a2，a31，a42，至此可发现数列an是周期为3的周期数列：2，1，2，1，而2 02167332，故a2 021a2知识点2数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数

3、列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式2仅由数列an的关系式anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的3数列2，4，6，8，10，的递推公式是()Aanan12(n2)Ban2an1(n2)Ca12，anan12(n2)Da12，an2an1(n2)CA，B中没有说明某一项，无法递推；D中a12，a24，a38，不合题意 类型1由递推公式求数列中的项【例1】已知在数列an中，a11，a22，后面各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(

4、2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4故bn的前4项依次为b1，b2，b3，b4由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示

5、后面的项的形式，如an1跟进训练1已知数列an的第1项a11，后面的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5 故该数列的前5项为1， 类型2数列的单调性【例2】已知数列an的通项公式是an(n2) (nN*)，试问数列an是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由思路探究判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式解法一：作差比较an1与an的大小，判断an的单调性an1an(n3)(n2)当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an故a1a2a3a4a

6、5a6a7a8，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6法二：作商比较an1与an的大小，判断an的单调性又an0，令1，解得n5；令1，解得n5；令1，解得n5故a1a2a3a4a5a6a7，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6法三：假设an中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5n6故数列an有最大项a5或a6，且a5a6求数列an的最大(小)项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项二是设ak是最大项，则有对任意的kN*且k2都成立，解不等式组即可跟进训练2

7、已知数列an的通项公式为ann27n8(1)数列中有多少项为负数？(2)数列an是否有最小项？若有，求出其最小项解(1)令an0，即n27n80，得1n8又nN*，所以n1，2，3，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项(2)函数yx27x8图象的对称轴为直线x，所以当1x3时，函数单调递减；当x4时，函数单调递增，所以数列an有最小项，又a3a420，所以数列an的最小项为a3或a4 类型3根据递推公式求通项【例3】(1)已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an；(2)在设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an1对于任意数列an，等式a1(a2a1)(a

8、3a2)(anan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求出它的通项an吗？提示等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n12能否把分式裂为两项？提示3若数列an中的各项均不为0，等式a1an成立吗？若数列an满足：a13，2，则它的通项an是什么？提示等式a1an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222则2n1，所以an32n1(nN*)41的运算结果是什么？提示解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1以上各式累加得，ana11an11，an(

9、n2)又n1时，a11，符合上式，an(nN*)(2)a11，anan1(n2)，ana11又n1时，a11，符合上式，an(nN*)1(变条件)将例题(1)中的条件“a11，an1an，nN*”变为“a1，anan1an1an(n2)”，求数列an的通项公式解anan1an1an，12n1n1，an(n2)又n1时，a1，符合上式，an(nN*)2(变条件)将例题(2)中的条件“a11，anan1(n2)”变为“a12，an13an(nN*)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明解由a12，an13an，得：a23a132，a33a2332322，a43a33322332，a53a4333

10、2342，猜想：an23n1，证明如下：由an13an得3因此可得3，3，3，3将上面的n1个式子相乘可得3n1即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式；(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式.1下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an(n1)，nN

11、*，n2Danan1(n1)，nN*，n2B结合图象易知，a11，a23a12，a36a23，a410a34，故选B2已知数列an满足a11，anan13(n2)，则数列的通项公式an()A3n1B3nC3n2D3(n1)C根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出an3n2故选C3数列an满足an1，a82，则a1_先求出数列的周期，再进一步求解首项an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3a8a322a22而a2，a14已知数列an中，a12，an1anln，求an解由题意得an1anln ，anan1ln (n2)，an1an2ln ，a2a1ln 当n2时，ana1lnln n，an2ln n(n2)当n1时，a12ln 12，符合上式，an2ln n(nN*)回顾本节知识，自我完成以下问题：1通项公式与递推公式有什么区别？提示通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an2求数列通项公式有哪些方法？提示(1)观察法根据给出数列的前几项观察归纳；(2)累加法适合类型为an1anf(n)；(3)累乘法适合类型为an1anf(n)