新教材2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册学案：5-4-2 第二课时　正、余弦函数的单调性与最值 WORD版含答案.doc

1、第二课时正、余弦函数的单调性与最值过山车是一项富有刺激性的娱乐项目那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径问题(1)函数ysin x与ycos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是ysin x，ycos x的什么性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数ysin x，ycos x的什么性质？函数ysin x，ycos x的图象在什么位

2、置取得最大(小)值？知识点正、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象值域1，11，1单调性增区间，kZ2k，22k，kZ减区间，kZ2k，2k，kZ最值ymax1x2k，kZx2k，kZymin1x2k，kZx2k，kZ对单调区间的理解(1)k取Z内的每一个值，都对应着一个增区间及减区间，这些区间是断开的；(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数；(3)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点 1从图象的变化趋势来看，正、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：正、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方2研究正弦函数单调性时，为什么常取区间，而不选0，

3、2作为一个周期呢？提示：从图象可以看出，如果选0，2这一段，其增函数的图象是断开的，不易分析，而选取作为一个周期区间，则能很好地体现其单调性1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦函数ysin x在R上是增函数()(2)余弦函数ycos x的一个减区间是0，()(3)x0，2满足sin x2.()(4)当余弦函数ycos x取最大值时，x2k，kZ.()答案：(1)(2)(3)(4)2函数y2sin x在区间，上的单调递增区间是()A.B.C. D.答案：A3函数y32cos x的最小值为_答案：14函数f(x)2sin x(x0)的值域是_答案：2，2正、余弦函数的单调性例1(链接

4、教科书第206页例5)求下列函数的单调区间：(1)ycos；(2)y2sin.解(1)当2k2k，kZ时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是(kZ)当2k2k，kZ时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是(kZ)(2)y2sin2sin，函数y2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)解得2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)故函数y2sin的单调增区间、单调减区间分别为(kZ)，(kZ)求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)整体代换：确定函数yAsin(x)(A0

5、，0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将x看作一个整体，可令“Zx”，即通过求yAsin Z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数 跟踪训练1函数y|cos x|的一个单调减区间是()A.B.C. D.解析：选C函数y|cos x|图象如下图所示：单调减区间有，故选C.2求函数ysin，x的单调递减区间解：由2k3x2k(kZ)，得x(kZ)又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.三角函数值的大小比较例2(链接教科书第206页例4)不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin 250与sin 260；(2)cos与cos.解(1)函数ysin

6、 x在上单调递减，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscoscos.函数ycos x在0，上单调递减，且0cos，coscos.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上 跟踪训练不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)sin 194与cos 160.解：(1)sinsinsin，sinsinsin ，ysin x在上是增函数，sinsin ，即sinsin .(2)sin 1

7、94sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，sin 14sin 70，即sin 194cos 160.正、余弦函数的最值(值域)例3(链接教科书第205页例3)(1)求函数y2cos，x的值域；(2)求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合解(1)x，02x，cos”或“”)解析：sinsinsin，sinsinsin.因为ysin x在上单增，又0，所以sinsin，所以sin.答案：4求函数f(x)sin在上的单调递增区间解：令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，又0x，所以f(x)在上的单调递增区间是.