新教材2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册配套学案：第一章 1-1 第1课时 集合的含义 WORD版含答案.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念第1课时集合的含义金秋九月，开学季，充满丰收的喜悦某校在运动场举行开学典礼全体教职工、全体学生、学生家长代表参加开学典礼大会表彰了上一学期优秀班集体、优秀学生干部、文明之星、才艺之星等集体和个人【问题1】参加开学典礼的全体教职工能构成一个集合吗？【问题2】参加开学典礼的数学成绩好的学生能构成一个集合吗？【问题3】集合中的元素应具备哪些特征？1元素与集合(1)元素(2)集合(3)集合中元素的特性确定性、互异性和无序性正确理解集合中元素的

2、特性(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了其作用是判断一组对象能否构成集合；(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算该集合的一个元素. 其作用是警示我们做题后要检验；(3)无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分如1，2，3和3，2，1构成的集合是同一个集合. 其作用是方便定义集合相等2元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合

3、A中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合A3.常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQRN，N*和N有什么区别？提示：N与N*的含义相同，都是指所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N(或N*)多一个元素0.1.高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题能组成一个集合吗？2若两个方程都有两个不等实根，则由这两个方程的实根构成的集合中一定有4个元素吗？3英语单词mate和meat中的字母构成的两个集合是相等的吗？提示：1.不能2.不一定3.是观察教材中的六个例子：(1)110之间的所有偶数；(2)立德中学今年入

4、学的全体高一学生；(3)所有的正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；(5)方程x23x20的所有实数根；(6)地球上的四大洋想一想：集合中的元素一定是数学中研究的数、式或几何图形吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、式、几何图形等，也可以是人或物等1用“”或“”填空：0_N；1.5_N*；5_Z；_Q；_Q；_R.【解析】由常见数集的符号表示可知：0N；15N*；5Z；Q；Q；R.答案：2已知集合M有两个元素3和a1，且4M，则实数a_【解析】由题意可知a14，即a3.答案：3基础类型一集合的基本概念(数学抽象)1.考察下列每组对象，能构成集合的是()中国各地的美丽乡村；直角坐标系

5、中横、纵坐标相等的点；大于3小于10的所有整数；截至2020年1月，获得国家最高科学技术奖的科学工作者A B C D【解析】选B.中“美丽”标准不明确，不符合确定性，中的元素标准明确，均可构成集合2下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是()AP是由元素1，构成的集合，Q是由元素，1，|构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集【解析】选A.由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个

6、集合3下列说法中，正确的有_(填序号)单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等腰三角形；将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合【解析】不正确book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.正确集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形不正确小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关答案：判断一组对象能否组成

7、集合的策略(1)注意集合中元素的确定性看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合(2)注意集合中元素的互异性、无序性基础类型二元素与集合的关系(逻辑推理)【典例】1.(2021邢台高一检测)给出下列关系：R；Q；N；Z；0N.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选C.显然，正确；，不正确2集合A是由形如mn(mZ，nZ)的数构成的，试分别判断a，b，c134与集合A的关系【解析】因为a0(1)，而0Z，1Z，所以aA.因为b，而Z，Z，所以bA.因为c134，而13Z，4Z，所以cA

8、.【备选例题】集合A是由形如mn(mZ，nZ)的数构成的，设x1，x2A，证明：x1x2A.【证明】因为x1，x2A，所以可设x1m1n1，x2m2n2，且m1，n1，m2，n2Z，所以x1x2(m1n1)(m2n2)m1m2(m2n1m1n2)2n1n2(m1m22n1n2)(m2n1m1n2).因为m1m22n1n2Z，m2n1m1n2Z，所以x1x2A.【知识拓展】解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合中元素满足的性质，将所给条件和要证结论进行恰当的转化，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的；判断方法：首先明确集合

9、由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合；判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可(多选题)已知集合A中元素满足x3k1，kZ，则下列表示正确的是()A2A B11AC3k21A D34A【解析】选BC.令3k12，解得k，Z，所以2A；令3k111，解得k，Z，所以11A；因为k2Z，所以3k21A；令3k134，解得k11，11Z，所以34A.【加固训练】1.用符号“”或“”填空_R；3.14_Q；1_N；32_Z.【解析】根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知，R

10、；3.14Q；1N；32Z.答案：2由不超过5的实数组成集合A，a，则()AaABa2ACA Da1A【解析】选A.a45，所以aA.a15，所以a2A，5，所以A.综合类型根据已知条件求字母的值(逻辑推理)已知元素与集合关系求字母的值【典例】若集合A中有三个元素a3，2a1，a24，且3A，求实数a的值【解析】 (1)若a33，则a0，此时满足题意；(2)若2a13，则a1，此时a243，不满足集合中元素的互异性，故舍去(3)若a243，则a1.当a1时，满足题意；当a1时，由(2)知，不满足题意综上可知，a0或a1.若将本例条件“3A”改为“aA”且A为有理数集，其他条件不变，求实数a的值

11、【解析】因为aA，所以aa3或a2a1或a24a，又因为A为有理数集，解得a1.此时集合A含有三个元素2，1，3，符合题意，故实数a的值为1.根据元素与集合的关系求字母的值的三个步骤微提醒：解答此类问题一要注意分类讨论时不重不漏，二要注意检验所求值是否满足集合中元素的互异性【加固训练】设不等式xa0的解集为集合P，若2P，则a的取值范围是()Aa2 Ba2Ca2 Da2【解析】选C.因为2P，所以2不满足不等式xa0，即满足不等式xa0，所以2a0，即a2.已知集合相等求字母的值【典例】由三个数a，1组成的集合与由a2，ab，0组成的集合是相等的，求a2 021b2 021的值【解析】由a，1

12、组成集合，可知a0，且a1.由题意可得或解得或(舍去)，所以a2 021b2 021(1)2 02101.集合相等的注意点若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等【加固训练】由三个元素2，a，b组成的集合与由三个元素2a，2，b2组成的集合相等，求a，b的值【解析】根据集合相等的定义，有或解得或或再根据集合中元素的互异性，得或创新题型集合新定义问题(数学抽象)【典例】若集合A具有以下性质：()0A且1A；()若x，yA，则xyA，且当x0时，A，则称集合A为“闭集”(1)设集合B是由1，0，1构成的集合，试判断集合B是否为“闭集”，并说明理由；(2)设集

13、合A是“闭集”，求证：若x，yA，则xyA；(3)若集合M是一个“闭集”，判断命题“若xM，则x2M”的真假，并说明理由【解析】(1)因为112B，所以B不是“闭集”(2)因为集合A是“闭集”，所以0yyA，故x(y)xyA.(3)因为xM，所以x1M，所以M，M，所以M，即M，所以x(x1)M，所以x(x1)xM，即x2M，得证所以命题“若xM，则x2M”为真命题集合新定义问题的解题策略(1)耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决；(2)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解设A中所有元素均为整

14、数，对于kA，如果k1A，且k1A，那么称k是A的一个“孤立元”设集合S是由1，2，3，4，5构成的集合，由S的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合的个数是多少？【解析】依题意知，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数，故这样的集合共有3个，其他都是含“孤立元”的集合，分别为1，2，4，1，2，5，1，3，4，1，3，5，1，4，5，2，3，5，2，4，5，共有7个创新思维探索性问题(逻辑推理)【典例】设A是由一些实数构成的集合，若aA，则A，且1A.(1)证明：若aA，则1A；(2)集合A能否只有一个元素？若能，求出集合A；若不能，说明理由【解

15、析】(1)因为aA，A，所以1A.(2)假设集合A只有一个元素，设此元素为a，则a，即a2a10有两个相等的根因为(1)2430，所以a2a10无实数根这与a2a10有两个相等的根相矛盾，所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素假设集合A只有一个元素，依据题意将问题转化为方程的解的个数问题【加固训练】 已知集合A是由a，b，c三个元素构成的，集合B是由0，1，2三个元素构成的，若这两个集合相等，且下列三个关系：a2，b2，c0中有且只有一个正确，则100a10bc等于_【解析】可分三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，推出ab1，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(

16、2)若只有正确，则b2，a2，c0，与集合中元素的互异性相矛盾，所以只有正确是不可能的；(3)若只有正确，则c0，a2，b2，推出b0，c1，满足集合中元素的互异性所以100a10bc10021001201.答案：2011下列语句能确定一个集合的是()A充分小的负数B爱好飞机的一些人C某班本学期视力较差的同学D某校某班某一天的所有课程【解析】选D.由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A，B，C.2若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A3.14 B5 C D【解析】选D.是实数，但不是有理数3英文短语“open the door to”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是

17、()A7 B8 C9 D10【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to”中的不同字母共有“o，p，e，n，t，h，d，r”8个，故该集合的元素个数为8.4设直线y2x3上的点的集合为P，则点(1，5)与集合P的关系是_，点(2，6)与集合P的关系是_.【解析】点(1，5)在直线y2x3上，点(2，6)不在直线y2x3上答案：(1，5)P(2，6)P5已知集合A中含有三个元素1，4，a，且实数a满足a2A，求实数a的值【解析】因为实数a满足a2A，所以a24或a21或a2a，解得a2或a2或a1或a1或a0，当a1时，集合A中含有1，4，1，不合题意；当a1或a2或a0时，满足题意，所以实数a的值为1，2，2，0.关闭Word文档返回原板块