2022年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 单元形成性评价（含解析）新人教A版必修第二册.doc

1、单元形成性评价(一)(第六章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1在ABC中，D是AB边上的中点，则()A2 B2C2 D2【解析】选C.在ABC中，D是AB边上的中点，则()2.2已知向量a(1，1)，b(0，2)，且ab(2，8)，则()A5 B5 C1 D1【解析】选D.因为a(1，1)，b(0，2)，所以ab(，2)，因为ab(2，8)，所以(，2)(2，8)，所以2，3，所以1.3向量a(1，0)，b(2，1)，c(x，1)，若3ab与c共线，则x()A1 B3 C2 D1【解析】选D.向量a(1，0)，b(2，1)，c(x，1)，则3ab(1，1)，又3ab与

2、c共线，则11(1)x0，解得x1.4(2021宁波高一检测)平面向量a与b的夹角为60，a(2，0)，|b|1，则|a2b|等于()A B2 C4 D12【解析】选B.因为a(2，0)，|b|1所以|a|2，ab21cos 601所以|a2b|25在ABC中，B45，C60，c1，则最短边长为()A B C D【解析】选B.A180(6045)75，故最短边为b，由正弦定理可得，即b.6如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.A B C D【解析】选C.根据向量的加法法则，得ab，故正确；根据向量的减法法则，得ab，故错误；ab2bab，故正确；abbab，故错误7已知三个力f

3、1(2，1)，f2(3，2)，f3(7，3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力f4，则f4()A(2，2) B(2，2)C(1，2) D(2，2)【解析】选D.由物理知识，知物体平衡，则所受合力为H，所以f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(2，2).8(2021济宁高一检测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若tan C，cos A，b3，则ABC的面积为()A3 BC D【解析】选B.因为tan C且sin 2Ccos 2C1，解得sin C，cos C.又cos A，所以sin A，故sin Bsin (AC)sin (AC)sin A co

4、s Ccos A sin C.因为，b3，故a2，SABCab sin C23.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9对于任意的平面向量a，b，c，下列说法正确的是()A若ab且bc，则acB(ab)cacbcC若abac，且a0，则bcD(ab)ca(bc)【解析】选BD.ab且bc，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误；由向量乘法的分配律可得：(ab)cacbc，即B正确；因为abac，则a(bc)0，又a0，则bc或a(bc)，即C错误；向量加法满足结合律，即：(ab)ca(bc)，即D正确10(2021青岛高一检测)已知平面向量

5、a，b，c满足|a|b|c|1，若ab，则(ab)(2bc)的值可能为()A2 B3C0 D【解析】选ACD.|a|b|c|1，ab，则cos ，60，所以|ba|1，则(ab)(2bc)2abac2b2bc12c(ba)1cos ，其中为c与ba的夹角，且0，因为cos 1，1，所以cos 12，0.11.(2021南通高一检测)如图，B是AC的中点，2，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且xy，则下列结论正确的为()A当x0时，yB当P是线段CE的中点时，x，yC若xy为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段Dxy的最大值为1【解析】选BCD.当x0时，y，则P在线段B

6、E上，故1y3，故A错当P是线段CE的中点时，3()3(2)，故B对xy为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是线段，故C对如图，过P作PMAO，交OE于M，作PNOE，交AO的延长线于N，则：；又xy；所以x0，y1；由图形看出，当P与B重合时，01；此时x取最大值0，y取最小值1；所以xy取最大值1，故D正确12(2021怀化高一检测)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，cos2Acos2Bcos2CcosA cos Bcos Ccos 2B且c，则下列结论中正确的是()ACBCCABC面积的最大值为DABC面积的最大值为【解析】

7、选BC.因为cos2Acos2Bcos2CcosAcos Bcos Ccos 2B，所以(1sin2A)(1sin2B)(1sin2C)cosA cos Bcos (AB)(12sin2B)，所以sinA sin Bsin2Bsin2Asin2C0，由正弦定理可得abb2a2c20，可得cosC，可得C，故A错误；B正确；又c，可得3a2b2ab2abab，解得ab1，当且仅当ab1时取等号，所以SABCab sin C1，故C正确；D错误三、填空题(每小题5分，共20分)13已知a(2，2)，b(x，2)，若ab6，则x_【解析】因为a(2，2)，b(x，2)，所以ab2x4，又因为ab6，

8、所以2x46，解得x5.答案：514在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边若2a sin Bb，bc5，bc6，则a_【解析】因为2a sin Bb，所以2sin A sin Bsin B.所以sin A，因为ABC为锐角三角形，所以cos A，因为bc6，bc5，所以b2，c3或b3，c2.所以a2b2c22bc cos A2232267，所以a.答案：15在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若2，则的模为_【解析】因为在平行四边形ABCD中，又，所以，所以2|cos 60|2|12，所以|12.答案：1216(2021天津高一检测)ABC的内角A，

9、B，C的对边分别为a，b，c.若m，n，且mn，则A_；若ABC的面积为2，则ABC的周长的最小值为_【解析】由条件可知mnsin C0，由正弦定理可得c0，所以bcc2a2b20即bcb2c2a2，cos A，因为0A，所以A；Sbc sin Abc2，解得bc8，a2b2c22bc cos b2c2bc2bcbc8即a2，当bc2时，等号成立，bc24，当bc时等号成立，所以abc246，当bc时，abc时取得最小值6.答案：6四、解答题(共70分)17(10分)在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：(1)2的模；(2)cos BAC.【解析】(1)如图，(

10、1，1)，(1，5)，故2(2，2)(1，5)(1，7)，故|2|5；(2)cos BAC .18(12分)如图所示，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若a，b，试用a，b表示，.【解析】由题意知四边形ANCD是平行四边形则a，ba，ab.19(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值【解析】(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC

11、中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos BAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以渔船甲的速度为14(海里/时).(2)在ABC中，AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，所以sin .20(12分)(2020新高考全国卷)在ac，c sin A3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选条件ac.在ABC中，sin A

12、sin B，即ba，ac，所以c，cos C，所以a，b1，c1.选条件c sin A3.在ABC中，c sin Aa sin Ca sin 3，所以a6.因为sin Asin B，即ab，所以b2，cos C，所以c2，选条件cb.由sin Asin B可得ab，又cb，所以cos Ccos ，与已知条件C相矛盾，所以问题中的三角形不存在21(12分)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若2b cos A(c cos Aa cos C)，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积【解析】(1)由余弦定理得cos B，因为B是三角

13、形的内角，所以B.(2)由正弦定理得，代入2b cos A(c cos Aa cos C)，可得2sin B cos A(sin C cos Asin A cos C)，即2sin B cos Asin B，因为sin B0，所以cos A，所以A，于是CAB.设ACm，则BCm，ABm，CMm，由余弦定理可知AM2CM2AC22CMACcos ，即()2m2m22mm()m2，解得m2.于是SABCCACB sin 22.22(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin b sin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin sin B sin A.因为sin A0，所以sin sin B.由ABC180，可得sin cos ，故cos 2sin cos .因为cos 0，故sin ，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCac sin Ba.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90，由(1)知AC120，所以30C90，tan C，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.