2022年新教材高中数学 课时检测11 余弦定理（含解析）新人教A版必修第二册.doc

1、余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在ABC中,若b=1,c=,C=,则a=()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,得3=a2+1-2a1cos,即a2+a-2=0.解之得a=1或a=-2(舍去),所以a=1.2.在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60,a=4b,c=,则b=()A.1B.2 C.3D.【解析】选A.由余弦定理知()2=a2+b2-2abcos 60,因为a=4b,所以13=16b2+b2-24bb,解得b=1(b=-舍去)

2、.3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9 C.8D.5【解析】选D.由23cos2A+cos 2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos A=.因为A是锐角,所以cos A=.又因为a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2b6.解得b=5或b=-.又因为b0,所以b=5.4.在ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则AC边上的高为()A.B.C.D.3【解析】选B.由BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,可得13=9+16-234cos A,得cos

3、 A =.因为A为ABC的内角,所以A=,所以AC边上的高为ABsin A=3=.5.已知ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则ABC的最大内角为()A.60B.90C.120D.150【解析】选D.由已知得,c2=a2+b2+ab,所以ca,cb,故C为最大内角.由余弦定理,得cos C=-,又C(0,),所以C=,即C=150.6.(多选题)在ABC中,a=1,b=2,cos C=,则()A.c=1B.c=2C.sin A=D.sin A=【解析】选BD.根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-212=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cos A=,所

4、以sin A=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为_.【解析】方法一:在ABC中,由余弦定理,得cos A=,设中线长为x,由余弦定理,知x2=92+42-294=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=(+),所以=(+2)=(92+72+2|cosABC)由余弦定理,得2|cosABC=|2+|2-|2=92+72-82,所以|2=(92+72+92+72-82)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.答案:78.在ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sin A

5、=_.【解析】在ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cos A=,则sin A=.答案:【补偿训练】已知在ABC中,a=2,b=4,c=3,则cos B=_.【解析】cos B=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.【解析】因为sin C=,且0C,所以C为或.当C=时,cos C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.当C=时,cosC=-,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.所以边c的长为2或2.10.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

6、已知4sin2+4sin Asin B=2+.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得21-cos(A-B)+4sin Asin B=2+,化简得-2cos Acos B+2sin Asin B=,故cos(A+B)=-,所以cos C=-cos(A+B)=,又C(0,),从而C=.(2)如图SABC=aha=absin C,由SABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=10,得c=.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在A

7、BC中,AB=5,AC=3,BC=7,则BAC=()A.B.C.D.【解析】选C.因为cosBAC=-,又因为0BAC,所以BAC=.2.在ABC中,a2+b2-c2+ab=0,则C等于()A.30B.45C.120D.135【解析】选D.由a2+b2-c2+ab=0知,a2+b2-c2=-ab,由余弦定理得cos C=-,因为0C180,所以C=135.【补偿训练】在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为()A.B.C.D.【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2-a2=-bc.由余弦定理得cos A=-,又因为0A,所以A=

8、.3.(多选题)已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S为ABC的面积,则()A.B=60B.sin A=C.sin C=D.S=10【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角和面积.【解析】选ABD.最小的角为A,最大的角为C,则cos A=,cos B=,cos C=,则sin A=,S=ch=cbsin A=10.又0B180,所以B=60.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是()A.(8,10)B.(2,)C.(2,10)D.(,8)【解析】选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可.故解得2a

9、.二、填空题(每小题5分,共20分)5.设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=,c=,则b=_.【解析】由余弦定理得a2=6=b2+5-2bcos 60,即b2-b-1=0,解得b=或b=(舍去).答案:6.在ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则BAC为_.【解析】如图,设BD=CD=x.在ABD和ACD中,由余弦定理及诱导公式,得,即14+2x2=20,解得x=,即BC=2.则cosBAC=,又0BAC180,所以BAC=60.答案:607.如图所示,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3, AD=3,则BD的长

10、为_.【解析】因为sinBAC=sin(90+BAD)=cosBAD=,所以在ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD,所以BD2=18+9-233=3,所以BD=.答案:8.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=,则B=_.【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2-bc,所以b2-a2=bc-c2,与ac=b2-a2联立,得ac+c2-bc=0,即c=b-a,代入ac=b2-a2,得a(b-a)=b2-a2,解得b=a,所以c=b-a=2a,所以cos B=,又因为B(0,),所以B=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)

11、9.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)2=b2-ac.(1)求cos B的值;(2)若b=,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(a-c)2=b2-ac,可得a2+c2-b2=ac.所以=,即cos B=.(2)因为b=,cos B=,由余弦定理,得b2=13=a2+c2-ac=(a+c)2-ac,又a+c=2b=2,所以13=52-ac,解得ac=12. 10.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0.因为sin A0,所以sin B- cos B=0.又cos B0,所以tan B=.又0B,所以B=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=,有b2=3+.又0a1,于是有b21,即有bba,故B=2A,即的值为2.