河南省2021届高三数学二模联考试题 理（含解析）.doc

1、河南省九师联盟2021届高三数学二模联考试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1若i是虚数单位，则（）ABCD2已知全集UR，集合Ax|2x4，Bx|x（3x）0，则U（AB）（）A（3，+）B（2，3）C（2，+）D（，2）3在等比数列an中，若a31，a1125，则a7（）A5B5C5D254如图所示的是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为s2A和s2B，则（）A，s2As2BB，s2As2BC，s2As2BD，s2As2B5已知直线l过抛物线C：y24x的焦点且与C交于A，B两点，线段AB的中点关于y轴的对称点在

2、直线x2上，则|AB|（）A3B4C5D66执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A27B48C75D767（2）（12x）4的展开式中x3项的系数是70，则a的值为（）A2B2C4D48若A，B，C为ABC的内角，则“tanAtanB1是“ABC是锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为，点P在正方形A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正切值为（）ABCD10已知双曲线C：1（a0）的离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，点A在C的右支上，若AF1

3、F2的周长为10a，则AF2F1的面积是（）A6B3C90D4511设函数f（x）|sinx+cosx|+|sinxcosx|，则下列结论错误的是（）A函数f（x）为偶函数B函数f（x）的图象关于直线x对称C函数f（x）的最小值为D函数f（x）的单调递增区间为+k，k（kZ）12已知实数a，b，c，d满足abc，且a+b+c0，ad2+2bdb0，则d的取值范围是（）A（，10，+）B（1，1）C（，）D（1，1+）二、填空题（共4小题）.13设向量（2，1），（m，4），若（+）（），则实数m 14已知长方体ABCDA1B1C1D1外接球的体积为36，AA12，则矩形ABCD面积的最大值为

4、15已知yf（x）为R上的奇函数，且其图象关于点（2，0）对称，若f（1）1，则f（2021） 16在数列an中，a11，当n2时，an，则数列an的通项公式为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2b2（4c22bc）cosA（1）求角A的大小；（2）若ADBC，垂足为D，且BC8，求AD的最大值18如图，已知矩形ABCD所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面，且EP，BP2，ADAE1，AEE

5、P，AEBP，F，G分别是BC，BP的中点（1）求证：平面AFG平面PEC；（2）求二面角DBEA的余弦值19某市为了增强市民的安全意识，由市安监局组织举办了一次安全知识网络竞赛，竞赛满分为100分，得分不低于85分的为优秀竞赛结束后，从参与者中随机抽取100个样本，统计得样本平均数为76，标准差为9假设该市共有10万人参加了此次竞赛活动，且得分X服从正态分布N（，2），若以所得样本的平均数和标准差分别作为，的近似值（1）试估计该市参加这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可

6、抽奖两次，其余参加者抽奖一次抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励60元电话费，否则奖励15元电话费假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若XN（，2），则P（X+）0.6820已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且ABF1的周长为8，|F1F2|2（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不

7、存在，请说明理由21已知函数f（x）ex（x2+mx+m2），g（x）ax2+x+axlnx（1）若函数f（x）在x1处取极小值，求实数m的值；（2）设m0，若对任意x（0，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的值（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2+2sin30（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）直线l与圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，求

8、的值选修4-5：不等式选讲23设f（x）|x2|+|x+3|（1）解不等式f（x）7；（2）若关于实数x的不等式f（x）a1无解，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1若i是虚数单位，则（）ABCD解：故选：C2已知全集UR，集合Ax|2x4，Bx|x（3x）0，则U（AB）（）A（3，+）B（2，3）C（2，+）D（，2）解：全集UR，集合Ax|2x4x|x2，Bx|x（3x）0x|x（x3）0x|x0或x3，所以ABx|x2或x3，所以U（AB）x|2x3（2，3）故选：B3在等比数列an中，若a31，a1125，则a7（）A5B5C5D25解：根据题意，设等比数列an的公

9、比为q，若a31，a1125，则q825，变形可得q45，则a7a3q4155，故选：A4如图所示的是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为s2A和s2B，则（）A，s2As2BB，s2As2BC，s2As2BD，s2As2B解：由小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，得到小王参加某射击比赛的预赛的五次中，每次均不低于小张的预赛成绩，但是小王各次成绩的波动大于小张的波动，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为s2A和s2B，则，s2As2B故选：C5已知直线l过抛物线C：y24x的焦点且与C交于A

10、，B两点，线段AB的中点关于y轴的对称点在直线x2上，则|AB|（）A3B4C5D6解：因为抛物线为y24x，所以p2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则2，即x1+x24，故|AB|x1+x2+p4+26故选：D6执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A27B48C75D76解：第一次运行时，S0+313，k3，第二次运行时，S3+3312，k5，第三次运行时，S12+3527，k7，第四次运行时，S27+3748，k9，第五次运行时，S48+3975，k11，此时刚好满足k10，故输出S75，故选：C7（2）（12x）4的展开式中x3项的系数是70，则a

11、的值为（）A2B2C4D4解：（12x）41（2x）+（2x）4（2）（12x）4的展开式中x3项的系数270，64+70，6解得a4故选：D8若A，B，C为ABC的内角，则“tanAtanB1是“ABC是锐角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：因为A，B，C（0，），且tanAtanB1，所以，所以A、B为锐角；又tanCtan（A+B）0，所以C为锐角，ABC是锐角三角形，充分性成立；若ABC为锐角三角形，则，由tanCtan（A+B）0，所以tanAtanB10，即tanAtanB1，必要性成立；所以“tanAtanB1是“ABC是锐角三角形

12、”的充要条件故选：C9已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为，点P在正方形A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正切值为（）ABCD解：设正方体的边长为a，则a316，故a2，A1C1a4，CP2，C1P2，又A1P2，P为线段A1C1的中点，设ACBDO，则OC平面BDD1B1，故CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角，tanCPO故选：A10已知双曲线C：1（a0）的离心率为2，F1，F2分别为C的左、右焦点，点A在C的右支上，若AF1F2的周长为10a，则AF2F1的面积是（）A6B3C90D45解：设双曲线的半焦距为c，由e2，又c

13、2a29，解得a，c2，因为AF1F2的周长为10a，设|AF1|m，|AF2|n，可得m+n+2cm+n+410，即m+n6，由双曲线的定义可得mn2a2，解得m4，n2，cosF1AF2，所以sinF1AF2，则AF2F1的面积是mnsinF1AF2423故选：B11设函数f（x）|sinx+cosx|+|sinxcosx|，则下列结论错误的是（）A函数f（x）为偶函数B函数f（x）的图象关于直线x对称C函数f（x）的最小值为D函数f（x）的单调递增区间为+k，k（kZ）解：函数f（x）|sinx+cosx|+|sinxcosx|，对于A：由于函数f（x）f（x），故函数f（x）为偶函数，

14、故A正确；对于B：函数f（x）f（x）故函数f（x）关于x对称，故B正确；对于C：令x+t，则f（t），该函数的最小正周期为，在x时，f（t），所以函数f（t）在x上的最小值为，故C正确；对于D：由于函数f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）的图象，所以函数在x上时，g（x），则函数在0，上单调递增，在上单调递减，由于函数g（x）的最小正周期为，所以函数的单调递增区间为（kZ），故D错误；故选：D12已知实数a，b，c，d满足abc，且a+b+c0，ad2+2bdb0，则d的取值范围是（）A（，10，+）B（1，1）C（，）D（1，1+）解：由题意可知，a0，因为关于d的方程为ad2+2bd

15、b0，所以且4b2+4ab0，因为实数a，b，c，d满足abc，且a+b+c0，所以a0，c0，若b0，则ab|b|，若b0，则abc|b|，所以a|b|，所以，设，由a|b|，可得1t1，则且t2+t0，可得t0或t1，所以0t1，设f（t），因为在t0，1）上恒成立，所以函数f（t）在0，1）上单调递减，所以对任意的t0，1），所以此时f（t）在t0，1）的值域为，即此时，设g（t），t0，1），因为在t0，1）上恒成立，所以函数g（t）在0，1）上单调递增，所以对任意的t0，1），所以g（t）在t0，1）的值域为，即，所以故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设向量

16、（2，1），（m，4），若（+）（），则实数m8解：向量（2，1），（m，4），所以+（2+m，3），（2m，5），又（+）（），所以（2+m）5（2m）（3）0，解得m8故答案为：814已知长方体ABCDA1B1C1D1外接球的体积为36，AA12，则矩形ABCD面积的最大值为8解：设矩形ABCD的边长为a，b，该长方体为外接球的半径为r，则36，解得r3，所以23，可得a2+b216，所以ab8，当且仅当ab2时，等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为8故答案为：815已知yf（x）为R上的奇函数，且其图象关于点（2，0）对称，若f（1）1，则f（2021）1解：f（x）的图象关于点（2

17、，0）对称，f（x+2）的图象关于原点对称，f（x+2）是奇函数，f（2x）f（x+2），且f（x）是R上的奇函数，f（x）f（x+4）f（x），f（x+4）f（x），f（x）的周期为4，且f（1）1，f（2021）f（1+4505）f（1）1故答案为：116在数列an中，a11，当n2时，an，则数列an的通项公式为解：由于数列an中，a11，当n2时，an，当n2时，a2a11，当n3时，得：（n3），整理得（n3），所以，整理得，所以（n3），当n2时，满足该通项公式，当n1时，不满足通项，故故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个

18、试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2b2（4c22bc）cosA（1）求角A的大小；（2）若ADBC，垂足为D，且BC8，求AD的最大值解：（1）因为a2+c2b2（4c22bc）cosA，所以2accosB（4c22bc）cosA，由正弦定理得sinAcosB（2sinCsinB）cosA，即sin（A+B）2sinCcosAsinC，因为sinC0，所以cosA，因为A为三角形内角，故A；（2）因为SABC，BC8，A，所以4ADbc，即AD，由余弦定理得，64b2+c2bcbc

19、，当且仅当bc时取等号，故AD4，当且仅当bc时取等号，故AD的最大值为418如图，已知矩形ABCD所在的平面垂直于直角梯形ABPE所在的平面，且EP，BP2，ADAE1，AEEP，AEBP，F，G分别是BC，BP的中点（1）求证：平面AFG平面PEC；（2）求二面角DBEA的余弦值【解答】（1）证明：因为G是BP的中点，所以PGBP1，又因为AE1，所以AEPG，又因为AEPG，AEEP，所以四边形AEPG是矩形，所以AGEP，又AG平面PEC，PE平面PEC，所以AG平面PEC，因为F，G分别是BC，BP的中点，所以FG是BCP的中位线，所以FGPC，又FG平面PEC，PC平面PEC，所以

20、FG平面PEC，因为AGFGG，AG，FG平面AFG，所以平面AFG平面PEC；（2）解：平面ABCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，DAAB，DA平面ABCD，所以AD平面ABPE，又AE，AG平面ABPE，所以ADAE，ADAG，所以AE，AG，AD两两垂直，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为，则，则，设平面EDB的法向量为，则，即，令x3，则z3，故，又平面ABE的一个法向量为，所以，由图可知，二面角DBEA为锐二面角，所以二面角DBEA的余弦值为19某市为了增强市民的安全意识，由市安监局组织举办了一次安全知识网络竞赛，竞赛满分为100分，得分不低于85分的为

21、优秀竞赛结束后，从参与者中随机抽取100个样本，统计得样本平均数为76，标准差为9假设该市共有10万人参加了此次竞赛活动，且得分X服从正态分布N（，2），若以所得样本的平均数和标准差分别作为，的近似值（1）试估计该市参加这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？（2）为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励60元电话费，否则奖励15元电话费假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电

22、话费总额为多少万元？参考数据：若XN（，2），则P（X+）0.68解：（1）由题意知XN（76，81），所以优秀者得分X76+9+，由P（X+）0.68，得P（X85）0.16，所以估计该市参加这次竞赛活动得分优秀者的人数是100.161.6（万人）（2）设抽奖1次获得话费为Y元，则Y的可能取值为60，15；在10，11，99共90个数中，两位数数字相同的概率为，所以P（Y60），P（Y15），所以抽奖1次获得电话费的期望值为E（Y）60+1519.5（元）；设抽奖次数为Z，则Z的取值为1，2，计算P（Z1）10.160.84，P（Z2）0.16，所以参加活动的每个人抽奖次数的数学期望为E（Z

23、）10.84+20.161.16，所以估计这次活动奖励的电话费总额为101.1619.5226.2（万元）20已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且ABF1的周长为8，|F1F2|2（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1且不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设椭圆C的焦距为2c，由题意可得2c2，4a8，所以c1，a2，所以椭圆C的方程为+1（2）由（1）知F1（1，0），设点E（x1，y1），D（x2，y2

24、），M（m，0），因为直线l不与x轴重合，所以设直线l的方程为xny1，联立，得（3n2+4）y26ny90，则36n2+36（3n2+4）0，所y1+y2，y1y2，又x1x2（ny11）（ny21）n2y1y2n（y1+y2）+1+1，x1+x2n（y1+y2）22，直线ME，MD的斜率分别为kME，kMD，所以kMEkMD，要使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值，只需3m2120，解得m2，当m2时，存在点M（2，0），使得kMEkMD，当m2时，存在点M（2，0），使得kMEkMD，综上所述，在x轴上存在点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值，当点M的坐标为（2，0）时，直线ME，

25、MD的斜率之积恒为定值，当点M的坐标为（2，0）时，直线ME，MD的斜率之积恒为定值21已知函数f（x）ex（x2+mx+m2），g（x）ax2+x+axlnx（1）若函数f（x）在x1处取极小值，求实数m的值；（2）设m0，若对任意x（0，+），不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的值解：（1）f（x）exx2+（m+2）x+m2+m，由题意得f（1）0，即m1，当m1时，f（x）ex（x+1）（x+2），此时f（x）在（2，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，符合题意；当m1时，f（x）ex（x+1）x，此时f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，不符合题意综上可得，m

26、1（2）由f（x）g（x）得xex1a（x+lnx）0，指数化得不等式ex+lnx1a（x+lnx）0恒成立，令tx+lnx，则tR，不等式etat10恒成立，令h（t）etat1，tR，则h（t）eta，当a0时，h（t）0，h（t）单调递增，h（1）+a10，不符合题意；当a0时，令h（t）0，得xlna，当x（，lna）时，h（t）0，h（t）单调递减，当x（lna，+）时，h（t）0，h（t）单调递增，所以h（t）minh（lna）aalna1，所以aalna10，即lna+10，令（a）lna+1，则（a），所以（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，又（1）0，所以a

27、1（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆C的极坐标方程为2+2sin30（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）直线l与圆C交于A，B两点，与x轴交于点M，求的值解：（1）圆C的极坐标方程为2+2sin30，根据，转换为直角坐标方程为x2+（y+1）24直线l的参数方程是（t为参数），转换为普通方程为2x+y20（2）直线l的参数方程是（t为参数），转换为标准式为（t为参数），代入圆的方程为，所以，t1t22，故选修4-5：不等式选讲23设f（x）|x2|+|x+3|（1）解不等式f（x）7；（2）若关于实数x的不等式f（x）a1无解，求实数a的取值范围解：（1）由已知得|x2|+|x+3|7，当x3时，2x（x+3）7，x4，当3x2时，2x+（x+3）7，无解，当x2时，x2+（x+3）7，x3，故所求不等式的解集为（3，+）（，4）（2）|x2|+|x+3|2x|+|x+3|2x+x+3|5，（|x2|+|x+3|）min5，要使|x2|+|x+3|a1无解，只需a15，a6，故a的取值范围为（，6