2023年新教材高考数学 全程考评特训卷 单元过关检测七 立体几何与空间向量（含解析）.docx

1、单元过关检测七立体几何与空间向量一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12022山东潍坊模拟在空间中，下列命题是真命题的是()A经过三个点有且只有一个平面B平行于同一平面的两直线相互平行C如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面22022辽宁沈阳模拟已知圆锥的表面积为3，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为()A.B.C.D.32022湖南雅礼中学月考已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断正确的是()A若，m，n，则直线m与n一定平行B

2、若m，n，则直线m与n可能相交、平行或异面C若m，n，则直线m与n一定垂直D若m，n，则直线m与n一定平行4.如图，E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，若BD1平面B1CE，则()ABD1CEBAC1BD1CD1E2EC1DD1EEC152022广东汕头模拟在四面体ABCD中，AB底面BCD，ABBD，CBCD1，则四面体ABCD的外接球的表面积是()AB2C3D46.2022河北沧州模拟如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且ABCD，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的2倍，则AB与平面BCD所成的角为()A.B.C.D.7.如图，在正方体ABC

3、DA1B1C1D1中，则以下结论错误的是()ABD平面CB1D1BAD平面CB1D1CAC1BDD异面直线AD与CB1所成的角为458如图，在ABC中，ABBC4，BAC30，D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使得二面角PBDC为60，则三棱锥PBDC的体积为()A2B4C.D2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分92022湖北黄冈中学月考若、是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是()A若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线B若直线m，则在平面内，一定存在无数

4、条直线与直线m垂直C若直线m，则在平面内，一定存在与直线m异面的直线D若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线102022福建漳州模拟已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列结论正确的是()A若，a，b，则abB若b，b，a，则abC若a，b，ab，则D若a，b，ab，则112022山东日照模拟已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，过对角线BD1作平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是()A四边形BFD1E不一定是平行四边形B平面分正方体所得两部分的体积相等C平面与平面DBB1可以垂直D四边形BFD1E面积的最大值为122021新高考卷在正三棱柱

5、ABCA1B1C1中，ABAA11，点P满足，其中0,1，0,1，则()A当1时，AB1P的周长为定值B当1时，三棱锥PA1BC的体积为定值C当时，有且仅有一个点P，使得A1PBPD当时，有且仅有一个点P，使得A1B平面AB1P三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上132022湖北荆州模拟某圆柱的侧面展开图是面积为42的正方形，则该圆柱一个底面的面积为_14如图所示的是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱_所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直152022北京101中学月考如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为

6、直角的等腰三角形，AC2，BB13，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.162022山东济宁模拟农历五月初五是中国的传统节日端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图(1)的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为_四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)2022山东潍坊四中月考如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D1为A1C1上的中点(

7、1)求证：BC1平面AB1D1；(2)设三棱锥AA1B1D1的体积为V1，三棱柱ABCA1B1C1的体积为V2，求.18(12分)2022北京三中月考如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点(1)求证：BD1平面ACE；(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值19.(12分)2022广东湛江模拟如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB2，点E是棱PB的中点(1)证明：平面ACE平面PBC.(2)若BC3，求二面角ACED的余弦值20(12分)2021新高考卷如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，O为BD的中点(1)证明：

8、OACD；(2)若OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE2EA，且二面角EBCD的大小为45，求三棱锥ABCD的体积21(12分)2022河北唐山模拟在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，AB1，AD，CD2，PDBC，ACPB.(1)证明：PD平面ABCD；(2)若二面角DPBC的余弦值为，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值22(12分)2022山东菏泽模拟如图所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，B90且ADBC，若AD2BC2，AB，ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图的几何体图图(1)若点M是ED的中点，求

9、证：CM平面ABE；(2)若EC2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角EADF的大小为60？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由单元过关检测七立体几何与空间向量1答案：D解析：当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；如果两个相交平面，垂直于同一个平面，且l，则在平面、内分别存在直线m，n垂直于平面，由线面垂直的性质可知nm，再由线面平行的判定定理得m，由线面平行的性质得出ml，则l，故D正确2答案：C解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由l2

10、r，得l2r，又Sr2r2r3r23，所以r21，解得r1；所以圆锥的高为h，所以圆锥的体积为Vr2h12.3答案：C解析：如图所示，在正方体中对于A：若，m，n，不妨取面ABCD为平面，面ABB1A1为平面，若取m为BC，n为A1B1，则直线m与n异面，故A错误；对于B：若m，n，不妨取面ABCD为平面，面ABB1A1为平面，则直线m与n垂直，不可能平行，故B错误；对于C：若m，n，因为n，过n作平面l，则ln.因为m，所以ml，又ln，所以mn.故C正确；对于D：若m，n，不妨取面ABCD为平面，面A1B1C1D1为平面，则两个平面内的直线m与n可能平行，也可能异面故D错误4答案：D解析：

11、如图，设B1CBC1O，可得面BC1D1面B1CEOE，BD1平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1BEO，O为B1C的中点，E为C1D1中点，D1EEC1.5答案：D解析：如图，在四面体ABCD中，AB底面BCD，ABBD，CBCD1，可得CD2BC2BD2，所以BCD90，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1,1，则长方体的对角线长为2，则三棱锥ABCD的外接球的半径为1，其表面积为4124.6答案：C解析：如图，设EF为圆柱下底面内与CD垂直的直径，记EFCDH，连接AH，BH，由对称性可知：AHCD，BHCD，AHBHH，CD平面ABH，设AMBH，垂足为M，则CDAM，CD

12、BHH，AM平面BCD，直线AB在平面BCD内的射影为BH，ABH为AB与平面BCD所成的角，2HFBF2HF2，BFHF，ABHBHF，AB与平面BCD所成的角为.7答案：B解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BDB1D1，B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，A正确；ADA1D1，且A1D1平面DCC1D1，所以AD平面DCC1D1，又平面DCC1D1与平面CB1D1不平行，所以AD与平面CB1D1不平行，B不正确；AC1在底面ABCD上的射影AC，BDAC，所以AC1BD，C正确；根据正方体的性质可得ADBC，所以异面直线AD与CB1所成的角即为直线B

13、C与CB1所成的角，由BCB145，所以异面直线AD与CB1所成的角为45，D正确8答案：A解析：由ABBC4，BAC30，由旋转前后对应边，对应角相等可得：BD2，ADCDPD2，又二面角PBDC为60，即PDC60，故PDC为等边三角形，作CD中点E，连接PE，可得PECD，又BDCD，BDPD，所以BD平面PCD，所以BDPE，即PE平面BCD，结合几何关系可得PE3，故VPBDCBDCDPE2232.9答案：BD解析：令平面平面直线l，对于A选项：当平面平面时，在平面内作直线nl，则n，而m，则nm，A错误；对于B选项：m，则ml，则平面内与l平行的所有直线都与直线m垂直，B正确；对于

14、C选项：因直线m，则m与l重合时，即m，内的所有直线都与m共面，C错误；对于D选项：当m时，结论成立，直线m与不垂直时，作与直线m垂直的平面，则必与相交，所得交线与m垂直，D正确10答案：BD解析：由a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，知：对于A，若，a，b，则a与b平行或异面，故A错误；对于B，若b，b，a，由线面平行的性质定理可得ab，故B正确；对于C，若a，b，ab，无法得到与垂直，根据面面垂直的判定定理，需要a垂直平面内两条相交直线，故C错误；对于D，若b，ab则a，又a，所以，故D正确11答案：BCD解析：对于选项A，因为平面ABB1A1平面CC1D1D，平面BFD1E平面AB

15、B1A1BE，平面BFD1E平面CC1D1DD1F，所以BED1F，同理可证D1EBF，所以四边形BFD1E是平行四边形，故A错误；对于选项B，由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；对于选项C，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有ACBD，ACBB1，又BDBB1B，所以AC平面BB1D，当E、F分别为棱AA1，CC1的中点时，有ACEF，则EF平面BB1D，又因为EF平面BFD1E，所以平面BFD1E平面BB1D，故C正确；对于选项D，四边形BFD1E在平面ABCD内的投影是正方形ABCD，当E与A重合，F与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，此时SD1

16、EBE1，故D正确12答案：BD解析：易知，点P在矩形BCC1B1内部(含边界)对于A，当1时，即此时P线段CC1，AB1P周长不是定值，故A错误；对于B，当1时，故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1BC，B1C1平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；对于C，当时，取BC，B1C1中点分别为Q，H，则，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A1，P，B，则，0，所以0或1.故H，Q均满足，故C错误；对于D，当时，取BB1，CC1中点为M，N.，所以P点轨迹为线段MN.设P，因为A，所以，所以y00y0，此时P与N重合，故D正确故

17、选BD.13答案：解析：因为圆柱的侧面展开图是面积为42的正方形，所以该正方形的边长为2，又圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长，所以圆柱的底面圆半径为1，故该圆柱一个底面的面积为Sr212.14.答案：CG、DH、EH、FG解析：如图，结合图象绘出正方体，结合正方体性质易知，棱CG、DH、EH、FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直15答案：1或2解析：由已知得B1D平面ACC1A1，又CF平面ACC1A1，所以B1DCF，若CF平面B1DF，则必有CFDF，设AFx(0x3)，则CF2x24，DF21(3x)2，CD2123210，所以由CF2DF2CD2得x241(3x

18、)210，解得x1或2，所以当AF1或2时，CF平面B1DF.16答案：解析：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体SABC中，取BC的中点D，连结SD，AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，则ADSD，ODAD，SO，则该六面体的体积为V2VSABC21.当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球的半径，因为SOODSDOE，所以球的半径OE，所以该球的体积为3.17.解析：(1)证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，则在平行四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，又点D1

19、为A1C1的中点，所以OD1BC1，又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1.(2)V1VAA1B1D1VAA1B1C1VABCA1B1C1V2，所以.18解析：(1)如图所示：连接BD与AC交于点O，连接OE.因为O，E为中点，所以OEBD1，又OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，令AB2，所以A(0,0,0)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，E(0,2,1)，(0,2,0)，(2,2,0)，(0,2,1)，设平面ACE的一个法向量为n(x，y，z)，所以，令y1，x1，z2，所以n(1，1,2)，所以

20、直线AD与平面ACE所成角的正弦值sincos，n.19解析：(1)证明：因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPA.四边形ABCD为矩形，所以BCAB，因为PAABA，所以BC平面PAB.从而BCAE，因为PAAB2，点E是棱PB的中点所以AEPB.因为PBBCB，所以AE平面PBC.又因为AE平面ACE，所以平面ACE平面PBC.(2)以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,3,0)，D(0,3,0)，E(1,0,1)，(1,3，1)，(2,3,0)，(2,0,0

21、)设平面ACE的法向量为n(x1，y1，z1)，由，得不妨令x13，可得n(3，2，3)设平面CED的法向量为m(x2，y2，z2)，由，得，不妨令y21，可得m(0,1,3)易知二面角ACED为锐角，|cosn，m|，所以二面角ACED的余弦值为.20解析：(1)证明：因为ABAD，O为BD中点，所以AOBD.因为平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，AO平面ABD，因此AO平面BCD，因为CD平面BCD，所以AOCD.(2)作EFBD于F，作FMBC于M，连EM，因为AO平面BCD，所以AOBD，AOCD，所以EFBD，EFCD，BDCDD，因此EF平面BCD，即EFBC，因为F

22、MBC，FMEFF，所以BC平面EFM，即BCME，则EMF为二面角EBCD的平面角，EMF，因为BOOD，OCD为正三角形，所以BCD为直角三角形因为BD2CD，所以FMBF，从而EFFM，所以AO1.因为AO平面BCD，所以VAOSBCD11.21解析：(1)由tanADB，tanACD，得ADBACD，所以DACADBDACACD，即ACBD，又ACPB，PBBDB，则有AC平面PBD，又PD平面PBD，所以ACPD，又PDBC，ACBCC，所以PD平面ABCD.(2)如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz，设DPh，则D(0,0,0)，A(，

23、0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，P(0,0，h)，(0,2，h)，(，1,0)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，n2yhz0，nxy0，取yh，则xh，z2，所以n(h，h,2)，而平面PBD的一个法向量为(，2,0)，cosn，解得h，(，1，)，易知AD平面PCD，所以(，0,0)是平面PCD的一个法向量，设直线PB与平面PCD所成的角为，则sincos，故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为.22解析：(1)证明：取AE的中点为G，连接MG，BG，M是ED的中点，AD2BC，MG是ADE的中位线，MGADBC且MGBC，所以MGBC为平行四边形，CMBG，因为CM面ABE，BG面ABE，所以CM平面ABE.(2)取AD的中点为H，连接HC，HE，其中HCAB，EH1，由EC2可得HCHE，显然EH面ABCD，故以H为坐标原点，分别以HC，HA，HE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，则E(0,0,1)，A(0,1,0)，D(0，1,0)，B(，1,0)，设存在点F(x，y，z)，(x，y，z1)(，1，1)x，y，z1，易知面EAD的法向量可取(，0,0)，另外(x，y1，z)(，1,1)，(0，2,0)，设面ADF的一个法向量为u(m，n，r)，则，可取一个法向量为u(1,0，)，则|cos，u|，F为EB的中点故存在F点为EB的中点