2023年新高考数学大一轮复习专题49讲 专题一 函数与导数 第7讲 导数与不等式的证明.docx

1、第7讲导数的综合应用考情分析1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题压轴形式出现，难度较大母题突破1导数与不等式的证明母题(2017全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f(x)2.子题1设函数f(x)ln xx1.证明

2、：当x(1，)时，10，当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，当0x0，f(x)单调递增，f(x)ln xx1f(1)0，ln xx1，当x1时，ln xx1，且ln 1，由得，1，由得，ln x，x，综上所述，当x1时，10时，ln x1.证明设g(x)f(x)(e2)x1exx2(e2)x1(x0)，则g(x)ex2x(e2)，设m(x)ex2x(e2)(x0)，则m(x)ex2，易得g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，又g(0)3e0，g(1)0，由0ln 21，则g(ln 2)0；当x(x0，1)时，g(x)0时，x.又由母题可得ln xx1，即xln

3、x1，故ln x1.规律方法利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)ming(x)max.(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式. 跟踪演练1(2018全国)已知函数f(x)aexln x1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex.由题设知，f(2)

4、0，所以a.从而f(x)exln x1，f(x)ex.当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(2，)，单调递减区间为(0,2)(2)证明当a时，f(x)ln x1.方法一设g(x)ln x1(x(0，)，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当a时，f(x)0.方法二易证exx1，ln xx1，f(x)ln x1ex1ln x1xln x10，即证f(x)0.2(2020株州模拟)已知f(x)ln x.(1)若函数g(x)xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值；(2)证明：f(x).(1)

5、解由题意，得g(x)xf(x)xln x(x0)，则g(x)ln x1.当x时，g(x)0，所以g(x)单调递增，所以g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，g(x)的极小值为g，无极大值(2)证明要证ln x(x0)成立，只需证xln x(x0)成立，令h(x)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，当x(1，)时，h(x)，即ln x，所以f(x).专题强化练1(2020沈阳模拟)已知函数f(x)x2(a2)xaln x，a0.(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任意的x0，f(x)exx2x2.(1)解f(x)x2(a2)xaln x，a0，

6、定义域为(0，)，f(x)2x(a2)，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，即证exln x20恒成立，令g(x)exln x2，x(0，)，即证g(x)min0恒成立，g(x)ex，g(x)为增函数，g0，x0，使g(x0)0成立，即0，则当0xx0时，g(x)x0时，g(x)0，yg(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，g(x)ming(x0)ln x02，又0，即，g(x0)ln x02ln 2x02，又x0，x02，g(x0)0，即对任意的x0，f(x)exx2x2.方法二令(x)exx1，(x)ex1，(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，(x

7、)min(0)0，exx1，令h(x)ln xx1(x0)，h(x)1，h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，h(x)maxh(1)0，ln xx1，x1ln x2，要证f(x)exx2x2，即证exln x2，由知exx1ln x2，且两等号不能同时成立，exln x2，即证原不等式成立2(2020全国)已知函数f(x)sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0，)的单调性；(2)证明：|f(x)| ；(3)设nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx.(1)解f(x)2sin xcos xsin 2x2sin2xcos 2x2sin xsin 3x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减(2)证明因为f(0)f()0，由(1)知，f(x)在区间0，上的最大值为f，最小值为f.而f(x)是周期为的周期函数，故|f(x)|.(3)证明由于 |sin3xsin32xsin32nx|sin x|sin2xsin32xsin32n1xsin 2nx|sin22nx|sin x|f(x)f(2x)f(2n1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n1x)|，所以sin2xsin22xsin24xsin22nx.