2023年新高考数学大一轮复习专题49讲 专题二 平面向量与三角函数 第7讲 三角恒等变换与解三角形.docx

1、第7讲 三角恒等变换与解三角形考情分析1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主，中等难度考点一三角恒等变换核心提炼1三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”2三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化例1(1)(2020全国)已知(0，)，且3co

2、s 28cos 5，则sin 等于()A. B. C. D.答案A解析由3cos 28cos 5，得3(2cos21)8cos 5，即3cos24cos 40，解得cos 或cos 2(舍去)又因为(0，)，所以sin 0，所以sin .(2)已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A. B. C. D.答案C解析因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.易错提醒(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围

3、，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解跟踪演练1(1)已知，tan ，则()A BC D2答案B解析tan tan，因为，所以，即.(2)(tan 10)_.答案2解析(tan 10)(tan 10tan 60)2.考点二正弦定理、余弦定理核心提炼1正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.3三角形的面积公式：Sabsin Cacsin

4、Bbcsin A.考向1求解三角形中的角、边例2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c.(1)求角A的大小；(2)若bc10，ABC的面积SABC4，求a的值解(1)由正弦定理及c，得sin C，sin C0，sin A(1cos A)，sin Acos A2sin，sin，又0A，A，A，A.(2)SABCbcsin Abc4，bc16.由余弦定理，得a2b2c22bccos (bc)22bcbc(bc)23bc，又bc10，a210231652，a2.考向2求解三角形中的最值与范围问题例3(2020新高考测评联盟联考)在：acsin Aacos C，(2ab)sin A(2b

5、a)sin B2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c，而且_(1)求角C；(2)求ABC周长的最大值解(1)选：因为acsin Aacos C，所以sin Asin Csin Asin Acos C，因为sin A0，所以sin Ccos C1，即sin，因为0C，所以C，所以C，即C.选：因为(2ab)sin A(2ba)sin B2csin C，所以(2ab)a(2ba)b2c2，即a2b2c2ab，所以cos C，因为0C，所以C.(2)由(1)可知，C，在ABC中，由余弦定理得a2b22abcos C3，即a2b2

6、ab3，所以(ab)233ab，所以ab2，当且仅当ab时等号成立，所以abc3，即ABC周长的最大值为3.规律方法(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围跟踪演练2(1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为S，且a1,4Sb2c21，则ABC外接圆的面积为()A4 B2 C D.答案D解析由余

7、弦定理得，b2c2a22bccos A，a1，所以b2c212bccos A，又Sbcsin A,4Sb2c21，所以4bcsin A2bccos A，即sin Acos A，所以A，由正弦定理得，2R，得R，所以ABC外接圆的面积为.(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A3B，则的取值范围是()A(0,3) B(1,3) C(0,1 D(1,2答案B解析A3B2cos2Bcos 2B2cos 2B1，即2cos 2B1，又AB(0，)，即4B(0，)2Bcos 2B(0,1)，(1,3)(3)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan C，ab，BC边

8、上的中点为D，则sinBAC_，AD_.答案解析因为tan C，所以sin C，cos C，又ab，所以c2a2b22abcos C1313216，所以c4.由，得，解得sinBAC.因为BC边上的中点为D，所以CD，所以在ACD中，AD2b222bcos C，所以AD.专题强化练一、单项选择题1(2020全国)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B等于()A. B. C. D.答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C42322439，所以AB3，所以cos B.2(2020全国)已知sin sin1，则sin等于()A. B. C. D.答案B解析因为sin

9、 sinsinsinsincoscossinsincoscossin2sincossin1.所以sin.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，1，B，则a的值为()A.1 B22C22 D.答案D解析在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，1，所以1，所以tan C1，C.因为B，所以ABC，所以sin Asinsin cos cos sin .由正弦定理可得，则a.4在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos Bbcos A2ccos C，c，且ABC的面积为，则ABC的周长为()A1 B2C4 D5答案D解析在ABC中，acos Bbc

10、os A2ccos C，则sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C，即sin(AB)2sin Ccos C，sin(AB)sin C0，cos C，C，由余弦定理可得，a2b2c2ab，即(ab)23abc27，又Sabsin Cab，ab6，(ab)273ab25，即ab5，ABC的周长为abc5.5若，都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于()A. B.C.或 D.或答案A解析因为，都是锐角，且cos ，所以，又sin()，而，所以，所以cos()，又sin ，所以cos cos()cos()cos sin()sin .6在ABC中，A，B，C的对边分别是a

11、，b，c.若A120，a1，则2b3c的最大值为()A3 B. C3 D.答案B解析因为A120，a1，所以由正弦定理可得，所以bsin B，csin C，故2b3csin B2sin Csin2sin Csin C2cos Csin(C)其中sin ，cos ，所以2b3c的最大值为.二、多项选择题7(2020临沂模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2，c3，A3C，则下列结论正确的是()Acos C Bsin BCa3 DSABC答案AD解析因为A3C，ABC，所以B2C.由正弦定理，得，即，所以cos C，故A正确；因为cos C，所以sin C，所以sin Bsi

12、n 2C2sin Ccos C2，故B错误；因为cos Bcos 2C2cos2C1，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，则cos A，所以a2b2c22bccos A(2)2322231，所以a1，故C错误；SABCbcsin A23，故D正确8已知0，若sin 2m，cos 2n且mn，则下列选项中与tan恒相等的有()A. B. C. D.答案AD解析sin 2m，cos 2n，m2n21，tan.三、填空题9(2020保定模拟)已知tan，则_.答案解析因为tan，所以，即，解得tan ，所以tan .10在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对

13、边，且，则A_.答案解析由正弦定理，得，整理得b2a22acsin Bc2，即b2c2a22acsin B2bcsin A，由余弦定理得，b2c2a22bccos A，2bccos A2bcsin A，即cos Asin A，tan A1，A.11(2020全国)如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC1，ABAD，ABAC，ABAD，CAE30，则cosFCB_.答案解析在ABD中，ABAD，ABAD，BD，FBBD.在ACE中，AEAD，AC1，CAE30，EC1，CFCE1.又BC2，在FCB中，由余弦定理得cosFCB.12(2020山东省师范大学附中月考)在ABC中，设角A，B，C

14、对应的边分别为a，b，c，记ABC的面积为S，且4a2b22c2，则的最大值为_答案解析由题意知，4a2b22c2b24a22c2a2c22accos B，整理，得2accos B3a23c2cos B，因为222，代入cos B，整理得2，令t，则2(9t222t9)2，所以2，所以，故的最大值为.四、解答题13(2020全国)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值解(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理

15、及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B.故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0BA；条件：cos B.解(1)在ABC中，由余弦定理知，b2c2a22bccos A，所以2b22bccos A(1tan A)，所以bc(cos Asin A)，又由正弦定理知，得sin Bsin C(cos Asin A)，所以sin(AC)sin C(cos Asin A)，即sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Asin Csin A，所以sin Acos Csin Csin A，因为sin A0，所以cos Csin C，所以tan C1，又因为0C，所以C.(2)选择条件，cos B，因为cos B，且0B，所以sin B，因为sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，由正弦定理知，所以a2，在ABD中，由余弦定理知AD2AB2BD22ABBDcos B(2)2()22226，所以AD.