2023年新高考数学大一轮复习专题49讲 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆.docx

1、第1讲直线与圆考情分析1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度考点一直线的方程核心提炼1已知直线l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为零)，则l1l2A1B2A2B10，且A1C2A2C10，l1l2A1A2B1B20.2点P(x0，y0)到直线l：AxByC0(A，B不同时为零)的距离d.3两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20(A，B不同时为零)间的距离d.例1(1)若直线l1：xay60与l2：

2、(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.答案B解析由l1l2得(a2)a13，且a2a36，解得a1，l1：xy60，l2：xy0，l1与l2间的距离d.(2)直线axy3a10恒过定点N，则直线2x3y60关于点N对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120答案B解析由axy3a10可得a(x3)y10，令可得x3，y1，N(3,1)设直线2x3y60关于点N对称的直线方程为2x3yc0(c6)则，解得c12或c6(舍去)所求直线方程为2x3y120.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题

3、时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在跟踪演练1(1)已知直线l经过直线l1：xy2与l2：2xy1的交点，且直线l的斜率为，则直线l的方程是()A3x2y10 B3x2y10C2x3y50 D2x3y10答案C解析解方程组得所以两直线的交点为(1,1)因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1(x1)，即2x3y50.(2)已知直线l1：k

4、xy40与直线l2：xky30(k0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|MB|的最大值为_答案解析由题意可知，直线l1：kxy40经过定点A(0,4)，直线l2：xky30经过定点B(3,0)易知直线l1：kxy40和直线l2：xky30始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MAMB，所以|MA|2|MB|2|AB|225，故|MA|MB|.考点二圆的方程核心提炼1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径的圆例2(1)

5、(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案x2y22x0解析方法一设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，解得圆的方程为x2y22x0.方法二画出示意图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.(2)已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.则圆C的标准方程为_答案(x1)2(y)22解析设圆心C(a，b)，半径为r，圆C与x轴相切于点T(1,0)，a1，r|b|.又圆C

6、与y轴正半轴交于两点，b0，则br，|AB|2，22，r，故圆C的标准方程为(x1)2(y)22.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练2(1)(2020全国)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A. B. C. D.答案B解析由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)圆与两坐标轴都相切，ab，且半径ra，圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2.点(2,1)在圆上，(2a)2(1a)2a2，a26a50，解得

7、a1或a5.当a1时，圆心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2xy30的距离为d；当a5时，圆心坐标为(5,5)，此时圆心到直线2xy30的距离为d.综上，圆心到直线2xy30的距离为.(2)已知A，B分别是双曲线C：1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则PAB的外接圆的标准方程为_答案x2(y3)210解析P(3,4)为C上一点，1，解得m1，则B(1,0)，kPB2，PB的中点坐标为(2,2)，PB的中垂线方程为y(x2)2，令x0，则y3，设外接圆圆心为M(0，t)，则M(0,3)，r|MB|，PAB外接圆的标准方程为x2(y3)210.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1直线与圆的位置

8、关系：相交、相切和相离，判断的方法(1)点线距离法(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，方程组消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离例3(1)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A2 B4 C6 D2答案C解析由题意，得圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，知圆C的圆心为C(2,1)，半径为2.方法一因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2a10，解得a1，

9、所以|AB|2|AC|2|BC|2(42)2(11)2436，所以|AB|6.方法二由题意知，圆心在直线l上，即2a10，解得a1，再由图知，|AB|6.(2)(2020全国)已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为()A2xy10 B2xy10C2xy10 D2xy10答案D解析M：(x1)2(y1)24，则圆心M(1,1)，M的半径为2.如图，由题意可知PMAB，S四边形PAMB|PM|AB|PA|AM|2|PA|，|PM|AB|4|PA|4.当|PM|AB|最小时，|PM|最小，此

10、时PMl.故直线PM的方程为y1(x1)，即x2y10.由得P(1,0)又直线x1，即PA与M相切，PAx轴，PAMA，A(1,1)又直线AB与l平行，设直线AB的方程为2xym0(m2)，将A(1,1)的坐标代入2xym0，得m1.直线AB的方程为2xy10.规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算跟踪演练3(1)已知点M是抛物线y22x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8，则该圆被

11、x轴截得的弦长的最小值为()A10 B4 C8 D2答案D解析设圆心M，而r22216，圆M与x轴交于A，B两点，|AB|222.(2)若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为2，则a_.答案解析联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50的距离为(a0)故22，解得a2，因为a0，所以a.专题强化练一、单项选择题1过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()Ayx1 Byx3C2xy0或xy3 D2xy0或yx1答案D解析当直线过原点时，可得斜率为2，故直线方程为y2x，即2xy0，当直线不过原点时

12、，设方程为1，代入点(1,2)可得1，解得a1，方程为xy10，故所求直线方程为2xy0或yx1.2若直线x(1m)y20与直线mx2y40平行，则m的值是()A1 B2 C1或2 D答案A解析由两直线平行的条件可得2mm20，m2(舍)或m1.3已知圆x2y22k2x2y4k0关于yx对称，则k的值为()A1 B1 C1 D0答案A解析化圆x2y22k2x2y4k0为(xk2)2(y1)2k44k1.则圆心坐标为(k2，1)，圆x2y22k2x2y4k0关于yx对称，直线yx经过圆心，k21，得k1.当k1时，k44k10，1)的点M的轨迹是圆，若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|2

13、|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为()A B2 C3 D4答案D解析以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3,0)设M(x，y)，依题意有，2，化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，则M点的轨迹围成区域的面积为4.8(2020辽宁省大连一中模拟)已知圆C：x2y24，直线l：xy60，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点()A. B(1,2)C(2,3) D.答案A解析设点P(x0，y0)，则x0y060.过点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，以CP为直径的圆的方程为x(xx0)y(yy0)0，又圆C：x2

14、y24，作差可得直线AB的方程为xx0yy04，将y0x06，代入可得(xy)x06y40，满足故直线AB过定点.二、多项选择题9集合A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是()A3 B5 C7 D9答案AC解析圆x2y24的圆心是O(0,0)，半径为R2，圆(x3)2(y4)2r2的圆心是C(3,4)，半径为r，|OC|5，当2r5，r3时，两圆外切，当|r2|5，r7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合AB中只有一个元素10下列说法正确的是()A直线xy20与两坐标轴围成的三角形的面积是2B点P(0,2)关于直线

15、yx1的对称点为P(1,1)C过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线方程为D经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy20答案AB解析选项A中直线xy20在两坐标轴上的截距分别为2，2，所以围成的三角形的面积是2，所以A正确；选项B中PP的中点在直线yx1上，且P(0,2)，P(1,1)两点连线的斜率为1，所以B正确；选项C中需要条件y2y1，x2x1，所以C错误；选项D中还有一条截距都为0的直线yx，所以D错误11已知圆C1：(x6)2(y5)24，圆C2：(x2)2(y1)21，M，N分别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的值可以是()A

16、6 B7 C10 D15答案BCD解析圆C2关于x轴的对称圆C3为(x2)2(y1)21，圆心C3(2，1)，r31，点N关于x轴的对称点N在圆C3上，又圆C1的圆心C1(6,5)，r12，|PM|PN|PM|PN|PC1|r1|PC3|r3|PC1|PC3|3|C1C3|337，|PM|PN|的取值范围是7，)12已知点A是直线l：xy0上一定点，点P，Q是圆x2y21上的动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是()A(0，) B(1，1)C(，0) D(1,1)答案AC解析如图所示，坐标原点O到直线l：xy0的距离d1，则直线l与圆x2y21相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2y

17、21的切线时，PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于PAQ的最大值为90，且APOAQO90，|OP|OQ|1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|OP|.设A(t，t)，由两点间的距离公式得|OA|，整理得t2t0，解得t0或t，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)三、填空题13若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴、y轴上的截距之和的最小值是_答案32解析因为直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，所以1，所以ab(ab)332，当且仅当a1，b2时等号成立所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值是32.14已知O：x2y21.若直线ykx2上总存在点P，使得过点P

18、的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_答案(，11，)解析O的圆心为(0,0)，半径r1，设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有|PO|r，圆心O到直线ykx2的距离d，即，即1k22，解得k1或k1.15(2020石家庄长安区期末)直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，当AOB的面积达到最大时，k_.答案1解析由圆O：x2y21，得到圆心坐标为O(0,0)，半径r1，把直线l的方程ykx1(k0)，整理为一般式方程得l：kxy10，圆心O(0,0)到直线AB的距离d，弦AB的长度|AB|22，SAOB2，又因为|k|22，SAOB，当且仅当|k|，即k1时取等号，SAOB取得最大值，最大值为，此时k1.16已知圆C1：x2y2r2，圆C2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，给出下列结论：a(x1x2)b(y1y2)0；2ax12by1a2b2；x1x2a，y1y2b.其中正确的结论是_(填序号)答案解析公共弦所在直线的方程为2ax2bya2b20，所以有2ax12by1a2b20，正确；又2ax22by2a2b20，所以a(x1x2)b(y1y2)0，正确；AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点，又AB：2ax2bya2b20，C1C2：bxay0.由得