2023年新高考数学大一轮复习专题49讲 专题六 解析几何 第7讲 圆锥曲线的定值问题.docx

1、第7讲定值问题母题(2018北京)已知抛物线C：y22px(p0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值思路分析联立l，C的方程，由判别式及PA，PB与y轴有交点求斜率的取值范围用A，B坐标表示M，N坐标用M，N坐标表示，利用根与系数的关系计算求出为定值(1)解将点P代入C的方程得42p，即p2，所以抛物线C的方程为y24x，显然l斜率存在且不为0，设为k，则l：ykx1，由消去y得k2x2(2k4)x10，(*)由已知，方程(*)有两个不同的根，且1

2、不是方程的根(因为PA，PB都与y轴有交点)，所以16k160且k2(2k4)10，即k0或0k1，且k3，且k1，所以k0或0k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2t，因为四边形OAPB为平行四边形，所以(x1x2，y1y2)，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以1，即t2.因为|AB|x1x2|，又点O到直线l的距离d，所以平行四边形OAPB的面积SOAPB2SOAB|AB|d，即平行四边形OAPB的面积为定值子题2(2020福州质检)直线l与椭圆C：1有且只有一个公共点P，l与圆x2y26交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别

3、记为k1，k2，求证：k1k2为定值证明当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x2；当x2时，A(2，)，B(2，)，则k1k2，当x2时，A(2，)，B(2，)，则k1k2.当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m240，由题意(4km)24(12k2)(2m24)0，得m24k22，联立得(1k2)x22kmxm260，依题意，0，则x1x2，x1x2，所以k1k2，所以k1k2为定值规律方法求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式

4、子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值跟踪演练1在平面直角坐标系xOy中，过点M(4,0)且斜率为k的直线交椭圆y21于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)当k0时，若点A关于x轴为对称点为P，直线BP交x轴于点N，求证：|ON|为定值(1)解过点M(4,0)且斜率为k的直线的方程为yk(x4)，由得x28k2x16k210，因为直线与椭圆有两个交点，所以(8k2)24(16k21)0，解得kb0)的离心率为，且过点A(2,1)(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为

5、定值(1)解由题设得1，解得a26，b23.所以C的方程为1.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm，代入1，得(12k2)x24kmx2m260.于是x1x2，x1x2.由AMAN，得0，故(x12)(x22)(y11)(y21)0，整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240.将代入上式，可得(k21)(kmk2)(m1)240，整理得(2k3m1)(2km1)0.因为A(2,1)不在直线MN上，所以2km10，所以2k3m10，k1.所以直线MN的方程为yk(k1)所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直，可得N

6、(x1，y1)由0，得(x12)(x12)(y11)(y11)0.又1，所以3x8x140.解得x12(舍去)，x1.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点，即Q.若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|AP|.若D与P重合，则|DQ|AP|.综上，存在点Q，使得|DQ|为定值专题强化练1过点P的直线交椭圆C：y21于E，F两点，求证：为定值证明当直线EF的斜率为零时，则点E，F为椭圆长轴的端点，则3，当直线EF与x轴不重合时，设直线EF的方程为xty，设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立消去x得(t22)y2y0，t2(t22)8t20恒成立，由根与系数的关系得y1

7、y2，y1y2.因此，3，综上所述，3(定值)2(2020泰安模拟)已知椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为，OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值(1)解直线AB的方程为1，即bxayab0，则，因为OAB的面积为1，所以ab1，即ab2.解得a2，b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明直线AB的斜率为，设直线l的方程为yxt，C(x1，y1)，D(x2，y2)，代入y21，得2y22tyt210，依题意得，0，则y1y2t，y1y2，所以k1k2，因为x1x22x24(ty1)(ty2)4(ty2)4t2t(y1y2)y1y2ty24(y1y2)2(y1y2)(y1y2)y1y2(y1y2)y24(y1y2y1)，