2022版新教材数学必修第二册人教A版学案：6-4-1 平面几何中的向量方法 6-4-2向量在物理中的应用举例 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。64平面向量的应用64.1平面几何中的向量方法64.2向量在物理中的应用举例如图所示，在细绳l上作用着一个大小为200 N，与水平方向的夹角为45的力，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一段与水平面平行【问题1】水平方向OA上的拉力多大？【问题2】物重G是多少？1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用_向量_表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_向量_问题(2)通过_向量_运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把_运

2、算结果_“翻译”成几何关系向量在几何中的应用(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；另外一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标这两种思路都是通过向量的计算解决几何问题(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何元素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量向量的运算向量和数到形”2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有

3、_力、速度、位移_等(2)向量的加减法运算体在一些物理量的_合成_和_分解_中(3)动量mv是向量的_数乘_运算(4)功是_力F_与位移_s_的数量积在教材第40页例3中，想一想：当和时，|与|G|分别有什么关系？提示：当时，|F1|G|，当时，|F1|G|.1若平面四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形【解析】选C.由0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由()0，得0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形2已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_J.【

4、解析】WFs6100cos 60300(J).答案：300基础类型一向量在平面几何证明问题中的应用(逻辑推理)1已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形ABCD为()A梯形 B菱形 C矩形 D正方形【解析】选A.由题意得(3，3)，(2，2)，所以，|.2四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量方法证明：PAEF.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP(0)，则A(0，1)，P，E，F，所以，所以|，|，所以|，所以PAEF.利用向量证明

5、问题(1)常见的利用向量证明的问题利用共线向量定理证明线线平行或点共线；利用向量的模证明线段相等；利用向量的数量积为0证明线段垂直(2)常用的两个方法基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明；坐标法：先建立平面直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AEFCAC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形【证明】设a，b，则a(ab)aba，bba，所以，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形基础类型二向量在平面几何计算问题中的应用(逻辑

6、推理)【典例】已知矩形ABCD，AB，AD1，E为DC上靠近D的三等分点，求EAC的大小【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(，1)，E，(，1)，2.cos EAC.因为0EAC，所以EAC.本例中，条件不变，试问：在BC上是否存在点M，使得EAM45？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由【解析】假设在BC上存在点M，使得EAM45，不妨设M(，y0)(0y01)，则(，y0).因为，而EAM45，所以cos EAM，整理得y6y030，解得y032或y032，由于320，1，320，1，因此在BC上存在点M，使得EAM45.1用向量方法求长度的策略(1)利用图形特点选

7、择基底，通过向量的数量积转化，用公式|a|2a2求解(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a(x，y)，则|a|.2向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算.如图所示，在矩形ABCD中，AB，BC3，BEAC，垂足为E，求ED的长【解析】以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，(3，)，设，则E的坐标为，故.因为BEAC，所以0，即9330，解得，所以E，故，|，即ED.【加固训练】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值【解析】如图，分别以等腰直角三

8、角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设A(2a，0)，B(0，2a)，则D(a，0)，C(0，a)，所以(2a，a)，(a，2a)，不妨设，的夹角为，则cos .故所求钝角的余弦值为.综合类型向量在物理中的应用(数学建模)矢量分解合成问题【典例】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2，1.732)A63 B69 C75 D81【解析】选B.由题意知，F1F2400，夹角60，所以

9、GF1F20，即G(F1F2)；所以G2(F1F2)240022400400cos 60400234002；|G|400(N)，则该学生的体重(单位：kg)约为40401.73269(kg).用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；(3)结果还原为物理问题【加固训练】 一条河的宽度为d，一只船从A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行驶速度的大小为()Avv B|v1|2|v2|2C D【解析】选D.如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得|v|2|v1|2|v2|2.做功问题【典例】如图所示，

10、一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30；|F2|4 N，方向为北偏东60；|F3|6 N，方向为北偏西30，求合力F所做的功【解析】以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1(1，)，F2(2，2)，F3(3，3)，所以FF1F2F3(22，24).又(4，4)，故F(22)4(24)44624.合力F所做的功为24 J解答做功问题的策略求力F所做功W问题常运用向量的数量积解决解题应重点关注力与位移的夹角的确定【加固训练】 若物体在共点力F1(lg 2，lg 2)，F2(lg 5，lg

11、 2)的作用下产生位移s(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W为()Alg 2 Blg 5 C1 D2【解析】选D.W(F1F2)s(lg 2lg 5，2lg 2)(2lg 5，1)(1, 2lg 2)(2lg 5，1)2lg 52lg 22.创新思维探索性问题(逻辑推理)【典例】在ABC中，已知ABAC5，BC6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PCBM?【解析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系由于ABAC5，BC6，所以B(0，0)，A(3，4)，C(6，0).则(3，4)，由于M点是AC边上靠近A点的一个

12、三等分点所以，于是M，所以，假设在BM上存在点P使得PCBM，则设，且01，即，所以(6，0)，由于PCBM，所以0，得4(46)0，解得.由于(0，1)，所以线段BM上不存在点P使得PCBM.【思维难点】引入参数描述点P的位置，即.进而用参数表示向量和的坐标，利用数量积为0证明向量垂直，说明对应直线互相垂直【加固训练】 一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB km，船在水中最大航速为4 km/h；问怎样安排航行速度可使该船从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED，当AE与AB重合时能

13、最快到达彼岸根据题意知ACAE，在RtADE和ACED中，|2，|4，AED90，所以|2，20.5(h)，sin EAD，所以EAD30.所以船实际航行速度大小为4 km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时0.5小时1如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60角，当小车向前运动10米，则力F做的功为()A100焦耳 B50焦耳C50焦耳 D200焦耳【解析】选B.设小车位移为s，则|s|10米，WFFs|F|s|cos 60101050(焦耳).2在四边形ABCD中，若(1，2)，(4，2)，则该四边形的面积为()A B2 C5 D10【解析】选C.因为0，所以ACBD.所以四边形ABCD的面积S|25.3在ABC中，已知顶点A(4，1)，B(7，5)，C(4，7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B C3 D【解析】选B.BC的中点为D，所以|.4一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5 N，则两个力的合力的大小为_N.【解析】根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为55(N).答案：55如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：ACBD.【证明】因为，所以()()|2|20.所以，所以ACBD.关闭Word文档返回原板块