2022版新教材高考数学一轮复习 18 利用导数证明不等式—构造法证明不等式训练（含解析）新人教B版.doc

1、十八利用导数证明不等式构造法证明不等式(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1对x0，)，ex与1x的大小关系为()Aex1x Bex1xCex1x D不确定A解析：令f(x)ex(1x)因为f(x)ex1，所以对x0，)，f(x)0，故f(x)在0，)上单调递增，故f(x)f(0)0，即ex1x.故选A.2若0x1x2ln x2ln x1 Bex2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2C解析：令f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减因为0x1x21，所以f(x2)f(x1)，即x1ex2.故选C.3. 若e是自然对数的底数，则()A. B.C. D.

2、A解析：令f(x)，则f(x).当0x0，f(x)单调递增；当xe时，f(x)f(4)得.故选A.4已知x1是函数f(x)ax3bxln x(a0，bR)的一个极值点，则ln a与b1的大小关系是()Aln ab1 Bln a0)，则g(a)3.令g(a)0，解得0a；令g(a).故g(a)在上单调递增，在上单调递减故g(a)maxg1ln 30，故ln a2.证明：设f(x)exln x(x0)，则f(x)ex.令h(x)f(x)，则h(x)ex0，所以f(x)在(0，)上单调递增又f20，所以在上存在x0使f(x0)0，即x0ln x0.所以在(0，x0)上，f(x)单调递减，在(x0，)

3、上单调递增，所以f(x)在xx0处有极小值，也是最小值所以f(x0)ex0ln x0x02，故f(x)2，即exln x2.6证明：当x0,1时，xsin xx.证明：令f(x)sin xx，则f(x)cos x.当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增；当x时，f(x)0，所以当x0,1时，f(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10时，f (x)0时，f(x)0，即2a恒成立令g(x)(x0)，则g(x)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，所以2a1，即a.故实数a的取值范围是.(2)证明

4、：若ae，要证f(x)xex，只需证exln xex，即证exex0)，则h(x).易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exexln x，故原不等式成立8设函数f(x)ax2(x1)ln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0x2时，f(x)x.(1)解：f(x)2axln x1.由题意，可得f(1)2a20，所以a1.(2)证明：由(1)得

5、f(x)x2(x1)ln x，要证当0x2时，f(x)x，只需证当0x2时，xln x.令g(x)xln x，h(x)，由g(x)10，得x1，易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，故当0x2时，g(x)ming(1)1.h(x)，当0x2时，h(x)0，所以h(x)在(0,2上单调递增，故当0x2时，h(x)maxh(2)1，即h(x)maxg(x)min，故当0x2时，f(x)x.9若函数f(x)exax1(a0)在x0处取极值(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；(2)证明：1ln (n1)(nN*)(1)解：因为x0是函数极值点，所以f(0)0，所以

6、a1.f(x)exx1，易知f(x)ex1.当x(0，)时，f(x)0，当x(，0)时，f(x)0，故极值f(0)是函数的最小值(2)证明：由(1)知exx1.即ln (x1)x，当且仅当x0时，等号成立，令x(kN*)，则ln ，即ln ，所以ln (1k)ln k(k1,2，n)，累加得1ln (n1)(nN*)10已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)当a0时，求函数f(x)的图像在(1，f(1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1x2.(1)解：当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1,1)又因为f(x)1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln (x1x2)令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1.因为x10，x20，所以x1x2成立