2022版新教材高考数学一轮复习 课时质量评价18 利用导数证明不等式—构造法证明不等式（含解析）新人教A版.doc

1、课时质量评价(十八)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1对x0，)，ex与1x的大小关系为()Aex1x Bex1xCex1x D不确定A解析：令f (x)ex(1x)因为f (x)ex1，所以对x0，)，f (x)0，故f (x)在0，)上单调递增，故f (x)f (0)0，即ex1x.故选A2若0x1x2ln x2ln x1 Beex1e Dx2ex1eC解析：令f (x)，则f (x).当0x1时，f (x)0，即f (x)在(0,1)上单调递减因为0x1x21，所以f (x2)f (x1)，即x1e.故选C3. 若e是自然对数的底数，则()ABCDA解析：令f (x)，则f (x)

2、.当0x0，f (x)单调递增；当xe时，f (x)f (4)得.故选A4已知x1是函数f (x)ax3bxln x(a0，bR)的一个极值点，则ln a与b1的大小关系是()Aln ab1Bln a0)，则g(a)3.令g(a)0，解得0a；令g(a).故g(a)在上单调递增，在上单调递减故g(a)maxg1ln 30，故ln a2.证明：设f (x)exln x(x0)，则f (x)ex.令h(x)f (x)，则h(x)ex0，所以f (x)在(0，)上单调递增又f 20，所以在上存在x0使f (x0)0，即x0ln x0.所以在(0，x0)上，f (x)单调递减，在(x0，)上单调递增，

3、所以f (x)在xx0处有极小值，也是最小值所以f (x0)eln x0x02，故f (x)2，即exln x2.6证明：当x0,1时，xsin xx.证明：令F(x)sin xx，则F(x)cos x.当x时，F(x)0，F(x)在上单调递增；当x时，F(x)0，所以当x0,1时，F(x)0，即sin xx.记H(x)sin xx，则当x(0,1)时，H(x)cos x10时，f (x)0时，f (x)0，即2a恒成立令g(x)(x0)，则g(x)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，所以2a1，即a.故实数a的取值范围是.(2)证明：若ae

4、，要证f (x)xex，只需证exln xex，即证exex0)，则h(x).易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exex1时f (x)0，b0，则g(x)在(0，)上单调递增当a0，b0时，令g(x)0，得x.令g(x)0，得0x.所以g(x)在上单调递减，在上单调递增当a0时，g(x)0，则g(x)在(0，)上单调递减当a0，b0，得0x.令g(x).所以g(x)在上单调递增，在上单调

5、递减(2)证明：设函数h(x)f (x)(3x1)，则h(x)cos x3.因为x0，所以(0,2，cos x1,1，则h(x)0在0，)上恒成立，且h(x)在0，)的任意子区间内都不恒等于0，所以h(x)在0，)上单调递减所以h(x)f (x)(3x1)h(0)0，即f (x)3x1.(3)证明：当ab1时，g(x)x1ln x(x0)由(1)知，g(x)ming(1)0，所以g(x)x1ln x0，即x1ln x在(0，)上恒成立当x1时，(x1)20，(x1)2esin x0，则(x1)2esin x1ln(x1)2esin x，即(x1)2esin x2ln(x1)sin x1f (x

6、)又(x22x2)esin x(x1)2esin x，所以(x22x2)esin xf (x)，即f (x)0，所以ae.两边取自然对数，所以ln ax01ln x0.因此f (x)minf (x0)aeln x0ln aln ax01ln a2ln a122ln a11，所以f (x)1，所以f (x)1恒成立当0a1时， f (1)aln aa1，所以f (1)1，所以f (x)1不恒成立综上所述，实数a的取值范围是1，)11(2020青岛一模)已知函数f (x)axln xx22的图象在点(1,1)处的切线方程为y1.(1)当x(0,2)时，证明：0f (x)2；(2)设函数g(x)xf

7、 (x)，当x(0,1)时，证明：0g(x)1；(3)若数列an满足an1f (an)，0a11，nN*.证明ln ai0，h(x)在区间(0,1)上单调递增；当x(1,2)时，h(x)f (2)4ln 22ln 16ln e20.又因为h(x)ln x1x0，所以ln xx1，所以f (x)2xln xx222x(x1)x22x22x2(x1)212.综上，当x(0,2)时，0f (x)f (1)1.因为当x(0,1)时，x22x2(2，1)，所以g(x)0，g(x)在区间(0,1)上单调递增，所以g(x)1，所以g(x)xf (x)0.综上，0g(x)1.(3)由(1)(2)知，当x(0,1)时，1f (1)f (x)2；当x(1,2)时，0f (2)f (x)f (1)1.因为a1(0,1)，所以a2f (a1)(1,2)，a3f (a2)(0,1)，a4f (a3)(1,2)，所以a2k1(0,1)，a2k(1,2)，kN*.当n2k时，a1a2a3an(a1a2)(a3a4)(a2k1a2k)g(a1)g(a3)g(a2k1)1；当n2k1时，a1a2a3an(a1a2)(a3a4)(a2k3a2k2)a2k1g(a1)g(a3)g(a2k3)a2k11所以a1a2a3an1，从而ln ailn (a1a2an)0.