2023年高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 6 空间向量的概念与运算练习（含解析）.docx

1、空间向量的概念与运算 考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 知识梳理 1空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2

2、.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使 ab.(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb.(3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底 3空间向量的数量积及运算律(1)数量积 非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b(2)空间向量的坐标表示及其应用 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b

3、2，b3)向量表示 坐标表示 数量积 ab a1b1a2b2a3b3 共线 ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3 垂直 ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30 模|a|a21a22a23 夹角余弦值 cosa，b ab|a|b|(a0，b0)cosa，b a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23 4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量(2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 为平面 的法向量(3)空间位置关系的向量表示

4、 位置关系 向量表示 直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2 l1l2 n1n2n1n2(R)l1l2 n1n2n1n20 直线 l 的方向向量为 n，平面 的法向量为 m，l l nmnm0 l nmnm(R)平面，的法向量分别为 n，m nmnm(R)nmnm0 常用结论 1在平面中，A，B，C 三点共线的充要条件是：OAxOByOC(其中 xy1)，O 为平面内任意一点 2在空间中，P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OPxOAyOBzOC(其中 xyz1)，O 为空间中任意一点 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)若

5、直线 a 的方向向量和平面 的法向量平行，则 a.()(3)在空间直角坐标系中，在 Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c)()(4)若 ab0，则a，b是钝角()教材改编题 1若a，b，c为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是()Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，a2b 答案 C 解析 ab(，R)与 a，b 共面 A，B，D 不正确 2.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点若ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是()A12a12bc B.12a12bc C12a1

6、2bc D.12a12bc 答案 A 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB1 B1M AA112(ADAB)c12(ba)12a12bc.3设直线 l1，l2的方向向量分别为 a(2,2,1)，b(3，2，m)，若 l1l2，则 m_.答案 10 解析 l1l2，ab，ab64m0，m10.题型一 空间向量的线性运算 例 1 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设 AA1a，ABb，ADc，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP NC1.解(1)P 是 C1D1的中点，AP AA1

7、 A1P AA1A1D1 D1P AA1AD12DC ac12AB ac12b.(2)N 是 BC 的中点，A1N A1AABBN ab12BC ab12AD ab12c.(3)M 是 AA1的中点，MPMAAP12 A1AAP 12a(ac12b)12a12bc.又 NC1NC CC112BC AA1 12AD AA112ca.MP NC112a12bc 12ca 32a12b32c.教师备选 如图，在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC表示OG，则下列表示正确的是()A.14OA12OB13OC B.12OA12OB12O

8、C C16OA13OB13OC D.13OA13OB13OC 答案 D 解析 MGMAAG12OA23AN12OA23(ONOA)12OA2312OBOCOA 16OA13OB13OC.OGOMMG12OA16OA13OB13OC13OA13OB13OC.思维升华 用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来 跟踪训练 1(1)(2022宁波模拟)如图，在三棱锥 OABC 中，点 P，Q 分别是 OA，BC 的中点，点 D 为线段 PQ 上一点，且PD2DQ，

9、若记OAa，OBb，OCc，则OD等于()A.16a13b13c B.13a13b13c C.13a16b13c D.13a13b16c 答案 A 解析 ODOPPD12OA23PQ 12OA23(OQOP)12OA23OQ23OP 12OA2312(OBOC)2312OA 16OA13OB13OC 16a13b13c.(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 F 是侧面 CDD1C1的中心，若AFxADyABz AA1，则 xyz 等于()A.12B1C.32D2 答案 B 解析 AFADDFAD12(DD1D1C1)AD12(AA1A1B1)AD12(AA1AB)AD12AB12 A

10、A1，则 x1，y12，z12，则 xyz1.题型二 空间向量基本定理及其应用 例 2 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM13(OAOBOC)(1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)由题知OAOBOC3OM，所以OAOM(OMOB)(OMOC)，即MABMCMMBMC，所以MA，MB，MC共面(2)方法一 由(1)知，MA，MB，MC共面且基线过同一点 M，所以 M，A，B，C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内 方法二 因为OM13(OAOBOC)13OA13OB13OC，又因为1313

11、131，所以 M，A，B，C 四点共面，从而 M 在平面 ABC 内 教师备选 如图所示，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，点 M，N 分别在 AC1和 BC 上，且满足AMk AC1，BNkBC(0k1)判断向量MN是否与向量AB，AA1共面 解 因为AMk AC1，BNkBC，所以MNMAABBN k C1AABkBC k(C1ABC)ABk(C1AB1C1)AB k B1AAB ABk AB1ABk(AA1AB)(1k)ABk AA1，所以由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面 思维升华 证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法(1)MPxMAyMB；(2)对空间任一点 O，OP

12、OMxMAyMB；(3)对空间任一点 O，OPxOMyOAzOB(xyz1)；(4)PMAB(或PAMB或PBAM)跟踪训练 2(1)(多选)(2022武汉质检)下列说法中正确的是()A|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 B若AB，CD共线，则 ABCD CA，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若OP34OA18OB18OC，则 P，A，B，C 四点共面 D若 P，A，B，C 为空间四点，且有PAPBPC(PB，PC不共线)，则 1 是 A，B，C 三点共线的充要条件 答案 CD 解析 由|a|b|ab|，可得向量 a，b 的方向相反，此时向量 a，b 共线，反之，当向量 a，b

13、 同向时，不能得到|a|b|ab|，所以 A 不正确；若AB，CD共线，则 ABCD 或 A，B，C，D 四点共线，所以 B 不正确；由 A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若OP34OA18OB18OC，因为3418181，可得 P，A，B，C 四点共面，故 C 正确；若 P，A，B，C 为空间四点，且有PAPBPC(PB，PC不共线)，当 1 时，即 1，可得PAPC(PBCP)，即CACB，所以 A，B，C 三点共线，反之也成立，即 1 是 A，B，C 三点共线的充要条件，所以D 正确(2)已知 A，B，C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点 M 满足OM15O

14、A45OB25BC，则点 M_(填“属于”或“不属于”)平面 ABC.答案 属于 解析 OM15OA45OB25BC15OA45OB25(OCOB)15OA25OB25OC，1525251，M，A，B，C 四点共面 即点 M平面 ABC.题型三 空间向量数量积及其应用 例 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算：(1)EFBA.(2)求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值 解 设ABa，ACb，ADc.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)EF12BD12c12a，BAa，EFBA12c12a

15、(a)12a212ac14.(2)AG12(ACAD)12b12c，CECAAEb12a，cosAG，CE AGCE|AG|CE|12b12c b12a12b12c212ab2 1232 3223，由于异面直线所成角的范围是0，2，所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为23.教师备选 已知 MN 是正方体内切球的一条直径，点 P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是 2，则PMPN的取值范围为()A.0，4 B.0，2 C.1，4 D.1，2 答案 B 解析 设正方体内切球的球心为 O，则 OMON1，PMPN()POOM()POONPO2PO()OMONOMON，MN 为球 O 的直径

16、，OMON0，OMON1，PMPNPO21，又 P 在正方体表面上移动，当 P 为正方体顶点时，|PO最大，最大值为 3；当 P 为内切球与正方体的切点时，|PO最小，最小值为 1，PO210，2，即PMPN的取值范围为0，2.思维升华 由向量数量积的定义知，要求 a 与 b 的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 ab 计算准确 跟踪训练 3 如图所示，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求 B

17、D1与 AC 夹角的余弦值(1)解 记ABa，ADb，AA1c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.|AC1|2(abc)2 a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|AC1|6，即 AC1的长为 6.(2)证明 AC1abc，BDba，AC1BD(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abac0.AC1BD，AC1BD.(3)解 BD1bca，ACab，|BD1|2，|AC|3，BD1AC(bca)(ab)b2a2acbc1.cos BD1，AC BD1AC|BD1|AC|66.AC 与 BD1夹角的余弦值为 66.题型四 向量法证明平行、垂直 例

18、 4 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中点证明：(1)BEDC；(2)BE平面 PAD；(3)平面 PCD平面 PAD.证明 依题意，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得 B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1)(1)BE(0,1,1)，DC(2,0,0)，故BEDC0，所以 BEDC.(2)因为 ABAD，又 PA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 ABPA，PAADA，PA，AD平面 PAD，所以 AB平面

19、 PAD，所以AB(1,0,0)为平面 PAD 的一个法向量，而BEAB(0,1,1)(1,0,0)0，所以 BEAB，又 BE平面 PAD，所以 BE平面 PAD.(3)由(2)知平面 PAD 的法向量AB(1,0,0)，PD(0,2，2)，DC(2,0,0)，设平面 PCD 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nPD0，nDC0，即 2y2z0，2x0，令 y1，可得 n(0,1,1)为平面 PCD 的一个法向量 且 nAB(0,1,1)(1,0,0)0，所以 nAB.所以平面 PAD平面 PCD.教师备选 如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5，AA1 7

20、，BB12 7，点 E 和 F分别为 BC 和 A1C 的中点 (1)求证：EF平面 A1B1BA；(2)求证：平面 AEA1平面 BCB1.证明 因为 ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC.因为 AA1平面 ABC，AA1BB1，所以以过 E 作平行于 BB1的垂线为 z 轴，EC，EA 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 因为 AB3，BE 5，所以 AE2，所以 E(0,0,0)，C(5，0,0)，A(0，2,0)，B(5，0,0)，B1(5，0,2 7)A1(0,2，7)，则 F52，1，72.(1)EF52，1，72，AB(5，2,0)，AA1(0

21、，0，7)设平面 AA1B1B 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nAB0，n AA10，所以 5x2y0，7z0，取 x2，y 5，z0，所以 n(2，5，0)因为EFn 52(2)1 5 72 00，所以EFn.又 EF平面 A1B1BA，所以 EF平面 A1B1BA.(2)因为 EC平面 AEA1，所以EC(5，0,0)为平面 AEA1的一个法向量 又 EA平面 BCB1，所以EA(0,2,0)为平面 BCB1的一个法向量 因为ECEA0，所以ECEA，故平面 AEA1平面 BCB1.思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关

22、点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理 跟踪训练 4 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD底面ABCD，且 PAPD 22 AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点 求证：(1)EF平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PDC.证明(1)如图，取 AD 的中点 O，连接 OP，OF.因为 PAPD，所以 POAD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.又 O，F 分别为 AD，B

23、D 的中点，所以 OFAB.又四边形 ABCD 是正方形，所以 OFAD.因为 PAPD 22 AD，所以 PAPD，OPOAa2.如图，以 O 为坐标原点，OA，OF，OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 Aa2，0，0，F0，a2，0，Da2，0，0，P0，0，a2，Ba2，a，0，Ca2，a，0.因为 E 为 PC 的中点，所以 Ea4，a2，a4.易知平面 PAD 的一个法向量为 OF0，a2，0，因为EFa4，0，a4，OFEF0，a2，0 a4，0，a4 0.且 EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(2)因为PAa2，0，a2，CD(0，a，0)

24、，所以PACDa2，0，a2(0，a，0)0，所以PACD，所以 PACD.又 PAPD，PDCDD，PD，CD平面 PDC，所以 PA平面 PDC.又 PA平面 PAB，所以平面 PAB平面 PDC.课时精练 1已知 a(2,1，3)，b(0，3,2)，c(2,1,2)，则 a(bc)等于()A18B18C3 2D3 2 答案 B 解析 因为 bc(2，2,4)，所以 a(bc)421218.2已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OPxOAyOBzOC(x，y，zR)，则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D

25、既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 xyz1，得 P，A，B，C 四点共面，当 P，A，B，C 四点共面时，xyz1，显然不止 2，3,2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件 3已知空间向量 a(1,0,1)，b(1,1，n)，且 ab3，则向量 a 与 b 的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 答案 A 解析 由题意，ab10n3，解得 n2，又|a|101 2，|b|114 6，所以 cosa，b ab|a|b|32 6 32，又a，b0，所以 a 与 b 的夹角为6.4直线 l 的一个方向向量为(2,1,1)，平面 的一个法向量为(4,2

26、,2)，则()Al Bl Cl 或 l Dl 与 的位置关系不能判断 答案 B 解析 直线 l 的一个方向向量为(2,1,1)，平面 的一个法向量为(4,2,2)，显然它们共线，所以 l.5(多选)已知空间三点 A(1,0,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)，若APBC，且|AP|14，则点 P 的坐标为()A(4，2,2)B(2,2,4)C(4,2，2)D(2，2,4)答案 AB 解析 因为 B(1,1,4)，C(2，1,3)，所以BC(3，2，1)，因为APBC，所以可设APBC(3，2，)，因为|AP|2222 14，解得 1，所以AP(3，2，1)或AP(3,2,1)，设点 P(

27、x，y，z)，则AP(x1，y，z3)，所以 x13，y2，z31或 x13，y2，z31，解得 x4，y2，z2或 x2，y2，z4.所以点 P 的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)6(多选)已知空间中三点 A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(1,3,1)，则下列结论正确的有()A.AB与AC是共线向量 B与AB共线的单位向量是(1,1,0)C.AB与BC夹角的余弦值是 5511 D平面 ABC 的一个法向量是(1，2,5)答案 CD 解析 对于 A，AB(2,1,0)，AC(1,2,1)，不存在实数，使得ABAC，所以AB与AC不是共线向量，所以 A 错误；对于 B，因为AB(2,1

28、,0)，所以与AB共线的单位向量为2 55，55，0 或255，55，0，所以 B 错误；对于 C，向量AB(2,1,0)，BC(3,1,1)，所以 cosAB，BC ABBC|AB|BC|5511，所以 C 正确；对于 D，设平面 ABC 的法向量是 n(x，y，z)，因为AB(2,1,0)，AC(1,2,1)，所以 nAB0，nAC0，即 2xy0，x2yz0.令 x1，则 n(1，2,5)，所以 D 正确 7已知 a(x，1,1)，b(2,2，y)，ab0，则 2xy_.答案 2 解析 因为 a(x，1,1)，b(2,2，y)，ab0，所以2x2y0,2xy2.8已知点 A(1,1,0)

29、，B(1,2,0)，C(2，1,0)，D(3,4,0)，则AB在CD上的投影向量为_ 答案 32，32，0 解析 由已知得AB(2,1,0)，CD(5,5,0)，ABCD2515015，又|CD|5 2，AB在CD上的投影向量为 ABCD|CD|CD|CD|155 2 CD5 2 310CD32，32，0.9如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点 (1)求BN的长；(2)求 cos BA1，CB1的值；(3)求证：A1BC1M.(1)解 以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z

30、轴建立空间直角坐标系，如图 B(0,1,0)，N(1,0,1)，BN(1，1,1)，|BN|12212 3.(2)解 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，BA1(1，1,2)，CB1(0,1,2)，BA1 CB13，|BA1|6，|CB1|5.cos BA1，CB1 BA1 CB1|BA1|CB1|3010.(3)证明 C1(0,0,2)，M12，12，2，A1B(1,1，2)，C1M12，12，0，A1B C1M121200.A1B C1M，A1BC1M.10.如图，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PDDC，E，

31、F 分别是AB，PB 的中点 (1)求证：EFCD；(2)在平面 PAD 内求一点 G，使 GF平面 PCB.(1)证明 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设 ADa，则 D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)，Fa2，a2，a2.EFa2，0，a2，DC(0，a，0)因为EFDC0，所以EFDC，即 EFCD.(2)解 设 G(x，0，z)，则FGxa2，a2，za2，CB(a，0,0)，CP(0，a，a)，若使 GF平面 PCB，则需FGCB0，且FGC

32、P0，由FGCBxa2，a2，za2(a，0,0)axa2 0，得 xa2，由FGCPxa2，a2，za2(0，a，a)a22aza2 0，得 z0.所以 G 点坐标为a2，0，0，即 G 为 AD 的中点时，GF平面 PCB.11(多选)(2022山东百师联盟大联考)下面四个结论正确的是()A向量 a，b(a0，b0)，若 ab，则 ab0 B若空间四个点 P，A，B，C，PC14PA34PB，则 A，B，C 三点共线 C已知向量 a(1,1，x)，b(3，x，9)，若 x 310，则a，b为钝角 D任意向量 a，b，c 满足(ab)ca(bc)答案 AB 解析 由向量垂直的充要条件可得 A

33、 正确；PC14PA34PB，14PC14PA34PB34PC，即AC3CB，A，B，C 三点共线，故 B 正确；当 x3 时，两个向量共线，夹角为，故 C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故 D 错误 12(多选)(2022重庆市第七中学月考)给出下列命题，其中为假命题的是()A已知 n 为平面 的一个法向量，m 为直线 l 的一个方向向量，若 nm，则 l B已知 n 为平面 的一个法向量，m 为直线 l 的一个方向向量，若n，m23，则 l 与 所成角为6 C若两个不同的平面，的法向量分别为 u，v，且 u(1,2，2)，v(2，4,4)，则 D已知空间的三个向量 a，b，c，则

34、对于空间的任意一个向量 p，总存在实数 x，y，z 使得pxaybzc 答案 AD 解析 对于 A，由题意可得 l 或 l，故 A 错误；对于 B，由图象可得，CAD23，则DAB3，所以ADB6，根据线面角的定义可得，l 与 所成角为6，故 B 正确；对于 C，因为 u12v12(2，4,4)(1,2，2)，所以 uv，故，故 C 正确；对于 D，当空间的三个向量 a，b，c 不共面时，对于空间的任意一个向量 p，总存在实数 x，y，z 使得 pxaybzc，故 D 错误 13(2022杭州模拟)在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 A1D1，BB1的中点，则

35、cosEAF_；EF_.答案 25 62 解析 如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为 1，则 E0，12，1，F1，0，12，AE0，12，1，AF1，0，12，EF1，12，12，cosAE，AF AEAF|AE|AF|1252 5225，cosEAF25，EF|EF|12122122 62.14.如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 A1B1C1D1为平行四边形，E 为棱 AB 的中点，AF13AD，AG2 GA1，AC1与平面 EFG 交于点 M，则AMAC1_.答案 213 解析 由题图知，设AM

36、 AC1(01)，由已知 AC1ABAD AA12AE3AF32AG，所以AM2AE3AF32 AG，因为 M，E，F，G 四点共面，所以 2332 1，解得 213.15已知 O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，且点 Q 在直线 OP 上运动，当QAQB取得最小值时，OQ的坐标是_ 答案 43，43，83 解析 因为点 Q 在直线 OP 上，所以设点 Q(，2)，则QA(1，2，32)，QB(2，1，22)，QAQB(1)(2)(2)(1)(32)(22)621610 643223.即当 43时，QAQB取得最小值23，此时OQ43，

37、43，83.16.(2022株州模拟)如图，棱柱 ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于 2，ABC 和A1AC 均为60，平面 AA1C1C平面 ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP平面 DA1C1，若存在，求出点 P 的位置，若不存在，请说明理由(1)证明 设 BD 与 AC 交于点 O，则 BDAC，连接 A1O，在AA1O 中，AA12，AO1，A1AO60，所以 A1O2AA21AO22AA1AOcos603，所以 AO2A1O2AA21，所以 A1OAO.由于平面 AA1C1C平面 ABCD，且平面 AA1C1C平面 ABCDAC，A1

38、O平面 AA1C1C，所以 A1O平面 ABCD.以 O 为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(3，0,0)，A1(0,0，3)，C1(0,2，3)由于BD(2 3，0,0)，AA1(0,1，3)，AA1BD0(2 3)10 300，所以BD AA1，即 BDAA1.(2)解 假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP平面 DA1C1，设CP CC1，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，3)从而有 P(0,1，3)，BP(3，1，3)设平面 DA1C1的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则 n1A1C10，n1 DA10，又A1C1(0,2,0)，DA1(3，0，3)，则 2y10，3x1 3z10，取 n1(1,0，1)，因为 BP平面 DA1C1，所以 n1BP，即 n1BP 3 30，解得 1，即点 P 在 C1C 的延长线上，且|CP|CC1|.