2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第1讲 集合的概念与运算 精品讲义 WORD版含解析.docx

1、第1讲集合的概念与运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征： 、 、 (2)元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示(3)集合的表示法： 、 、 (4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 注意N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中集合相等集合A，B中元素相同AB3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言AB AB UA 考点1

2、集合的含义与表示名师点睛与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性典例(2022山东模拟）(1)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9B8C5 D4(2)设A，B|a2|,3，已知4A且4B，则a的取值集合为_举一反三1（2022江西新余四中模拟预测（理）已知集合，若，则实数a的取值范围为（）A BCD2（2022菏泽模

3、拟）设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1 B1C2 D23(多选)（2022 广州一调）已知集合x|mx22x10n，则mn的值可能为()A0 BC1 D24（2022福建模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（）A2B3C4D55（2022武汉校级月考）已知集合Am2，2m2m，若3A，则m的值为_ 考点2 集合的基本关系名师点睛解决有关集合间的基本关系问题的策略(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数(3)根据集合间的关系求参数

4、值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法典例(1)(2021八省联考)已知M，N均为R的子集，且RMN，则M(RN)()ABMCN DR(2)2022广东阳江月考已知集合Ax|y，Bx|axa1，若BA，则实数a的取值范围为()A(，32，) B1，2C2，1 D2，)举一反三1.（2022广东广州一模）已知集合，则的子集个数为（）A2B3C4D622022湖北武汉摸底已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D43（2022山东潍坊一中模拟预测）已知集合M，N是全集U的两个非

5、空子集，且，则（）A BCD4.2021湖南长沙长郡中学适应性考试已知集合AxZ|xa，集合BxZ|2x4若AB只有4个子集，则实数a的取值范围是()A(2，1 B2，1C0,1 D(0,152022吉林辽源五校期末联考已知集合Mx|xa0，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是_ 考点3 集合的基本运算名师点睛利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解典例1.(1)（2021全国高考真题）设集合，则（）ABCD(2)(多选)2022湖南长沙模

6、拟已知全集UR，集合Mx|3x4，Nx|x22x80，则()AMNx|3x4BMNx|2x4C(UM)N(，3)2，)DM(UN)(3，2) 2.(1)(2020高考全国卷)设集合Ax|x240，Bx|2xa0，且ABx|2x1，则a()A4 B2C2 D4(2)2022湖南六校联考集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为()A0 B1C2 D4举一反三1（2022河北石家庄二模）已知集合，则（）ABCD22022华南师范大学附属中学月考已知集合Ax|xa，若AB，则实数a的取值范围为()A3，) B(3，)C(，3) D(，33(2020高考全国卷)已知集合A(x

7、，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8，则AB中元素的个数为()A2 B3 C4 D64（2022重庆二模）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（）ABCD5（2021全国高考真题（理）已知集合，则（）ABCD6.2021豫北名校联考设集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0，若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A BC D(1，)7.（2020浙江高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：对于任意x，yS，若xy，都有xyT对于任意x，yT，若xy，则S；下列命题正确的是（）A若S有4个元素，则ST有7个元素B若S有4个

8、元素，则ST有6个元素C若S有3个元素，则ST有5个元素D若S有3个元素，则ST有4个元素 考点4 集合中的创新问题名师点睛1.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在；2.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质。典例 1.（2022北京房山一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆

9、A1A2=0A1A2=U的元素个数不是中的元素.则集合U=1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（）A5B6C10D152.2022广东六校联考已知集合A0x|0x1给定一个函数yf(x)，定义集合Any|yf(x)，xAn1，若AnAn1对任意的xN*成立，则称该函数具有性质 “”(1)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是_(2)给出下列函数：y；yx21；ycosx2.其中具有性质“”的函数的序号是_3.2022河北保定质检现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A最多人数是55B最少人数是55C

10、最少人数是75 D最多人数是80举一反三1（2022湖南雅礼中学一模）已知集合，定义集合，则中元素的个数为A77B49C45D3022021四川成都联考已知集合A1,2,3,4,5,6的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，Bk，kN*.记bi为集合Bi(i1,2,3，k)中的最大元素，则b1b2b3bk()A45 B105 C150 D2103多选2022湘赣皖十五校第一次联考已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合Sx|x恰好属于M，N中的一个，下列说法正确的是()A若SN，则MB若S，则MNC若SM，则MNDM，N，使得S(UM)(UN)42022湖北华大新联盟考试中国古代重要的数学

11、著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知Ax|x3n2，nN*，Bx|x5n3，nN*，Cx|x7n2，nN*，若x(ABC)，则整数x的最小值为()A128 B127C37 D2352022山东省实验中学第二次诊断若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)_，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是_62022山东潍坊重点高中联考已知Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下

12、列三个条件：若a1A，则a2A；若a3A，则a2A；若a3A，则a4A.求集合A.第1讲集合的概念与运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR注意N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一

13、个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同AB3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU且xA 考点1 集合的含义与表示名师点睛与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性典例(2022山东模拟）(1)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()

14、A9B8C5 D4(2)设A，B|a2|,3，已知4A且4B，则a的取值集合为_解析(1)将满足x2y23的整数x，y全部列举出来，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，共有9个故选A.(2)因为4A，即4，所以a23a4或a74.若a23a4，则a1或a4；若a74，即a23a20，则a1或a2.由a23a与a7互异，得a1.故a2或a4.又4B，即4|a2|,3，所以|a2|4，解得a2且a6.综上所述，a的取值集合为4答案(1)A(2)4举一反三1（2022江西新余四中模拟预测（理）已知集合，若，则实数a的取值范围为

15、（）A BCD【答案】D【解析】因为，所以，解得故选：D2（2022菏泽模拟）设a，bR，集合1，ab，a，则ba()A1 B1C2 D2解析：选C.因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1.所以ba2.3(多选)（2022 广州一调）已知集合x|mx22x10n，则mn的值可能为()A0 BC1 D2解析：选BD.因为集合x|mx22x10n，所以或解得或所以mn或mn2.故选BD.4（2022福建模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】当时，y1；当时，y0；当x3时，故集合B共有3个元素故选：B.5（2022武汉校级月考）已知集合Am

16、2，2m2m，若3A，则m的值为_解析：由题意得m23或2m2m3，则m1或m.当m1时，m23且2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，符合题意，故m.答案： 考点2 集合的基本关系名师点睛解决有关集合间的基本关系问题的策略(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论(2)确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法典例(1)(2021

17、八省联考)已知M，N均为R的子集，且RMN，则M(RN)()ABMCN DR(2)2022广东阳江月考已知集合Ax|y，Bx|axa1，若BA，则实数a的取值范围为()A(，32，) B1，2C2，1 D2，)【解析】(1)因为M，N均为R的子集，且RMN，所以NRM，所以M(RN)M.故选B.(2)集合Ax|yx|2x2，因为BA，所以有所以2a1.【答案】(1)B(2)C举一反三1.（2022广东广州一模）已知集合，则的子集个数为（）A2B3C4D6【答案】C【解析】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集，故选：C22022湖北武汉摸底已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0

18、x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D4解析：选D求解一元二次方程，得Ax|x23x20，xRx|(x1)(x2)0，xR1,2，易知Bx|0x5，xN1,2,3,4因为ACB，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合3,4的子集个数，即有224个，故选D.3（2022山东潍坊一中模拟预测）已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则（）A BCD【答案】A【解析】表示集合的补集，因为，所以故选：A4.2021湖南长沙长郡中学适应性考试已知集合AxZ|xa，集合BxZ|2x4若AB只有4个子集，则实数a的取值范围是()A(2，

19、1 B2，1C0,1 D(0,1答案D解析本题考查根据集合的子集个数求参数的取值集合AxZ|xa，集合BxZ|2x4xZ|x2，故ABxZ|ax2因为AB只有4个子集，所以AB中元素只能有2个，即AB1,2，所以0a1，故选D.52022吉林辽源五校期末联考已知集合Mx|xa0，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是_解析：由题易得Ma因为MNN，所以NM，所以N或NM，所以a0或a1.答案：0或1或1 考点3 集合的基本运算名师点睛利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元

20、素之间的关系，再列方程(组)求解典例1.(1)（2021全国高考真题）设集合，则（）ABCD【答案】B【解析】由题设可得，故，故选：B.(2)(多选)2022湖南长沙模拟已知全集UR，集合Mx|3x4，Nx|x22x80，则()AMNx|3x4BMNx|2x4C(UM)N(，3)2，)DM(UN)(3，2)【解析】(1)方法一：由题意，得AB1，0，1，2，所以U(AB)2，3，故选A.方法二：因为2B，所以2AB，所以2U(AB)，故排除B，D；又0A，所以0AB，所以0U(AB)，故排除C，故选A.(2)由x22x80，得2x4，所以Nx|2x4，则MNx|3x4，A错误；MNx|2x4，

21、B正确；由于UM(，3)4，)，故(UM)N(，3)2，)，C正确；由于UN(，2)(4，)，故M(UN)3，2)，D错误故选BC.【答案】(1)A(2)BC2.(1)(2020高考全国卷)设集合Ax|x240，Bx|2xa0，且ABx|2x1，则a()A4 B2C2 D4(2)2022湖南六校联考集合A0，2，a，B1，a2，若AB0，1，2，4，16，则a的值为()A0 B1C2 D4【解析】(1)方法一：易知Ax|2x2，Bx|x，因为ABx|2x1，所以1，解得a2.故选B.方法二：由题意得Ax|2x2若a4，则Bx|x2，又Ax|2x2，所以ABx|2x2，不满足题意，排除A；若a2

22、，则Bx|x1，又Ax|2x2，所以ABx|2x1，满足题意；若a2，则Bx|x1，又Ax|2x2，所以ABx|2x1，不满足题意，排除C；若a4，则Bx|x2，又Ax|2x2，所以ABx|x2，不满足题意故选B.(2)根据集合并集的概念，可知a，a24，16，故a4.【答案】(1)B(2)D举一反三1（2022河北石家庄二模）已知集合，则（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以，而，所以，故选：D22022华南师范大学附属中学月考已知集合Ax|xa，若AB，则实数a的取值范围为()A3，) B(3，)C(，3) D(，3解析：选C因为AB，所以结合数轴可知实数a的取值范围是a0，集合Bx|x

23、22ax10，a0，若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A BC D(1，)答案B解析Ax|x22x30x|x1或x0)，f(0)10，根据对称性可知，若AB中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即a.故选B.7.（2020浙江高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：对于任意x，yS，若xy，都有xyT对于任意x，yT，若xy，则S；下列命题正确的是（）A若S有4个元素，则ST有7个元素B若S有4个元素，则ST有6个元素C若S有3个元素，则ST有5个元素D若S有3个元素，则ST有4个元素【答案】A【解析】首先利用排除法：若取，则，此时，包

24、含4个元素，排除选项 C；若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：设集合，且，则，且，则，同理，若，则，则，故即，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍.若，则，故即，又，故，所以，故，此时.若， 则，故，故，即，故，此时即中有7个元素.故A正确.故选：A. 考点4 集合中的创新问题名师点睛1.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解决新定义型问题的关键所在；2.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解决新定义集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使

25、用集合性质的一些信息，在关键之处用好集合的性质。典例 1.（2022北京房山一模）已知U是非实数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称（A1，A2）为集合U的一种真分拆，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为集合U的同一种真分拆A1A2=0A1A2=U的元素个数不是中的元素.则集合U=1，2，3，4，5，6的真分拆的种数是（）A5B6C10D15【答案】A【解析】解：由题意，集合U=1，2，3，4，5，6的真分拆有；，共5种，故选：A.2.2022广东六校联考已知集合A0x|0x1给定一个函数yf(x)，定义集合Any|yf(x)，xAn1，若AnAn1对任意的xN*成立，则称该函数具

26、有性质 “”(1)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是_(2)给出下列函数：y；yx21；ycosx2.其中具有性质“”的函数的序号是_解析(1)答案不唯一，合理即可示例：对于解析式yx1，因为A0x|0x1，所以A1x|1x2，A2x|2x3，显然符合AnAn1.故具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是yx1.(2)对于，A0x|0x1，A2x|0x1，依次循环下去，符合AnAn1.对于，A0x|0x1，A1x|1x2，A2x|2x5，A3x|5x26，根据函数yx21的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合AnAn1.对于，A0x|0x1，A1x|2x3，A2x|1x2，A3x|1x2

27、，不符合AnAn1.所以具有性质“”的函数的序号是.答案(1)yx1(2)3.2022河北保定质检现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A最多人数是55B最少人数是55C最少人数是75 D最多人数是80解析：选B设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0x20.设以上两种药都带的人数为y.由图可知，xcard(A)card(B)y100.x7580y100，y55x.0x20，55y75，故最少人数是55.举

28、一反三1（2022湖南雅礼中学一模）已知集合，定义集合，则中元素的个数为A77B49C45D30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个 22021四川成都联考已知集合A1,2,3,4,5,6的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，Bk，kN*.记bi为集合Bi(i1,2,3，k)中的最大元素，则b1b2b3bk()A45 B105 C150 D210答案B解析本题考查集合的新定义问题集合A的含有3个元素的子集共有C20个，所以k20.在集合Bi

29、(i1,2,3，k)中，最大元素为3的集合有C1个；最大元素为4的集合有C3个；最大元素为5的集合有C6个；最大元素为6的集合有C10个，所以b1b2b3bk314356610105.故选B.3多选2022湘赣皖十五校第一次联考已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合Sx|x恰好属于M，N中的一个，下列说法正确的是()A若SN，则MB若S，则MNC若SM，则MNDM，N，使得S(UM)(UN)答案ABD解析本题考查Venn图用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若SN，利用S的Venn图观察，则有MN，M，故A选项正确；对于B选项，若S，则MN，故B选项正确；对于C选项，

30、反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，NM，故C选项错误；对于D选项，例如U1,2,3,4，M1,2,3，N4，Sx|x恰好属于M，N中的一个1,2,3,4U，而(UM)(UN)41,2，31,2,3,4S，故D选项正确，故选ABD.图1 图242022湖北华大新联盟考试中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知Ax|x3n2，nN*，Bx|x5n3，nN*，Cx|x7n2，nN*，若x(ABC)，则整数x的最小值为()A128 B127C37 D23解析：选D求整数的最小值，先将23代入检验，满足A，B

31、，C三个集合，故选D.52022山东省实验中学第二次诊断若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)_，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是_解析：显然不可能正确，否则都正确；若正确，则或若正确，则若正确，则或或所以符合条件的数组共6个答案：(3,2,1,4)(填一个正确的即可)662022山东潍坊重点高中联考已知Ua1，a2，a3，a4，集合A是集合U中的两个元素所组成的集合，且同时满足下列三个条件：若a1A，则a2A；若a3A，则a2A；若a3A，则a4A.求集合A.解：假设a1A，则a2A.又若a3A，则a2A，a3A，与集合A中有且仅有两个元素不符，假设不成立，a1A.假设a4A，则a3A，则a2A，且a1A，与集合A中有且仅有两个元素不符，假设不成立，a4A.故集合Aa2，a3，经检验知符合题意