2023版高考数学一轮总复习 专题检测 11.docx

1、11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差一、选择题1.(2022届浙江百校开学联考,7)若某随机事件的概率分布列满足P(X=i)=ai10(i=1,2,3,4),则D(X)=()A.3B.10C.9D.1答案D因为P(X=i)=ai10(i=1,2,3,4),所以a10+2a10+3a10+4a10=1,a=1,E(X)=110+2210+3310+4410=3,E(X2)=110+4210+9310+16410=10,D(X)=E(X2)-(E(X)2=10-9=1,故选D.二、填空题2.(2021上海崇明二模,9)已知等差数列xn的公差d0,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x9,

2、则方差D()=.答案203d2解析由等差数列的性质可得x1,x2,x3,x9的平均数为x5,故D()=19(x1-x5)2+(x2-x5)2+(x9-x5)2=19(16d2+9d2+4d2+d2+d2+4d2+9d2+16d2)=203d2.3.(2021浙江绍兴一模,15)袋中装有质地大小相同的1个白球和2个黑球,现分两步从中摸球:第一步,从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球,则涂成黑球;若摸得黑球,则不改变颜色);第二步,从袋中随机摸取2个球,记第二步所摸取的2个球中白球的个数为,则P(=0)=;E()=.答案79;29解析的所有可能结果为1,0,P(=1)=C22C32C11

3、C21C32=29,P(=0)=1-P(=1)=79,所以E()=129+079=29.三、解答题4.(2022届湖南天壹名校联盟摸底,21)有甲、乙两个袋子,甲袋中有2个白球2个红球,乙袋中有2个白球2个红球,从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.(1)一次交换后,求乙袋中红球与白球个数不变的概率;(2)二次交换后,记X为乙袋中红球的个数,求随机变量X的分布列与数学期望.解析(1)甲乙两袋交换的均是红球,则概率为C21C41C21C41=14,甲乙两袋交换的均是白球,则概率为C21C41C21C41=14,所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为14+14=12.(2)X的可能取值为

4、0,1,2,3,4,由(1)得,一次交换后,乙袋中有2个白球2个红球的概率为12,乙袋中有1个白球3个红球的概率为C21C41C21C41=14,乙袋中有3个白球1个红球的概率为C21C41C21C41=14,则P(X=0)=14C11C41C11C41=164,P(X=1)=14C11C41C31C41+C31C41C11C41+12C21C41C21C41=732,P(X=2)=14C31C41C31C41+14C31C41C31C41+12C21C41C21C41+C21C41C21C41=1732,P(X=3)=14C11C41C31C41+C31C41C11C41+12C21C41C

5、21C41=732,P(X=4)=14C11C41C11C41=164,所以随机变量X的分布列为X01234P1647321732732164所以E(X)=0164+1732+21732+3732+4164=2.5.(2022届广东深圳六校联考一,20)甲乙两队进行篮球比赛,约定赛制如下:谁先赢四场则最终获胜,已知每场比赛甲赢的概率为23,输的概率为13.(1)求甲最终获胜的概率;(2)记最终比赛场次为X,求随机变量X的分布列及数学期望.解析(1)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行七场比赛.设甲最终获胜的概率为P.甲四场比赛获胜的概率为234=1681,甲五场比赛获胜的概率为C432

6、331323=64243,甲六场比赛获胜的概率为C5323313223=160729,甲七场比赛获胜的概率为C6323313323=3202187,P=1681+64243+160729+3202187=432+576+480+3202187=18082187.甲最终获胜的概率为18082187.(2)X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=234+134=1781,P(X=5)=C4323413+C4313423=827,P(X=6)=C53234132+C53134232=200729,P(X=7)=C63234133+C63134233=160729,随机变量X的分布列为X4567P

7、1781827200729160729E(X)=41781+5827+6200729+7160729=4012729.6.(2022届山东平邑一中收心考,21)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,彻查人口出生变动情况以及房屋情况.为了普及全国人口普查的相关知识,某社区利用网络举办社区线上全国人口普查知识答题比赛,社区组委会先组织了A、B、C、D四个小组进行全国人口普查知识网上答卷预选比赛,最终每个小组的第一名进入最后的决赛;其中甲、乙两人参加了A组的小组预赛,结果两人得分相同,为了决出进入决赛的名额,该社区组委会设计了一个决赛方案:

8、甲、乙两人各自从5个人口普查问题中随机抽取3个.已知这5个人口普查问题中,甲能正确回答其中的3个,而乙能正确回答每个问题的概率均为12,甲、乙两人对每个人口普查问题的回答是相互独立、互不影响;答对题目个数多的人获胜,若两人答对题目数相同,则由乙再从剩下的2个题中选一个作答,答对则判乙胜,答错则判甲胜.(1)求甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率;(每答对一次算答对一个问题)(2)记X为乙答对人口普查问题的个数,求X的分布列和数学期望.解析(1)甲、乙两人共答对2个人口普查问题包括:甲答对2个,乙答对0个,此时概率为C32C21C53123=340;甲答对1个,乙答对1个,乙再从剩下的2个题中

9、选一个作答乙答错,此时概率为C31C22C53C311212212=9160,所以甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率为340+9160=21160.(2)由题意可知X所有可能的取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=C30123=18,P(X=1)=C31C22C53C311212212+C32C21+C33C53C3112122=51160,P(X=2)=C31C22C53C311212212+C32C21C53C321221212+C31C22+C33C53C3212212=51160,P(X=3)=C33C53C3312312+C32C21C53C321221212+C31C22+C

10、32C21C53C33123=37160,P(X=4)=C33C53C3312312=1160,所以X的分布列为X01234P185116051160371601160所以E(X)=018+151160+251160+337160+41160=6740.7.(2022届山东潍坊10月摸底,21)某旅行社推出北京环球影城两日游活动,第一期报名游客达到200人,旅行社对这些游客的年龄进行统计,将数据分成以下6组:15,20)、20,25)、25,30)、30,35)、35,40)、40,45,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求年龄在25,30)的游客人数;(2)为了解游客对环球影城中的孙悟空

11、主题IP公园的喜爱程度是否和年龄相关,在年龄小于25岁和年龄不小于35岁的游客中用分层随机抽样的方法抽取9人进行调查,在抽取的这9人中再随机抽取3人,设抽取的3人中年龄不小于35岁的游客人数为X,求X的分布列和数学期望;(3)旅游公司为答谢游客推出赠送旅游优惠券活动,方案如下:首先每位游客从1到150这150个自然数中选一个数作为x,然后把x代入函数y=x+20150-x+150,得到的函数值作为该游客的优惠券金额,问游客甲选择什么数字才能使优惠券金额最大?解析(1)由(0.03+0.05+a+0.035+0.03+0.01)5=1,解得a=0.045,又2000.0455=45(人),所以年

12、龄在25,30)的游客人数为45.(2)由题意,年龄在15,25)的游客有(0.03+0.05)5200=80(人),年龄不小于35岁的游客有(0.03+0.01)5200=40人,故抽取的9人中,有6人年龄小于25岁,3人年龄不小于35岁,所以X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C63C93=521,P(X=1)=C62C31C93=1528,P(X=2)=C61C32C93=314,P(X=3)=C33C93=184,所以X的分布列为X0123P5211528314184所以E(X)=0521+11528+2314+3184=1.(3)y=x+20150-x+150,x1,15

13、0,xN.令150-x=t,得x=150-t2,则y=150-t2+20t+150=-t2+20t-100+100+300=-(t-10)2+400.所以当t=10时,y取得最大值400,此时x=150-102=50,所以游客甲选择数字50才能使优惠券金额最大.8.(2022届北京入学定位考试,18)某公司生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器,为提高净化器的质量,现从甲种型号的净化器中随机抽取了400件产品,从乙种型号的净化器中随机抽取了100件产品,并对抽出的样本进行产品性能质量评估.该公司将甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器评估综合得分按照20,40),40,60),60,80),80,

14、100分组,绘制成评估综合得分频率分布直方图,如图:(1)从该公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件,估计这件产品的评估综合得分不低于80分的概率;(2)从两种型号的样本净化器中各随机抽取一件,以X表示这两件中综合得分不低于80分的件数,求X的分布列和数学期望;(3)根据频率分布直方图,假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计400件甲种型号的净化器评估综合得分的平均值为1,估计100件乙种型号的净化器评估综合得分的平均值为2,同时估计上述抽取的500件净化器评估综合得分的平均值为0,试比较0和1+22的大小.(结论不要求证明)解析(1)由频率分布直方图可知,100件乙种型号的净化器中

15、,产品评估综合得分不低于80分的频率为0.00520=0.1,所以从该公司生产的乙种型号净化器中随机抽取一件,这件产品的评估综合得分不低于80分的概率大约为0.1.(2)X的所有可能值为0,1,2.易知400件甲种型号的净化器中,产品评估综合得分不低于80分的概率为0.01020=0.2.P(X=0)=0.80.9=0.72,P(X=1)=0.20.9+0.80.1=0.26,P(X=2)=0.20.1=0.02.所以X的分布列为X012P0.720.260.02E(X)=00.72+10.26+20.02=0.3.(3)01+22.9.(2022届辽宁名校联盟联考,21)随着我国人民收入的逐

16、步增加,国家税务总局综合考虑人民群众消费支出水平增长等各方面因素,规定从2019年1月1日起,我国实施个税新政,实施的个税新政主要内容包括:个税起征点为5000元;每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除;专项附加扣除包括住房贷款利息或住房租金(以下简称住房)、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如表:旧个税税率表(个税起征点3500元)新个税税率表(个税起征点5000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点税率/%每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除税率/%1不超过1500元的部分3不超过300

17、0元的部分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元的部分30超过35000元至55000元的部分30随机抽取某市1000名同一收入层级的无亲属关系的男性互联网从业者(以下互联网从业者都是指无亲属关系的男性)的相关资料,经统计分析,预计他们2022年的人均月收入为30000元,统计资料还表明,他们均符合住房专项附加扣除,同时他们每人至多只有一个符合子女教育专项附加扣除的孩

18、子,并且他们之中既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除、符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除、符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除、既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人数之比是2111,此外,他们均不符合其他专项附加扣除,新个税政策下该市的专项附加扣除标准为住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的互联网从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的互联网从业者人均收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想,解决下列问题.(1)按新个税方案,设该市该收入层级的互联

19、网从业者2022年月缴个税为X元,求X的分布列和数学期望;(2)根据新旧个税方案,估计从2022年1月开始,至少经过几个月,该市该收入层级的互联网从业者利用各月少缴的个税之和就能购买一台价值29400元的某品牌智慧屏巨幕电视.解析(1)既不符合子女教育专项附加扣除又不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为30000-5000-1000=24000元,月缴个税为30000.03+90000.1+120000.2=3390元;符合子女教育专项附加扣除但不符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为30000-5000-1000-1000=23000元,月缴个税为300

20、00.03+90000.1+110000.2=3190元;符合赡养老人专项附加扣除但不符合子女教育专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为30000-5000-1000-2000=22000元,月缴个税为30000.03+90000.1+100000.2=2990元;既符合子女教育专项附加扣除又符合赡养老人专项附加扣除的人群每月应纳税所得额(含税)为30000-5000-1000-1000-2000=21000元,月缴个税为30000.03+90000.1+90000.2=2790元.所以X(单位:元)的可能取值为3390,3190,2990,2790.依题意,上述同类人群的人数之比是21

21、11,所以P(X=3390)=25,P(X=3190)=15,P(X=2990)=15,P(X=2790)=15.所以X的分布列为X3390319029902790P25151515所以E(X)=339025+319015+299015+279015=3150.(2)在旧个税方案政策下,该收入层级的互联网从业者2022年每月应纳税所得额(含税)为30000-3500=26500元.月缴个税为15000.03+30000.1+45000.2+175000.25=5620元.由(1)知在新个税方案政策下,该收入层级的互联网从业者2022年月缴个税为3150元.所以该收入层级的互联网从业者每月少缴的

22、个税为5620-3150=2470元.设经过x个月,该收入层级的互联网从业者每月少缴的个税的总和超过29400元.则2470x29400.因为xN,所以x12.所以至少经过12个月,该收入层级的互联网从业者利用各月少缴的个税之和就能购买一台价值为29400元的某品牌智慧屏巨幕电视.10.(2022届北京一六一中学10月月考,17)中国国际进口博览会(简称CIIE或进博会)是世界上第一个以进口为主题的大型国家级展会,旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化、主动向世界开放市场,第四届进博会于2021年11月5日2021年11月10日在上海举办.首届进博会包括企业商业展、国家贸易投资综合展,其中企业商业

23、展分为7个展区,每个展区统计了备受关注百分比,如表:展区类型展区的企业数(家)备受关注百分比智能及高端装备40025%服务贸易45024%服装服饰及日用消费品65023%消费电子及家电6020%食品及农产品167018%汽车7010%医疗器械及医药保健3008%备受关注百分比指:一个展区中受到所有相关人士关注(简称备受关注)的企业数与该展区的企业数的比值.(1)从企业商业展7个展区的企业中随机选取1家,求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率;(2)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“汽车”展区备受关注的企业中,任选2家接受记者采访.记X为这2家企业中来自“消费电子及家

24、电”展区的企业数,求随机变量X的分布列;假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%,记Y为这2家企业中来自“消费电子及家电”展区的企业数,试比较随机变量X,Y的数学期望E(X)和E(Y)的大小.(只需写出结论)解析(1)企业商业展7个展区的企业共有400+450+650+60+1670+70+300=3600家,其中备受关注的“智能及高端装备”展区企业共有40025%=100家,所以所求概率为1003600=136.(2)“消费电子及家电”展区备受关注的企业有6020%=12家.“汽车”展区备受关注的企业有7010%=7家,所以共有19家企业,X的可能取值为0,1,2,所以P(X=0)=C

25、72C192=757,P(X=1)=C71C121C192=2857,P(X=2)=C122C192=2257.故随机变量X的分布列为X012P75728572257E(X)E(Y).详解:备受关注百分比提升前,两类展区的企业中备受关注的企业数量之比为127,提升后,两类展区的企业中备受关注的企业数量之比为97,因为12797,所以E(X)E(Y).11.(2022届北京师大附中期中,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误,则该同学比赛结束;若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回

26、答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答B类问题,记Y为小明的累计得分,求P(Y=80);(2)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(3)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?请直接写出结论,不必说明理由.解析(1)P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12.(2)由题可知,X的所有可能取值为0,20,100.P(X=0)=1-0.8=0.

27、2;P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32;P(X=100)=0.80.6=0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(3)小明应选择先回答B类问题.详解:由(2)知,E(X)=00.2+200.32+1000.48=54.4.若小明先回答B类问题,则Y的所有可能取值为0,80,100.P(Y=0)=1-0.6=0.4;P(Y=80)=0.12;P(Y=100)=0.80.6=0.48.所以E(Y)=00.4+800.12+1000.48=57.6.因为54.457.6,所以小明应选择先回答B类问题.12.(2022届北京十三中开学考试,18)为了认真贯彻落实北京

28、市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求,各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作,并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况,从某校高三年级随机抽取了100名学生,获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间(单位:小时)分别在2,3),3,4),4,5),8,9),9,10)的数据,整理得到的数据并绘制成频率分布直方图(如图).(1)由图中数据求a的值,并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生,这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在5,6)的概率;(2)为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况,现从抽取

29、的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在2,3)和8,9)的人中任选3人,求其中在8,9)的人数X的分布列和数学期望;(3)假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替,试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段内.(只需写出结论)解析(1)因为(0.05+0.18+0.1+a+0.32+0.1+0.03+0.02)1=1,所以a=0.2.由频率估计概率可知从该校高三年级中随机抽取一名学生,这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在5,6)的概率为0.21=0.2.(2)由题图中数据可知,该天居家自主学习和锻炼身体总时间在2,3)和8,9)的

30、学生人数分别为5和3.所以X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=C53C83=528,P(X=1)=C52C31C83=1528,P(X=2)=C51C32C83=1556,P(X=3)=C33C83=156.所以X的分布列为X0123P52815281556156所以数学期望E(X)=0528+11528+21556+3156=98.(3)样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在5,6)内.13.(2022届北京一六六中学10月月考,18)某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务,付款方式分为四个档次:1期、2期、3期和4期.记随机变量X1、X2分别表示顾

31、客购买H型手机和V型手机的分期付款期数,根据以往销售数据统计,X1和X2的分布列如下表所示:X11234P0.10.40.40.1X21234P0.40.10.10.4(1)若某位顾客购买H型和V型手机各一部,求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率;(2)电商平台销售一部V型手机,若顾客选择分1期付款,则电商平台获得的利润为300元;若顾客选择分2期付款,则电商平台获得的利润为350元;若顾客选择分3期付款,则电商平台获得的利润为400元;若顾客选择分4期付款,则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X(单位:元),求X的分布列;(3)比较D(X1)与D(X2

32、)的大小.(只需写出结论)解析(1)设事件A为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”,故P(A)=0.10.4=0.04.(2)X的所有可能取值为600,650,700,750,800,850,900.P(X=600)=0.40.4=0.16;P(X=650)=C210.40.1=0.08;P(X=700)=0.10.1+C210.40.1=0.09;P(X=750)=C210.40.4+C210.10.1=0.34;P(X=800)=0.10.1+C210.10.4=0.09;P(X=850)=C210.10.4=0.08;P(X=900)=0.40.4=0.16.所以X的分布列为X600650700750800850900P0.160.080.090.340.090.080.16(3)D(X1)87.4,解得m98.所以当高二年级学生样本得分的最高分至少是99分时,高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分.