河南省商丘市、开封市九校联考2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2016-2017学年河南省商丘市、开封市九校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1以下四个命题中，其中正确的个数为（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+2=0”；“”是“cos2=0”的充分不必要条件；若命题，则p：xR，x2+x+1=0；若pq为假，pq为真，则p，q有且仅有一个是真命题A1B2C3D42已知向量=（1，5，2），=（3，1，2），=（x，3，6）若DE平面ABC，则x的值是（）A5B3C2D13在ABC中，AB=2BC=2，则ABC的

2、面积为（）ABC1D4抛物线y=x2的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，1）D（0，1）5已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）AB5C5D6若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为（）AaBaCaDa7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（）ABCD8焦点为F（0，10），渐近线方程为4x3y=0的双曲线的方程是（）A =1B =1C =1D =19若不等式（a23a4）x2（a4）x10的解

3、集为R，则实数a的取值范围为（）A（0，4）B（0，4C0，4）D0，410已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD11已知椭圆+y2=1（m1）和双曲线y2=1（n0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则F1PF2的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随m，n的变化而变化12在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）则函数f（x）=（ex）*的最小值为（）A2B3C6D8二、填空题（本大题共4

4、小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为14若正数a，b满足+=1，则+的最小值为15两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线的离心率e等于16已知实数x，y满足|x|+y1，则的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y1）2=8的内部若pq为假命题，q也为假命题，求实数a的取值范围18（12分）在等差数列an中，a2+a7=23，a3+a8=29（）求数

5、列an的通项公式；（）设数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn19（12分）已知椭圆C的焦点分别为F1（2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点求：线段AB的中点坐标20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小21（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C（）求角C的值；（）若ABC为锐角

6、三角形，且，求ab的取值范围22（12分）已知抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值2016-2017学年河南省商丘市、开封市九校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1以下四个命题中，其中正确的个数为（）命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+2=0”；“”是“cos2=0”的充分不必要条件；若命题，则p：xR，x2+x+1=0；若pq为假，pq为真，则p，q有且仅有一个是

7、真命题A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据命题和它的逆否命题之间的关系，即可判断错误；根据时cos2=0成立判断充分性，cos2=0时=不成立判断必要性，得出正确；根据特称命题的否定是全称命题，得出错误；根据复合命题的真值表判断正确【解答】解：对于 ，命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”，故错误；对于 ，时，cos2=cos=0，充分性成立；cos2=0时，=+，kZ，必要性不成立，是充分不必要条件，故正确；对于，命题，则p：xR，x2+x+10，故错误；对于，当pq为假命题，pq为真命题时，p，q中有且仅有一个是真命题，故正确综上

8、，正确的命题序号是，共2个故选：B【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题，充分与必要条件以及复合命题的真假判断问题，是综合性题目2已知向量=（1，5，2），=（3，1，2），=（x，3，6）若DE平面ABC，则x的值是（）A5B3C2D1【考点】共线向量与共面向量【分析】设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，由DE平面ABC，可得=0，解出即可得出【解答】解：设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（6，4，7）DE平面ABC，=6x3（4）+6（7）=0，解得x=5故选：A【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面平行的性质、法向量的应用，考查了推理能力

9、与计算能力，属于中档题3在ABC中，AB=2BC=2，则ABC的面积为（）ABC1D【考点】正弦定理【分析】由AB=c，BC=a，得出a与c的长，再由cosA的值，利用余弦定理求出b的长，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：c=2，a=1，cosA=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得：1=b2+42b，即（b）2=0，解得：b=，则SABC=bcsinA=故选B【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4抛物线y=x2的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，1）D（0，1）【

10、考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线y=x2，即抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4， =1抛物线y=x2的焦点坐标为（0，1）故选：D【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量5已知数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）AB5C5D【考点】数列递推式【分析】数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），可得an+1=3an0，数列an是等比数列，公比q=

11、3又a2+a4+a6=9，a5+a7+a9=339，再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：数列an满足log3an+1=log3an+1（nN*），an+1=3an0，数列an是等比数列，公比q=3又a2+a4+a6=9，=a5+a7+a9=339=35，则log（a5+a7+a9）=5故选；B【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为（）AaBaCaDa【考点】基本不等式【分析】由x0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围【解答】解：由x0， =，令t=x+，

12、则t2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2取得最大值，所以对于任意的x0，不等式a恒成立，则a，故选：A【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则sinAcosBsinC=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，结合三角形内角和定理可求B=，由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，进而利用余弦定理得（ac）2=0，可求A=C=B=，利用特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：由A，B，C成等差数列

13、，有2B=A+C，（1）A，B，C为ABC的内角，A+B+C=，（2）由（1）（2）得B=由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，由余弦定理得，b2=a2+c22accosB，把B=、b2=ac代入得，a2+c2ac=ac，即（ac）2=0，则a=c，从而A=C=B=，sinAcosBsinC=故选：C【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题8焦点为F（0，10），渐近线方程为4x3y=0的双曲线的方程是（）A =1B =1C =1D =1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程【分析

14、】由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10， =，求出b=6，a=8，从而得到答案【解答】解：由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10， =，b=6，a=8，故双曲线的方程为=1，故选 A【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=6，a=8，是解题的关键9若不等式（a23a4）x2（a4）x10的解集为R，则实数a的取值范围为（）A（0，4）B（0，4C0，4）D0，4【考点】其他不等式的解法【分析】根据一元二次不等式的解集为R求解【解答】解：不等式（a23a4）（x2（a4）x10的解集为R可得：a23a40，且=b24ac0，得：，解得：0a4当a23a

15、4=0时，即a=1或a=4，不等式为10恒成立，此时解集为R综上可得：实数a的取值范围为（0，4故选B【点评】本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题10已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程【分析】根据题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆方程【解答】解：椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的焦点坐标F（0，），设椭圆方程为，且，解得a=2，c=，b=1，椭圆方程为故选A【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细

16、解答，注意抛物线性质的合理运用11已知椭圆+y2=1（m1）和双曲线y2=1（n0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则F1PF2的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随m，n的变化而变化【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】由双曲线的定义|PF1|PF2|=2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，再由|F1F2|=2，利用勾股定理能判断F1PF2的形状【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2，mn=2，n=m2，2

17、+2得|PF1|2+|PF2|2=2（m+n），又椭圆+y2=1（m1）和双曲线y2=1（n0）有相同的焦点F1，F2，m1=n+1，mn=2，|PF1|2+|PF2|2=2（m+n）=4m4，|F1F2|2=（2）2=4m4，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则F1PF2的形状是直角三角形故选：B【点评】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆和双曲线的简单性质12在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）则函数f（x）=（ex）*的最小值

18、为（）A2B3C6D8【考点】进行简单的合情推理【分析】根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：根据性质，f（x）=（ex）*=1+ex+1+2=3，当且仅当ex=时，f（x）=（ex）*的最小值为3故选：B【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为5【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x+2=0的距离求得点到准线的距离，

19、进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=1，点P到直线x+2=0的距离为6，点p到准线x=1的距离是61=5，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5，故答案为：5【点评】本题主要考查了抛物线的定义充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性14若正数a，b满足+=1，则+的最小值为4【考点】基本不等式【分析】由+=1得到b=0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出【解答】解：正数a，b满足+=1，b=0，解得a1，同理b1，则+=+=+4（a1）2 =4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）+的

20、最小值为4故答案为：4【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题15两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线的离心率e等于【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质【分析】由题设条件结合数列的性质，可解得a=3，b=2，利用双曲线的几何量之间的关系可求得，故可求离心率【解答】解：由题设知，解得a=3，b=2，故答案为：【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，解题的关键是借助数列的性质，求出a，b，再利用双曲线的简单性质16已知实数x，y满足|x|+y1，则的取值范围是（，1）（1，+）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的公式结合数形结合进行

21、求解即可【解答】解：由|x|+y1得y1|x|，作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点A（3，5）的斜率，由图象知过A的直线的斜率等于1和1时，直线和区域的边界直线平行，则的取值范围是k1或k1，即（，1）（1，+）故答案为：（，1）（1，+）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2016秋商丘期末）已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y1）2=8的内部若pq为假命题，q也为假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用

22、；点与圆的位置关系；双曲线的定义【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a1或a3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为1a3，根据pq为假命题，q也为假命题，最后取交集即可【解答】解：方程表示双曲线，（3+a）（a1）0，解得：a1或a3，即命题P：a1或a3；点（2，a）在圆x2+（y1）2=8的内部，4+（a1）28的内部，解得：1a3，即命题q：1a3，由pq为假命题，q也为假命题，实数a的取值范围是1a1【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法考查了学生分析问题和解决问题的能力属中档题18（12分）（2016兰州模拟）在等差数列an中，a2+a7=2

23、3，a3+a8=29（）求数列an的通项公式；（）设数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（）依题意 a3+a8（a2+a7）=2d=6，从而d=3由此能求出数列an的通项公式（）由数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以所以=由此能求出bn的前n项和Sn【解答】（）解：设等差数列an的公差是d依题意 a3+a8（a2+a7）=2d=6，从而d=3所以 a2+a7=2a1+7d=23，解得 a1=1所以数列an的通项公式为 an=3n+2（）解：由数列an+bn是首项为1，公比为c的等比数列，得，即，所以所

24、以 =从而当c=1时，；当c1时，【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化19（12分）（2000上海）已知椭圆C的焦点分别为F1（2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点求：线段AB的中点坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】先求椭圆的方程，设椭圆C的方程为+=1，根据条件可知a=3，c=2，同时求得b=，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标【解答】解：设椭圆C的方程为+=1，由题意a=3，c=2，b=1椭圆C的方程为+y2=1联立方程组，消y

25、得10x2+36x+27=0，因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，故线段AB的中点坐标为（，）（12分）【点评】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映20（12分）（2004天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）证明PA平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小【考点】直

26、线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；（2）要证明PB平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明EFD是二面角CPBD的平面角，然后求二面角CPBD的大小法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA平面EDB；（2）证明EFPB，即可证明PB平面EFD；（3）求出，利用，求二面角CPBD的大小【解答】解：方法一：（1）证明：连接

27、AC，AC交BD于O，连接EO底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而DE平面PDC，BCDE由和推得DE平面PBC而PB平面PBC，DEPB又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角由（2）知，DEEF，PDDB设正方形ABCD的边长

28、为a，则， 在RtPDB中，在RtEFD中，所以，二面角CPBD的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG依题意得底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且，这表明PAEG而EG平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），又，故PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），则（x0，y0，z0a）=（a，a，a）从而x0=a，y0=a，z0=（1）a所以由条件EFPB知，即，解得点F的坐标为，且，即PBFD，故EF

29、D是二面角CPBD的平面角，且，所以，二面角CPBD的大小为【点评】本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力21（12分）（2016秋商丘期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C（）求角C的值；（）若ABC为锐角三角形，且，求ab的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得c2=a2+b2ab，利用余弦定理可求cosC，结合C角为三角形的内角，可求C的值（）由（）知，利用正弦定理可求a=2sinA，b=2sin

30、B，利用三角函数恒等变换的应用可求ab=2sin（A），可求范围A（，），利用正弦函数的性质即可得解ab的范围【解答】（本题满分为12分）解：（）cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C，12sin2A+12sin2B+2sinAsinB=2（1sin2C），即sin2C=sin2A+sin2BsinAsinB，由正弦定理得：c2=a2+b2ab，且角C角为三角形的内角，即（）由（）知（7分）由得，a=2sinA，b=2sinB，（10分）ABC为锐角三角形，又，A（，），A（，），即ab的取值范围为（1，1）（12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余

31、弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题22（12分）（2015娄星区模拟）已知抛物线y2=x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点（1）求证：OAOB；（2）当OAB的面积等于时，求k的值【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用【分析】（1）证明OAOB可有两种思路：证kOAkOB=1；取AB中点M，证|OM|=|AB|（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求AOB的面积也有两种思路：利用SOAB=|AB|h（h为O到AB的距离）；设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用SOAB=|ON|y1y2|【解答】解：（1）由方

32、程y2=x，y=k（x+1）消去x后，整理得ky2+yk=0设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1y2=1A、B在抛物线y2=x上，y12=x1，y22=x2，y12y22=x1x2kOAkOB=1，OAOB（2）设直线与x轴交于N，又显然k0，令y=0，则x=1，即N（1，0）SOAB=SOAN+SOBN=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|y1y2|，SOAB=1=SOAB=，=解得k=【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定当然，这里消去x是最简捷的