（全国卷Ⅰ）2021年高考数学压轴卷 理（含解析）.doc

1、（全国卷）2021 年高考数学压轴卷 理（含解析）第 I 卷（选择题）一.选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1已知集合02Axx，集合lg0Bxx，则 AB （）A,12,B,01,2 C1,2 D1,2 2复数 z 满足3,zi ii i 为虚数单位，则 z 等于（）A1 2i B1 2i C 12i D 1 2i 3执行如图所示的程序框图，若输入n 的值是30，则输出的n 的值是（）A2 B3 C6 D7 4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 38 B 4 C 712 D 724 5已知|2a

2、，1b|=，且a 与b 的夹角为 3，则()abb（）A 31 B1 C2 D3 6等差数列 na前 n 项和为nS，281112aaa，则13S（）A32 B 42 C52 D62 7设,m n 是空间中两条不同的直线，,是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若,/mn，则mn；（2）若/,/,m，则m；（3）若/,/mn，则/mn；（4）,，则/.其中正确命题的序号是（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）8将甲乙等 4 名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为（）A 12 B 13 C 23 D 14 9已知实数,x

3、y 满足1 0101 0kxykxy ，若2zxy的最大值为 8，则k 的值为（）A 32 B 72 C1 D3 10P 为双曲线2222100 xyabab，左支上一点，1F，2F，为其左右焦点，若221PFPF的最小值为10a，则双曲线的离心率为（）A45 B45 C45 D4 11已知函数131,(1)()ln(1),(1)xxf xxx，若24()()2()3F xfxaf x的零点个数为 4，则实数 a 取值范围为（）A6 54(,(,)363 B6 5(,(2,)36 C 5,2)6 D 4(,)3 12已知数列 na的前n 项和nS，且满足1nnaS，则39121239SSSSa

4、aaa（）A1013 B1022 C2036 D2037 第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13在 ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 coscos2bCcBb，则ab _.14已知A(1,1)m，22,B mm，若直线 AB 与斜率为 2 的直线平行，则 m 的值为_ 15数式1111 1 中省略号“”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则11tt，则 21 0tt ，取正值得512t.用类似方法可得1212 _.16如图，平面四边形 ACBD 中，ABBC，3AB，2BC，ABD为

5、等边三角形，现将ABD沿 AB 翻折，使点 D移动至点 P，且 PBBC，则三棱锥 PABC的外接球的表面积为_.三、解答题（共 70 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地 17-21 为必做题，每个试题都必须作答.第 22、23 题为选做题，考生按要求作答）(一).必做题 17已知 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，已知2 cos2aCcb.（1）求角 A 的大小；（2）若 ABC 的面积为 3，若 ABC 的周长为 6，求三角形的边长a.18如图 1，在直角 ABC 中，90ABC，2 3AC，3AB，D，E 分别为 AC，BD的中点，连结 AE 并延长交 B

6、C 于点 F，将 ABD 沿 BD折起，使平面 ABD 平面BCD，如图 2 所示.（1）求证：AECD；（2）求平面 AEF 与平面 ADC 所成二面角的正弦值.19宁夏西海固地区，在 1972 年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪 90 年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对 2016 年以来近 5 年某移民村庄 100 位移民的年人

7、均收入的统计：年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 x 1 2 3 4 5 人均年收入 y（千元）1.3 2.8 5.7 8.9 13.8 现要建立 y 关于 x 的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一(1)ybxa；模型二(2)2ycxd，即使画出 y 关于 x 的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为 3.12.8yx.（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为521

8、)3.7iiiyy（.附：参考数据：51522150.525iiiiit yt ytt，其中2iitx，1,2,3,4,5i.参考公式：对于一组数据11,u v，22,u v，,nnu v，其回归直线vau的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221niiiniiu vnuvunu，avu.20已知焦点在 x 轴上的椭圆C：222210)xyabab（，短轴长为2 3，椭圆左顶点到左焦点的距离为1 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P，点 A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F，,E F 两点都在 x 轴上方，且APEOPF 证明直线l 过定点，

9、并求出该定点坐标 21已知函数 24,(,),0f xxxalnx aR afx为函数 f x 的导函数（1）求函数 f x 的单调区间（2）若存在实数12,x x，且12xx使得 12 0fxfx，求证 24f x (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为2244(2xmmmymm 为参数，且0)m，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos3 sin10.（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与 x 轴交点记为

10、M，与曲线C 交于,P Q 两点，求11|PMQM的值.23已知函数 f x=1(0)xxa aa（1）当1a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）证明：f x 2 2021 新课标高考压轴卷 数学 word 版参考答案 1【答案】D【解析】因为集合02Axx，集合 lg01Bxxx x，因此，1,2AB.故选：D.2【答案】A【解析】解：()3zi ii ，()(3)i i ziii ，化为31zii ，21zi ，故选：A 3【答案】C【解析】第一次循环，30n，30S，否，15n，否，第二次循环，15n，45S，是，14n，否，第三次循环，14n，59S，否，7n，否，第四次循环，7

11、n，66S，是，6n，是，输出6n，故选：C.4【答案】D【解析】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即 14，下方挖去半个球，故几何体的体积为：22311114172224223224V ，故选：D.5【答案】C【解析】2221cos2 11232abba bba bb ,故选：C 6【答案】C【解析】28111111()71031812aaaadadadad 164ad，即74a 113137131313 4522aaSa 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式

12、，将其转化为关于首项与公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.7【答案】A【解析】解：对于（1），因为/n，所以经过n 作平面，使l，可得/nl，又因为m，l，所以ml，结合/nl 得mn由此可得（1）是真命题；对于（2），因为/且/，所以/，结合m，可得m，故（2）是真命题；对于（3），设直线m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面 是正方体下底面所在的平面，则有/m 且/n 成立，但不能推出/mn，故（3）不正确；对于（4），设平面、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出/，故（4）不正确 综上所述，其

13、中正确命题的序号是（1）和（2）故选：A【点睛】本题考查空间点线面的位置关系判断，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练的掌握线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识 8【答案】C【解析】将 4 名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，方法数有22426C C 种，其中甲和乙不在同一路口的方法数由1122124C CA种，故所求概率为 4263.故选：C 9【答案】B【解析】如图，由821xyx，解得(1,6)A 由图及线性规划知识可推测直线10kxyk 必过点(1,6)A，得72k，经验证符合题目条件 故选：B【点睛】本题主要考查了根据最值求参数

14、，属于中档题.10【答案】A【解析】设21PFm PFn，则由双曲线的定义得：2mna，2222124=4,PFanana ncaPFnn.记 244,af nna ncan 2241afnn，令 2241=0afnn，得2na （1）当2caa时，,2ncaa，22410afnn，yf n单减；2,na，22410afnn，yf n单增，min=28f nfaa，不合题意，舍去；（2）当2caa时，22410afnn 恒成立，yf n单增，2min4=3af nf cacaca 22243=10,8110acaacacaca 解得：45ca或45ca 45ca不满足2caa，应舍去 当45c

15、a时，离心率45e.故选：A【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到 a、b、c 的关系，消去 b，构造离心率 e 的方程或（不等式）即可求出离心率 11【答案】D【解析】()f x 的图象如图所示：因为 24()2()3F xfxaf x有 4 个不同的零点，故24203tat有解，设此关于t 方程的解为 1t、2t，其中 12,t t 均不为零且 1 243t t.由题设可得关于 x 的方程 1f xt和 2f xt共有 4 个不同的解，故12120101tttt （舍）或1212012tttt 或121222tttt（舍）.所以41 20344403402003aa

16、a ，解得43a.故选：D.【点睛】方法点睛：复合方程的解的讨论，一般通过换元转化为内、外方程的解来处理，注意根据已知零点的个数合理推断二次方程的根的情况.12【答案】A【解析】由数列 na的前n 项和nS，且满足1nnaS，当2n 时，111nnaS，两式相减，可得111()20nnnnnnaaSSaa，即11(2)2nnana，令1n，可得11121aSa，解得112a，所以数列 na表示首项为 12，公比为 12 的等比数列，所以1()2nna=，则111()1221()1212nnnS ，所以11()2211()2nnnnnSa，所以2939121239(222)(1 11)SSSSa

17、aaa 9102(1 2)9211 10131 2.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的定义，等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式的综合应用，着重考查推理与计算能力，属于中档试题.13【答案】2【解析】将 coscos2bC cBb，利用正弦定理化简得：sincossincos2sinBCCBB，即sin2sinBCB，sinsinBCA，sin2sinAB，利用正弦定理化简得：2ab，则2ab 故答案为：2.14【答案】1 或 12【解析】由题可知：直线 AB 的斜率为2121ABmkmm 即211ABmkmm 又直线 AB 与斜率为 2 的直线平行 所以2121mmm 则223

18、10mm 所以1m 或12m 故答案为：1 或 12【点睛】本题考查直线斜率的坐标表示以及直线的平行关系，掌握直线平行的斜率关系，属基础题.15【答案】4【解析】根据题意类比，令12120t t，两边平方得，21212t ，即212tt，则2120tt，解得4t，或3t （舍去）.故答案为：4【点睛】本题主要考查类比推理，根据题意类比写出方程求解即可，属于基础题.16【答案】8 【解析】因为 BC平面 PAB，将三棱锥 PABC补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，由直三棱柱性质易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记ABP的外心为 E，由ABD为等边三角形，即ABD为

19、等边三角形，3AB，可得1BE 又12BCOE，故在 Rt OBE 中，222OBOEEB，此即为外接球半径，从而外接球表面积为248SOB 故答案为：8.【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.17【答案】（1）3A；（2）2a.【解析】（1）由正弦定理得：2sincossin2sinACCB，ABC，sinsinBAC，2sincossin2sin2sincos2cossinACCACACAC，整理可得：sin2cossinCAC，0,C，sin0C，1cos2A，又0,A，3A.（2）由（1）知3A，若 ABC 的面积为

20、 3，1sin32ABCbcSA，若ABC 的周长为 6，6ABCCabc，由余弦定理，得2222cosabcbcA，解得2a.【点睛】本题考查了解三角形问题，解题的关键点是要熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，考查了学生的计算能力.18【答案】（1）证明见解析；（2）正弦值为 105.【解析】（1）证明：由题意知 ABAD，而 E 为 BD的中点，AEBD，又面 ABD 面 BCD，面 ABD面 BCDBD，且 AE 平面 ABD，AE 平面 BCD，又CD 平面 BCD，AECD.（2）由（1）可知，EB，EF，EA 两两相互垂直，可构建以 E 为原点，,EB EF EA 为 x轴、y

21、轴、z 轴正方向空间直角坐标系，则(0,0,0)E，30,0,2A，10,02F，3,0,02D，33,02C，易知面 AEF 的一个法向量为3(,0,0)2ED ，333 3(,0,),(,0)2222DADC，设平面 ACD 的法向量为(,)nx y z，则：00n DAn DC，即3302233022xzxy，令1y ，则(3,1,1)n，设平面 AEF 与平面 ADC 所成锐二面角为，则15cos|cos,|5ED n ，所以其正弦值为 105.【点睛】关键点点睛：（1）利用含 30角的直角三角形性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的判定及性质证线线垂直；（2）应用向量法求二面角的余弦值

22、，进而求正弦值即可.19【答案】（1）20.50.8yx$；（2）模型二的拟合效果更好.【解析】（1）令2tx，则模型二可化为 y 关于t 的线性回归问题，则1 49 1625115t，1.32.85.78.9 13.86.55y，则由参考数据可得51522150.520.55iiiiit yt yctt$，6.50.52 110.8dyct，则模型二的方程为20.50.8yx$；（2）由模型二的回归方程可得，(2)10.5 1 0.81.3y$，(2)20.5 40.82.8y$，(2)30.5 90.85.3y$，(2)40.5 160.88.8y$，(2)50.5 25 0.813.3y

23、$，5(2)2222221)000.40.10.50.423.7iiiyy（，故模型二的拟合效果更好.【点睛】本题考查线性回归方程和残差平方和的计算，解题的关键是正确计算出各个值，避免计算出错，正确应用公式.20【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析，(6,0).【解析】（1）由22222 31bacacb 得321bac ，所以椭圆C 的标准方程为22143xy.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在 x 轴两侧，不合题意.所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为 ykxm.设11(,)E x y、22(,)F xy，由22143xyykxm得222(3

24、4)84120kxkmxm，所以122834kmxxk，212241234mx xk.因为APEOPF，所以0PEPFkk，即121202233yyxx，整理得1212242()()033mkx xmk xx 化简得6mk，所以直线l 的方程为6(6)ykxkk x，所以直线l 过定点(6,0).21【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【解析】解：（1）函数2()4f xxxalnx的导数为()24(0)afxxxx 224xxax，当16 80a，即2a，2240 xxa恒成立，可得()0fx恒成立 即有()f x 的增区间为(0,)，无减区间；当16 80a，即2a，可得2240

25、xxa的两根为112ax ，当02a时，1111022aa，()0fx，可得112ax ，或0112ax；()0f x，可得111122aax，即()f x 的增区间为 11,2a，0,112a；减区间为 11,1122aa；当0a时，1102a，1102a，()0fx，可得112ax ；()0f x，可得0112ax，即()f x 的增区间为 11,2a；减区间为 0,112a；综上可得：当2a 时，()f x 在(0,)上单调递增，无减区间；当02a时，()f x 的增区间为 11,2a，0,112a；减区间为11,1122aa；当0a时，()f x 的增区间为 11,2a；减区间为 0,

26、112a；（2）证明：函数2()4f xxxalnx的导数为224()24(0)axxafxxxxx，由题意可得1x，2x 是2240 xxa的两根，且2112ax ，02a，可得2(1,2)x，设2()()444g xf xxxalnx，12x，又242axx，可得22()4(42)4g xxxxx lnx，21()24(44)(42)4(1)g xxx lnxxxx lnxx，由12x可得 4(1)0 x lnx，即()g x 在(1,2)递减，则()(0g x，1)，显然()0g x恒成立，则2()4f x 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查

27、不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查化简整理的运算能力.22【答案】（1）曲线C：2yx，直线l：310 xy；（2）13010.【解析】（1）曲线C 的参数方程为2244(2xmmmymm 为参数，且0)m，即22()xmm，曲线C 的直角坐标方程为2yx.直线l 的极坐标方程为cos3 sin10，而cos,sinxy，直线l 的直角坐标方程为310 xy.（2）直线l 与 x 轴交点记为 M，即(1,0)，其参数方程可写为3110(110 xttyt 为参数)，与曲线C 交于 P，Q 两点，把直线的参数方程代入方程2yx，得到23 10100tt，即有 123

28、 10tt，1 2100t t 2121 2(3 110)4001113010ttPMQMt t.【点睛】关键点点睛：（1）应用因式分解、极坐标与直角坐标关系，写出直角坐标方程；（2）求直线与 x 轴交点，以交点为极点写出直线的参数方程，结合曲线方程，由韦达定理求直线与曲线的两个交点与极点的距离(它们的数量关系)，进而求11|PMQM.23【答案】（1）2x x 或2x；（2）证明见解析.【解析】（1）当1a 时，11f xxx.当1x 时，1124f xxxx ，解得2x；当 11x 时，1124f xxx ，无解；当1x时，1124f xxxx ，解得2x；综上所述：4f x 的解集为2x x 或2x.（2）111xxaxaxxaxaaa 12aa，当且仅当1a 时等号成立，所以 f x 2.