2021-2022高中数学人教A版选修2-1教案：1-2-1充分条件和必要条件 （系列二） WORD版含解析.doc

1、1.2充分条件与必要条件一：教法分析三维目标 1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系2过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中3情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方

2、法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断pq是否成立，同时还需判断qp是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”二：方案设计教学建议 基于教材内容

3、和学生的年龄特征，根据“开放式”、“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合学生实际，主要突出以下几个方面：(1)创设与生活实践相结合的问题情景，在加强数学教学的实践性的同时充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理(2)教学方法上采用了“合作探索”的教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，以求获得最佳效果(3)注重渗透数学思考方法(联想法、类比法、归纳总结等一般科学方法)，让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质(4)注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维指导学生掌握“观察猜

4、想归纳应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对命题结构的探究让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神教学流程三、自主导学课标解读1.理解充分、必要、充要条件的意义(重点)2.能熟练判断条件与结论之间的充分(必要、充要)性(重点、难点)充分条件、必要条件与充要条件【问题导思】观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【提示】开关A闭合，

5、灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即pq，qDp；开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即pDq，qp；开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即pq；开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即pDq，且qDp.2电路图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【提示】pq.1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqp q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此

6、时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.四、互动探究充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)已知实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)，下列结论正确的是()b24ac0是这个方程有实根的充要条件；b24ac0是这个方程有实根的充分条件；b24ac0是这个方程有实根的必要条件；b24ac0是这个方程没有实根的充要条件ABC D(2)若p：(x1)(x2)0，q：x2，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【思路探究】(1)b24ac与方程有何关系？当0，0或0时，一元二次方程的根的情况如何？(2)不等

7、式(x1)(x2)0的解集是什么？p、q有怎样的关系？【自主解答】(1)对，0方程ax2bxc0有实根；对，0方程ax2bxc0有实根；错，0方程ax2bxc0有实根，但ax2bxc0有实根D0；对，0方程ax2bxc0无实根故选D.(2)p：2x1，q：x2，显然pq，但qDp，即p是q的充分不必要条件【答案】(1)D(2)A1判断p是q的什么条件，主要判断pq，及qp两命题的正确性，若pq真，则p是q成立的充分条件；若qp真，则p是q成立的必要条件要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定2判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分(2)

8、集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当AB时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即pq，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当AB时，p、q互为充要条件已知如下三个命题中：(2013福州高二检测)若aR，则“a2”是“(a1)(a2)0”的充分不必要条件；(2013临沂高二检测)对于实数a，b，c，“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件；直线l1：axy3，l2：xbyc0.则“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件；“m2或m6”是“yx2mxm3有两个不同零点”的充要条件正确的结论是_【解析】中，当a2时，有(a1)(a2)0；但当(a1)(a2)0时，a1或a2，不一定有a2.“

9、a2”是“(a1)(a2)0”的充分不必要条件，正确abDac2bc2(c0)，但ac2bc2ab.“ab”是“ac2bc2”必要不充分条件，错中，ab1且ac3时，l1与l2重合，但l1l2，即ab1，“ab1”是“l1l2”的必要不充分条件，正确中，yx2mxm3有两个不同零点m24(m3)0m2或m6.是充要条件，正确【答案】充分条件、必要条件、充要条件的应用 (2013大连高二期末)设集合Ax|x2x60，关于x的不等式x2ax2a20的解集为B(其中a0)(1)求集合B；(2)设p：xA，q：xB，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【思路探究】(1)不等式x2ax2a2

10、0的解集是什么？(2)由“綈p是綈q的必要不充分条件”可得怎样的推出关系？这种推出关系的等价关系是什么？表现在集合上又是怎样的？【自主解答】(1)x2ax2a20(x2a)(xa)0，解得xa或x2a.故集合Bx|xa或x2a(2)法一若綈p是綈q的必要不充分条件，则綈q綈p，由此可得pq，则Ax|x2x60x|(x3)(x2)0x|x3或x2由pq，可得AB，a1.法二Ax|x3或x2，UAx|2x3，而UBx|2axa，由綈p是綈q的必要不充分条件，可得綈q綈p，也即UBUA，a1.1利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合Ax|p(x)和Bx|q(x)，然后

11、根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A与B的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围2判断p是q的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性已知p：x28x200，q：x22x1m20(m0)若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围【解】法一由x28x200，得2x10，由x22x1m20，得1mx1m(m0)綈p：Ax|x10或x2，綈q：Bx|x1m或x1m綈p是綈q的充分而不必要条件，AB.解得0m3.m的取值范围是m|0m3法二由x28x200，得2x10，由x22x1m20得1mx1m(m0

12、)，p：Ax|2x10，q：Bx|1mx1m綈p是綈q的充分不必要条件，q也是p的充分不必要条件，BA.解得0m3.m的取值范围是m|0m3.充要条件的证明求证：方程mx22x30有两个同号且不等的实根的充要条件是：0m.【思路探究】先找出条件和结论，然后证明充分性和必要性都成立【自主解答】充分性(由条件推结论)：0m，方程mx22x30的判别式412m0，方程有两个不等的实根设方程的两根为x1、x2，当0m时，x1x20且x1x20，故方程mx22x30有两个同号且不相等的实根，即0m方程mx22x30有两个同号且不相等的实根必要性(由结论推条件)：若方程mx22x30有两个同号且不相等的实

13、根，则有，0m，即方程mx22x30有两个同号且不相等的实根0m.综上，方程mx22x30有两个同号且不相等的实根的充要条件是0m.1证明p是q的充要条件，既要证明命题“pq”为真，又要证明“qp”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.【证明】假设p：方程ax2bxc0有一个根是1，q：abc0.(1)证明pq，即证明必要性x1是方程ax2bxc0的根，a12b1c0，即abc0.(2)证

14、明qp，即证明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1是方程的一个根故方程ax2bxc0有一个根是1的充要条件是abc0.五、易误辨析因考虑不周到致误一次函数yx的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()Am0，n0Bmn0Cm0，n0 Dmn0【错解】由题意可得，一次函数yx的图象同时经过第一、二、四象限，即解得m0，n0，所以选A.【答案】A【错因分析】p的必要不充分条件是q，即q是p的必要不充分条件，则qDp且pq，故本题应是题干选项，而选项D题干，选项A为充要条件【防范措施】要说明p是q的充分不必

15、要条件，须满足pq，但qDp；要说明p是q的必要不充分条件，须满足pDq，但qp；要说明p是q的充要条件，须满足pq且qp，解题时一定要考虑周到，切莫顾此失彼【正解】一次函数yx的图象同时经过第一、二、四象限，即得m0，n0.故由函数yx的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn0，而由mn0不一定推出函数yx的图象过一、二、四象限，所以选D.【答案】D六、课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛(2)集合法从集合角度看，设集合Ax|x满足条件p，Bx|满足条件q若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要

16、条件若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件若AB，则p是q的充要条件若AB，且AB，则p是q的既不充分也不必要条件(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1p2p3pn，则可得p1pn，充要条件也有传递性七、双基达标1(2013成都高二检测)“x3”是“x29”的()A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【解析】当x3时，x29；但x29，有x3.“x3”是“x29”的充分不必要条件【答案】A2设p：x

17、23x40，q：x2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当x23x40时，不一定有x2；但当x2时，必有x23x40，故p是q的必要不充分条件【答案】B3在“x2(y2)20是x(y2)0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是_，结论是_【答案】x2(y2)20x(y2)04若p：x1或x2；q：x1，则p是q的什么条件？【解】因为x1或x2x1；x1x1或x2，所以p是q的充要条件.八、知能检测一、选择题1若集合A1，m2，B2,4，则m2是AB4的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当m2时，m24

18、，AB4，但m24时，m2，AB4得m2.【答案】A2(2013济南高二检测)设，(，)，那么“”是“tan tan ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】在(，)中，函数ytan x为增函数，所以设、(，)，那么“”是tan tan 的充要条件【答案】C3下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()Ap：acbd，q：ab且cdBp：AB，q：xAxBCp：x1，q：x2xDp：a1，q：f(x)logax(a0，且a1)在(0，)上为增函数【解析】易知由acbdDab且cd.但ab且cd，可得acbd“p：acbd”是“q：ab且cd”的必要不充分条

19、件故选A.【答案】A4“”是“sin sin ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【解析】由“”D“sin sin ”；由“sin sin ”D“”，应选C.(也可以举反例)【答案】C5(2013青岛高二检测)下列各小题中，p是q的充分必要条件的是()p：m2或m6，q：yx2mxm3有两个不同的零点；p：1，q：yf(x)是偶函数；p：cos cos ；tan tan ；p：ABA，q：UBUA.ABCD【解析】yx2mxm3有两个不同的零点，则m24(m3)0，得m6或m2，所以p是q的充要条件若yf(x)中存在x0，使得f(x0)0，则p是q的充分不必

20、要条件当k时，tan ，tan 无意义，所以p是q的必要不充分条件p是q的充要条件【答案】D二、填空题6下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中，可以是x21的一个充分条件的所有序号为_【答案】7(2013武汉高二检测)“b2ac”是“a、b、c”成等比数列的_条件【解析】“b2acD”a，b，c成等比数列，如b2ac0；而“a，b，c”成等比数列“”“b2ac”【答案】必要不充分8在平面直角坐标系xOy中，直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直的充要条件是m_.【解析】直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直1m(m1)20m.【答案】三、解答题9指出下列命题中，p是q的什么

21、条件(1)p：，q：x2x30；(2)p：ax2ax10的解集是R，q：0a4；(3)p：ABA，q：ABB.【解】(1)化简得p：，q：.如图由图可知，所以p是q的充分不必要条件(2)因为ax2ax10的解集是R，所以当a0时成立；当a0时，ax2ax10的解集是R，有解得0a4，所以0a4.所以pD/q，qp，所以p是q的必要不充分条件(3)对于p：ABABA，对于q：ABBBA，即pq，所以p是q的充要条件10若Ax|axa2，Bx|x1或x3，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解】A是B的充分不必要条件，AB.又Ax|axa2，Bx|x3因此a21或a3，实数a的取值范围是

22、a3或a3.11设a，b，c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2b(bc)”是“A2B”的充要条件【证明】充分性：由a2b(bc)b2c22bccos A可得12cos A.即sin B2sin Bcos Asin(AB)化简，得sin Bsin(AB)由于sin B0且在三角形中，故BAB，即A2B.必要性：若A2B，则ABB，sin(AB)sin B，即sin(AB)2sin Bcos Asin A.sin(AB)sin B(12cos A)A、B、C为ABC的内角，sin(AB)sin C，即sin Csin B(12cos A)12cos A1，即.化简得a2b(bc)a2b(bc)是“A2B”的充要条件.九、备课资源试求关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件【自主解答】如果方程x2mx10有两个负实根，设两负根为x1，x2，则x1x21，解之得m2.因此m2是方程x2mx10有两个负实根的必要条件下面证明充分性因为m2，所以m240，所以方程x2mx10有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1x210，所以x1，x2同号又x1x2m20，所以x1，x2同为负数故m2是方程x2mx10有两个负实根的充要条件求关于x的不等式kx2xk0(k0)恒成立的充要条件【解】kx2xk0(k0)恒成立k.