2021-2022高中数学人教版必修2教案：2-3-1 直线与平面垂直的判定 （系列一） WORD版含答案.doc

1、第一课时 直线与平面垂直的判定（一）教学目标1知识与技能（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握直线和平面所成的角求法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.2过程与方法（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2）探究判定直线与平面垂直的方法.3情态、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.（二）教学重点、难点重点：（1）直线与平面垂直的定义和判定定理； （2）直线和平面所成的角.难点：直线与平面垂直判定定理的探究.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：直线和

2、平面平行的判定方法有几种？师投影问题，学生回答.生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.复习巩固探索新知一、直线和平面垂直的定义、画法如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表不平面的平行四边形的一边垂直，如图. 师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面，桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？生：旗杆与地面内任意一条经B的直线垂直.师：那么旗

3、杆所在直线与平面内不经过B点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.师：你能尝试给线面垂直下定义吗？师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.探索新知二、直线和平面垂直的判定1试验 如图，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？2直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.思考：能否将直线与平面垂直的判定

4、定理中的“两条相交直线”改为一条直线或两条平行直线？师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）.学生动手实验，然后回答问题.生：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直.师：此时AD垂直上的一条直线还是两条直线？生：AD垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.师：怎么证明？生：折痕ADBC，翻折之后垂直关系不变，即ADCD，ADBD师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.典例剖析例1 如图，已知ab，a，求证：b.

5、证明：在平面内作两条相交直线m、n.因为直线a，根据直线与平面垂直的定义知am，an.又因为ba，所以bm，bn.又因为，m、n是两条相交直线，b.师：要证b，需证b与内任意一条直线的垂直，又ab，问题转化为a与面内任意直线m垂直，这个结论显然成立.学生依图及分析写出证明过程.师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.巩固所知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.探索新知二、直线和平面所成的角如图，一条直线PA和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影

6、.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0的角.教师借助多媒体直接讲授，注意直线和平面所成的角是分三种情况定义的.借助多媒体讲授，提高上课效率.典例剖析例2 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1B1C1， A1B1B1B，所以A1B1平面BCC1B1.所

7、以A1B1BC1.又因为BC1B1C，所以B1C平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中，所以，BA1O = 30 因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30.师：此题A1是斜足，要求直线A1B与平面A1B1CD所成的角，关键在于过B点作出（找到，面A1B1CD的垂线，作出（找到）了面A1B1CD的垂线，直线A1B在平面A1B1CD内的射影就知道了，怎样过B作平面A1B1CD的垂线呢？生：连结BC1即可.师：能证明吗？学生分析，教师板书，共同完成求解过程.点拔关键点，突破难点，示范书写及解题步骤.随堂

8、练习1如图，在三棱锥VABC中，VA = VC，AB = BC，求证：VBAC.2过ABC所在平面外一点P，作PO，垂足为O，连接PA，PB，PC.（1）若PA= PB = PC，C =90，则点O是AB边的 心.（2）若PA = PB =PC，则点O是ABC的 心.（3）若P APB，PBPC，PBP A，则点O是ABC的 . 心.3两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？4如图，直四棱柱ABCD ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，ACBD？学生独立完成答案：1略2（1）AB边的中点；（2）点O是ABC的外心；（3）点O是ABC的垂

9、心.3不一定平行.4ACBD.巩固所学知识归纳总结1直线和平面垂直的定义判定2直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.3线线垂直线面垂直学生归纳总结教师补充巩固学习成果，使学生逐步养成爱总结，会总结的习惯和能力.课后作业2.7 第一课时 习案学生独立完成强化知识提升能力备选例题例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB = AD，CB = CD，M为BD中点，作AOMC，交MC于O求证：AO平面BCD【解析】连结AMAB = AD，CB = CD，M为BD中点BDAM，BDCM又AMCM = M，BD平面ACMAO 平面ACM，BDAO又MCAO，BDMC = M，AO平面貌BCD【评析】本题为

10、了证明AO平面BCD，先证明了平面BCD内的直线垂直于AO所在的平面这一方法具有典型性，即为了证明线与面的垂直，需要转化为线与线的垂直；为了解决线与线的垂直，又需转化为另一个线与面的垂直，再化为新的线线垂直这样互相转化，螺旋式往复，最终使问题得到解决例2 已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值【解析】取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连AO由已知正方体，易知EOABC1D1，所以EAO为所求在Rt EOA中， ，sinEAO = 所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为【评析】求直线和平面所成角的步骤：（1）作作出斜线和平面所成的角；（2）证证明所作或找到的角就是所求的角；（3）求常用解三角形的方法（通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角形）（4）答7