2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何单元疑难突破练一第一课空间向量与立体几何含解析新人教A版选择性必修第一册202106082123.doc

1、单元疑难突破练(一)(60分钟100分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()ABCD2【解析】选C.对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，即，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面2(2021宁波高二检测)已知空间向量a，b(2，1，2)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A B C D【解析】选A.由空间向量a(1，n，2)，b(2，1，2)，若2ab与b垂直，则(2ab)b0，即2abb2，

2、即2n49，即n，即a即|a|.3已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则等于()A BC D【解析】选B.由0得352z0，所以z4.又因为平面ABC，所以即解得所以.4已知A(1，2，1)，B(1，3，4)，C(1，1，1)，2，则|为()A B C D【解析】选A.设P(x，y，z)，由2得(x1，y2，z1)2(1x，3y，4z)，所以x，y，z3，即P，所以，所以|.5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是所在棱的中点，AB1与平面B1D1EF所成的角的大小是()A.30 B45 C60 D90【解析】选B.以D1为坐标原点，D1A1

3、，D1C1，D1D为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，E，设平面B1D1EF的法向量为n(x，y，z)，则，可取n，又(0，1，1)，设AB1与平面B1D1EF所成的角为，则sin |cos n，|，故AB1与平面B1D1EF所成的角为45.6如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为()A. B C D【解析】选B.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6

4、，3，0)、F(3，6，0)时，A1，E，F，C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1，2，1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1，1)，故平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是()A B C D【解析】选ABC.0，0，所以ABAP，A

5、DAP，则A，B正确又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则C正确由于(2，3，4)，(1，2，1)，所以与不平行，故D错误8如图，已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，DD1，BC1的中点，下列结论中正确的是()A.C1D1平面CHDBAC1平面BDA1C三棱锥DBA1C1的体积为D直线EF与BC1所成的角为30【解析】选ABD.由题意，C1D1CD，C1D1平面CHD，CD平面CHD，所以D1C1平面CHD，所以A正确；建立空间直角坐标系，如图所示；由AB1，则(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)；所以1100，1010，所以，DA1，所以平

6、面BDA1，所以B正确；三棱锥D-BA1C1的体积为V三棱锥D-BA1C1V正方体ABCDA1B1C1D14V三棱锥A1ABD14111，所以C错误；E，F，所以，(1，0，1)，所以cos ，所以与所成的角是30，所以D正确三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请把正确的答案填在题中的横线上9在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若a，b，c，则_【解析】()(b)b()b(ac2b)abc.答案：abc10已知空间向量a，b，|a|2，|b|，ab2，则a，b_【解析】因为cos a，b，a，b0，所以a，b.答案：11如图，已知二面角l的平面角为，ABBC，

7、BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCCD1，则AD的长为_【解析】，所以22222221112cos ()32cos .所以|，即AD的长为.答案：12如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，ABCD，ADCDPD2，AB1，E，F分别为棱PC，PB上一点，若BE与平面PCD所成角的正切值为2，则(AFEF)2的最小值为_【解析】取CD的中点H，连接BH，EH.依题意可得，BHCD.因为PD平面ABCD，所以PDBH，从而BH平面PCD，所以BE与平面PCD所成角为BEH，且tan BEH2，则EH1，则E为PC的中点在RtPAB中，cos APB.因为

8、PB3，PC2，BC，所以cos BPC，所以BPC.将PBC翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中cos APCcos ，当F为AE与PB的交点时，AFEF取得最小值，此时，(AFEF)2AE2(2)2()222.答案：13如图，已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，点E满足3，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为，则sin 的最大值为_【解析】设棱长为4a，PBx(0x4a)，则PE.正四面体的高为a，设P到平面BCD的距离为h，则，所以hx，所以sin ，所以x2a时，sin 的最大值为.答案：14已知向量a(1，3，2)，b(2，1，1)，O为坐标原点，点A(3，1，4)，

9、B(2，2，2).则|2ab|_；在直线AB上，存在一点E，使得b，则点E的坐标为_(第一空2分，第二空3分)【解析】2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2ab|5.又t(3，1，4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，由b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此，此时点E的坐标为.答案：5四、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分15(10分)已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)已知向量kab与b互相垂直，求k的值；(3)求ABC的面积【解析】因为空间中三点A(2

10、，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b，(1)(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，因为|c|3，且c，所以cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，所以|c|3|m|3，所以m1，所以c(2，1，2)或c(2，1，2).(2)由题得a(1，1，0)，b(1，0，2)，所以kabk(1，1，0)(1，0，2)(1k，k，2)，因为向量kab与b互相垂直，所以(kab)b1k40，解得k5.所以k的值是5.(3)(1，1，0)，(1，0，2)，(2，1，2)，cos ，sin ，所以SABC|sin ，.16(10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC

11、的中点，且ABBCBB12.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角【解析】(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以ODAB1.因为AB1平面BC1D，OD平面BC1D，所以AB1平面BC1D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此(0，2，2)，(2，0，2).所以cos ，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos ，由于，故.17(10分)如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与

12、平面ABCD所成角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论【解析】(1)因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC，又因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为BDDED，所以AC平面BDE.(2)DA，DC，DE两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以，由AD3，可知：DE3，所以AF.则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，所以(0，3，)，(3，0，2)，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则，即令z，则n.因为AC平面BDE，所以为平面BDE的法向量，因为(3，3，0)，所以cos n，.因为二面角为锐角，故二面角FBED的余弦值为.(3)依题意，设M(t，t，0)(t0)，则(t3，t，0)，因为AM平面BEF，所以n0，即4(t3)2t0，解得t2，所以点M的坐标为(2，2，0)，此时，所以点M是线段BD靠近B点的三等分点