2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价三第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理含解析新人教A版选择性必修第一册202106082139.doc

1、三空间向量基本定理(15分钟30分)1已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为()A1 B0 C1 D2【解析】选C.()，而，则(22)1.2若e1，e2，e3是空间向量的一个基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z的值分别为()A，1， B1，C，1， D，1，【解析】选A.由题意得，dxaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得解得3已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db

2、，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_【解析】，所以()|21，所以cos ，所以异面直线a，b所成的角是60.答案：604a，b，c为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xaybzc0，则x_，y_，z_【解析】若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x0，则abc，所以a，b，c共面这与a，b，c是基底矛盾，故xyz0.答案：0005如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，.【解析】()abc；()()abc；()abc；a.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1O，A，B，

3、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则()A，共线 B，共线C，共线 DO，A，B，C四点共面【解析】选D.由题意知，向量，共面，从而O，A，B，C四点共面2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()Aabc BabcCabc Dabc【解析】选A.()c(ab)abc.3已知在空间四边形ABCD中，ACDBDC90，且AB2，CD1，则AB与CD所成的角是()A30 B45 C60 D90【解析】选C.由题意得0，所以()|2|21，所以cos ，所以AB与CD所成的角为60.4点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA平

4、面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，则满足xyz的实数x，y，z的值分别为() A， B，C， D，【解析】选D.如图所示，取PC的中点E，连接NE，则()()，又xyz，则x，y，z.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5下列说法正确的是()A若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线B空间的基底有且仅有一个C两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底D基底a，b，c中基向量与基底e，f，g中基向量对应相等【解析】选AC.A项中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一个基底

5、，A对；B项中空间基底有无数个，B错；C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错6已知在空间四面体OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，点N为BC中点，设a，b，c，则()AabcBabcCacDabc【解析】选BC.()cba；()bca；ca；ab.三、填空题(每小题5分，共10分)7在空间中平移ABC到A1B1C1(使A1B1C1与ABC不共面)，连接对应顶点设a，b，c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底a，b，c表示向量的结果为_【解析】如图，()b(ab)(ac)abc.答案：abc8如图，直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的

6、中点则CE与AD的位置关系是_；异面直线CE与AC所成角的余弦值是_【解析】设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且abbcca0，所以bc，cba.所以c2b20.所以，即CE与AD垂直；因为ac，所以|a|.又|a|，(ac)c2|a|2，所以cos ，即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.答案：垂直四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若m，n，t，求证：为定值，并求出该定值【解析】连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令，为空间的一个基底，()(

7、)().连接DM，因为点D，E，F，M共面， 所以存在实数，使得，即()()，所以(1)(1)mnt，由空间向量基本定理，知(1)m，n，t，所以4(1)444，为定值10如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求，【解析】设a，b，c，正四面体的棱长为1，(1)因为(abc)，(bc5a)，(ac5b)，(ab5c)，所以(bc5a)(ac5b)(18ab9|a|2)0，所以，即AOBO.同理，AOCO，BOCO.所以AO，BO，CO两两垂直(2)(abc)c(2a2bc)，所以|.又|，(2a2bc)(bc5a)，所以cos ，.又，0，所以，.【创新迁移】1如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间任一点，设a，b，c，则向量用a，b，c表示为_【解析】因为2，所以2()，所以ba2(c)，所以abc.答案：abc2如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60.当的值等于多少时，能使A1C平面C1BD?【解析】不妨设x，CC11，由A1C平面C1BD，得A1CC1B，A1CC1D，由0，得()()0，注意到，可得方程1x20，解得x1或x(舍去)，因此，当1时，能使A1C平面C1BD.