2021_2022版新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换单元素养评价含解析新人教B版必修第三册202103131226.doc

1、单元素养评价(二)(第八章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.cos215+cos275+cos 15cos 75的值是()A.B.C.D.【解析】选D.原式=+=.2.若tan =2,则的值等于()A.-B.C.-D.【解析】选B.=.3.(2020南宁高一检测)已知=5,则cos 2+sin 2=()A.-B.3C.-3D.【解析】选D.因为=5,所以=5tan =3,cos 2+sin 2=,故选D.4.(2020长沙高一检测)已知sin =,cos =,为锐角,则sin 的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为sin =,cos =,为锐角,因为cos 2

2、=2cos 2-1=-90,则tan Atan B与1的大小关系为()A.tan Atan B1B.tan Atan B90,所以A,B都为锐角.则有tan A0,tan B0,tan C0.又因为C=-(A+B),所以tan C=-tan(A+B)=-0,即tan Atan B1.6.若a,b是非零向量且满足(a-2b)a,(b-2a)b ,则a与b的夹角是()A.B. C.D. 【解析】选B.因为a2-2ab=0,b2-2ab=0,所以a2=b2=2ab ,|a|=|b|,所以cos =.所以=.7.已知A,B,C是ABC的三个内角,设f(B)=4sin Bcos 2+cos 2B,若f(

3、B)-m2恒成立,则实数m的取值范围是()A.m-3C.m1【解析】选D.f(B)=4sin Bcos 2+cos 2B=4sin B+cos 2B=2sin B(1+sin B)+(1-2sin 2B)=2sin B+1.因为f(B)-m2sin B-1恒成立.因为0B,所以0sin B1.所以-11.8.设ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),若mn=1+cos(A+B),则C=()A.B.C.D.【解析】选C.因为mn=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C=1-cos C,所以sin=,又因为

4、0C,所以C+=,故C=.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列计算正确的是()A.=1B.1-2sin275=C.cos4-sin4=D.cos275+cos215+cos 75cos 15=【解析】选ACD. 对于选项A,=tan 45=1;对于选项B,1-2sin275=cos 150=-,对于选项C,cos4-sin4=cos=; 对于选项D,原式=sin215+cos215+sin 15cos 15=1+sin 30=1+=.10.若函数y=sincos+cossin,则()A.函数的周期为2 B.函数的一个对称中心为 C.函

5、数的一条对称轴为x= D.函数的值域为 【解析】选ACD.y=sincos-cossin=sin=sin=cos x,故周期为2,x=是函数y=cos x的一条对称轴,值域为.11.ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)【解析】选ABC.在ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以ab=|a|b|cos 120=-1,所以(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0,所以(4a+b).12.已知锐角,满足sin -cos =,tan +tan

6、 +tan tan =,则()A.B.C. D.0,所以,所以.三、填空题(每小题5分,共20分)13.函数f(x)=sin2的最小正周期是.【解析】因为f(x)=(1-sin 4x),所以最小正周期T=.答案:14.(2020上海高一检测)已知sin =3cos ,则cos 2=.【解析】因为sin =3cos ,又sin 2+cos 2=1,解得cos 2=,sin 2=,故cos 2=cos 2-sin 2=-=-.答案:-15.(2020重庆高一检测)若,0,且sin =,cos =-,则cos (+)=.【解析】因为sin =,且,所以cos =-.因为cos =-,且00)的图象的

7、相邻两条对称轴的距离为.(1)求的值并写出函数f(x)的单调递增区间;(2)设是第一象限角,且f=,求的值.【解析】(1)f(x)=cos 2x+sin xcos x=+sin 2x,所以f(x)=sin +的最小正周期T=3,解得=,则f(x)=sin +.令2k-x+2k+(kZ),可得3k-x3k+(kZ),即f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)因为f=,即sin +=cos +=,所以cos =,又是第一象限角,所以sin =,所以=-.20.(12分)已知0,a=(2sin x+cos x,2sin x-cos x),b=(sin x,cos x),f(x)=ab,f(x)图象上

8、相邻的两个对称轴的距离是.(1)求的值.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】f(x)=ab=(2sin x+cos x)sin x+(2sin x-cos x)cos x=2sin2x+3sin xcos x-cos2x=1-cos 2x+sin2x-(1+cos 2x)=(sin 2x-cos 2x)+=sin+.(1)因为函数f(x)的图象上相邻的两个对称轴间的距离是,所以函数f(x)的最小正周期T=,则=1. (2)f(x)=sin+.因为x,所以,则当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-1;当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值.21.(12分)(2020潍

9、坊高一检测)设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cos x,1),b=(cos x,sin 2x+m).(1)求函数f(x)的最小正周期和在0,上的单调递增区间.(2)当x时,-4f(x)4恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=2cos 2x+sin 2x+m=2sin +m+1.所以函数f(x)的最小正周期T=,在0,上的单调递增区间为,.(2)因为当x时,f(x)单调递增,所以当x=时,f(x)的最大值等于m+3.当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.由题设知解得-6m1.22.(12分)如图,四边形ABCD是边长为10的正方形,以点A为圆心,9为半径画弧,分别交AB,AD于点E,F,P为上一动点,过点P分别作PMBC,PNCD,垂足分别为M,N,求矩形PMCN的面积的最小值.【解析】连接PA,设PAE=,如图所示.设矩形PMCN的面积为S,延长NP交AB于点H,则PM=HB=AB-AH=10-9cos ,PN=HN-HP=10-9sin .所以S=PMPN=(10-9cos )(10-9sin )=100-90sin -90cos +81sin cos .设sin +cos =t.则S=100-90t+(t2-1)=t2-90t+=+.因为,所以t=sin +cos =sin1,所以当t=时,Smin=,故矩形PMCN的面积的最小值为.