2021_2022版高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质素养评价检测含解析新人教A版必修520210317273.doc

1、等比数列的性质 (20分钟35分)1.已知数列an是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值为()A.9B.C.27D.3【解析】选B.因为数列an是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,所以,所以a1 010=1q1 009=.2.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成()A.511个B.512个C.1 023个D.1 024个【解析】选B.因为每20分钟分裂一次,所以经过3小时要分裂9次,即29=512个.3.在公差不等于零的等差数列an中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,

2、则a8=()A.4B.18C.24D.16【解析】选D.公差不等于零的等差数列an中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,设公差为d,由题意可得=a1a9,即(4+d)2=(4-d)(4+7d),求得d=2,则a8=a2+6d=4+12=16.4.在2和8之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则中间三个数的积等于.【解析】设a1=2,a5=8,所以a3=4,所以a2a3a4=a3=43=64.答案:645.已知数列an满足log2an+1-log2an=1,则=.【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以=2,所以数列an是公比q为2的等比数列,所以=q2=4.答案:4【补偿训练

3、】已知数列an满足an+1=3an,且a2a4a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=()A.5B.6C.8D.11【解析】选D.根据题意,数列an满足an+1=3an,则数列an为等比数列,且其公比q=3,若a2a4a6=9,则(a4)3=a2a4a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5a7a9)=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.6.3个互不相等的实数成等差数列,如果适当安排这3个数,又可以成等比数列,且这三个数的和为6,求这3个数.【解析】由题意,这3个数成等差数列,可设这3个数分别为a-d,a,a+d.因为a-d+a+a+d=6

4、.所以a=2,即3个数分别为2-d,2,2+d.若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),解得d=6或d=0(舍去),此时3个数分别为-4,2,8.若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解得d=-6或d=0(舍去),此时3个数分别为8,2,-4.若2为等比中项,则有22=(2+d)(2-d),解得d=0(舍去).综上可知,这3个数是-4,2,8.【补偿训练】 有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,前三个数的和为48,后三个数的积为8 000,求这四个数.【解析】设前三个数分别为a-d,a,a+d,则有(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.再设后三个数

5、分别为,b,bq,则有bbq=b3=8 000,即b=20.所以四个数分别为m,16,20,n.所以m=216-20=12,n=25,即四个数分别为12,16,20,25. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在等差数列an中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=()A.-B.-3C.-6D.2【解析】选A.因为a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,所以a2+a14=-6,a2a14=2,由等差数列的性质可知,a2+a14=2a8=-6,所以a8=-3,则=-.2.已知数列an满足=anan+2(nN*),若a3=1,a7=4a3,则a4a5a6=

6、()A.8B.-8C.8D.16【解析】选C.因为数列an满足=anan+2(nN*),所以an是等比数列,所以a3,a5,a7同号,因为a3=1,a7=4a3,所以a5=2,所以a4a5a6=8.3.在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=()A.11B.12C.14D.16【解析】选C.设数列an的公比为q,因为an为等比数列,所以a1a2a3=4,a4a5a6=12,所以=q9=3,an-1anan+1=(a2qn-2)3=q3n-6=324,所以n=14.4.数列an为各项都正的等比数列,a1=1,S3=7.若a1a2a3an

7、=433,则n=()A.10B.11C.12D.13【解析】选C.数列an为各项都正的等比数列,a1=1,则S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7;化简得q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(不合题意,舍去);又a1a2a3an=433,所以1222232n-1=266,即=66,化简得n2-n-132=0,解得n=12或n=-11(舍去),所以n=12.5.已知数列an是公差不为零的等差数列,bn是等比数列,a1=b10,a4=b40,则下列说法正确的是()A.a2+a3b2+b3B.a2+a30,a4=b40,所以a2+a3=a1+a4=b1+b4=b1(1+q3)=b1(1+q

8、)(1-q+q2),b2+b3=b1q(1+q),因为数列an是公差不为零的等差数列,a1=b10,a4=b40,所以q0,q1,所以a2+a3b2+b3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是.【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,=m,所以月平均增长率为-1.答案:-17.在正项等比数列an中,an+1an,a2a8=6,a4+a6=5,则=.【解析】因为数列an是正项等比数列,且a2a8=6,a4+a6=5,所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=

9、2,因为an+10).数列bn满足bn=anan+1(nN*).(1)若an是等差数列,且b3=12,求a的值及an的通项公式;(2)当bn是公比为a-1的等比数列时,an能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为an是等差数列,a1=1,a2=a,bn=anan+1,b3=12,所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,又因为a=a1+d=1+d0,得d-1,所以d=1,a=2,所以an=n.(2)an不能为等比数列,理由如下:因为bn=anan+1,bn是公比为a-1的等比数列,所以=a-1,所以a3=a-1,假设an为等比数列,由a1=1,a2=a得a3=a2,所以a2=a-1,此方程无解,所以数列an一定不为等比数列.