2022-2023学年高考数学一轮复习 解题技巧方法 第六章 第3节 外接球经典模型：二面角模型（学生版）.docx

1、外接球经典模型：二面角模型知识与方法设有公共边的和构成二面角，若A、B、C、D四点在同一球面上，则计算该球的半径（或体积、表面积等）这类问题，本节我们简称为二面角模型.无论和是什么样的三角形，二面角多大，该模型下外接球半径的计算原理是大致相同的.如下图所示，假设和是两个确定的三角形，二面角的平面角为，则这类问题的计算步骤如下：（1）找到和的外心、，设E为中点，则，所以即为二面角的平面角，故.（2）分别过、作和所在平面的垂线交于点O，则O即为球心，设，和的外接圆半径分别为和，则，同理，；（3）在中，由余弦定理可求得；（4）注意到，所以O、E、都在以为直径的圆上，该圆也是的外接圆，设其半径为r，则

2、由正弦定理，从而求得；（5）在中，根据计算球O的半径.（看不懂这些步骤?去看看视频吧）提醒：上面的计步骤是针对一般的情形，若已知条件比较特殊，如和为直角三角形，又或者二面角是直角等，计算过程可以相应简化；若设，则，特别地，当二面角为直二面角时，代入上述公式可得，这是这一模型下外接球半径的计算公式，其推导方法可以参考本节的配套视频，下面通过一系列例题来给同学们讲解具体问题中的求解办法.典型例题【例题】如下图所示，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的大小为90，则三棱锥的外接球的表面积为_.变式1四面体中，平面平面，则四面体的外接球的表面积为_.变式2 四面体中，则此四面体外接球的表面积

3、为（ ）A.B.C.D.变式3三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的大小为60，则三棱锥的外接球的表面积为_.变式4三棱锥中，是边长为2的等边三角形，若，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为_.变式5如右图所示，在三棱锥中，顶点P在底面上的射影G是的外心，二面角的大小为60，则三棱锥的外接球的表面积为_.强化训练1.（）三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的表面积为_.2.（）三棱锥中，二面角的大小为120，则三棱锥中外接球的半径为_.3.（）四面体中，且二面角的大小为120，则四面体外接球的半径为_.4.（）四面体中，是以为斜边的

4、直角三角形，且二面角的余弦值为，则四面体外接球的表面积为_.5.（）如下图所示，直三棱柱中，M是的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）A.B.C.D.6.（）如下图所示，在三棱锥中，是边长为1的正三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_.7.（）如下图所示，在菱形中，E为对角线的中点，将沿折起到的位置，若，P、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）A.B.C.D.8（）如下图所示，平面四边形中，现将四边形沿对角线折起，使二面角的余弦值为，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的半径为_.9.（）如下图所示，在四面体中，则该四面体外接球的表面积是（ ）A.B.C.D.10.（）如下图所示，空间四边形中，且二面角的大小为45，若A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为_.