广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知全集U=0，1，2，集合M=0，则UM=（）A1，2B0，1，2C0，1D0，22（5分）复数（2+i）i的虚部是（）A1B1C2D23（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值是（）A7B67C39D15254（5分）等比数列an中，a3=3，则前5项之积是（）A35B35C36D365（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB16CD86（5分）向量=（0，1，1

2、），=（0，1，0），则与的夹角为（）A0B30C45D607（5分）在区间0，2上随机取两个数x，y其中满足y2x的概率是（）ABCD8（5分）下列命题中是真命题的是（）A、R，均有cos（+）=coscosB若f（x）=cos（2x）为奇函数，则=k，kZC命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则命题“pq”为假命题Dx=0是函数f（x）=x32的极值点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答6小题，满分25分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.9（5分）不等式|3x4|4的解集是10（5分）的展开式中x3的系数为10

3、，则实数a=11（5分）=12（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为13（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=2py（p0）的焦点F，点M（p，yM）C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36，则p=（几何证明选讲选做题）14（5分）如图，在RtABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则C的半径长为（极坐标选做题）15以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为三、解答题：本题共有6个小

4、题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，0，求cos（+）的值17（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 1565岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一15，25）a0.75二25，35）2000.40三35，45）50.1四45，55）3b五55，6520.1（1）求a，b的值（2）设从45岁到65

5、岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数，求分布列、期望和方差18（14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为AB、C1D1、DC中点，AB=2，AD=，AC1=3（1）求证：C1E平面AFC（2）求二面角FACG的正切值19（14分）已知数列an，an2，an+1=，a1=3（1）证明：数列是等差数列（2）设bn=an2，数列bnbn+1的前n项和为Sn，求使（2n+1）2n+2Sn（2n3）2n+1+192成立的最小正整数n20（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3a4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（xa）（k0）与曲

6、线C2：y=x2相切，交C1于A2、E二点（1）若C1的离心率为，求C1的方程（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程21（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a1，a+1）（a1）上有极值点，求实数a的范围（2）求证：x1时，x（x+1）f（x）广东省珠海市2015届高三上学期9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1（5分）已知全集U=0，1，2，集合M=0，则UM=（）A1，2B0，1，2C0，1D0，2考点：补集及其运算 专题：集合分析：利用补集

7、的定义及运算法则求解解答：解：全集U=0，1，2，集合M=0，则UM=1，2故选：A点评：本题考查集合的补集的求法，是基础题，解题时要认真审题2（5分）复数（2+i）i的虚部是（）A1B1C2D2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：先将复数化简为代数形式，再根据复数虚部的概念作答解答：解：（2+i）i=2i+i2=1+2i，根据复数虚部的概念，虚部是2故选C点评：本题考查了复数的计算，复数的实部、虚部的概念属于基础题，复数z=a+bi（a，bR）的实部为a，虚部为b（勿记为bi）3（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值是（）A7B67C39D15

8、25考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可解答：解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=2，k=2，第2次判断后循环，s=6，k=3，第3次判断并循环s=39，k=4，第3次判断退出循环，输出S=39故选：C点评：本题考查循环结构，注意循环条件的判断，循环计算的结果，考查计算能力4（5分）等比数列an中，a3=3，则前5项之积是（）A35B35C36D36考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设an是等比数列的公比为q，则前5项之积是（a1）5q1+2+3+4=（a3）5，即可得出结论解答：解：设an是

9、等比数列的公比为q，则前5项之积是（a1）5q1+2+3+4=（a3）5=35，故选：B点评：本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）AB16CD8考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，圆锥的底面直径为4，则底面半径r=2，高h=4，故该几何体的体积V=，故选：A点评：本题考查学生的空间想象能力，分析出几何体是形状是解答的关键，难度不大，是基础题6（5分）向量=

10、（0，1，1），=（0，1，0），则与的夹角为（）A0B30C45D60考点：空间向量的数量积运算 专题：空间向量及应用分析：利用向量的夹角公式即可得出解答：解：设与的夹角为=1，=，cos=，0，=45故选：C点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题7（5分）在区间0，2上随机取两个数x，y其中满足y2x的概率是（）ABCD考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可解答：解：在区间0，2上随机取两个数x，y，对应区域的面积为4，满足y2x，对应区域的面积为=1，所求的概率为故选

11、：B点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题8（5分）下列命题中是真命题的是（）A、R，均有cos（+）=coscosB若f（x）=cos（2x）为奇函数，则=k，kZC命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则命题“pq”为假命题Dx=0是函数f（x）=x32的极值点考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：A，举例说明，令=，=，验证即可；B，f（x）=cos（2x）为奇函数=k+，kZ，从而可判断其正误；C，命题“p”为真命题p为假命题，利用命题真值表判断即可；D，f（x）=3x20恒成立，可知函数f（x）=x32在R上单调递增，无

12、极值点解答：解：A，=，=时，cos（+）=0coscos，故A错误；B，若f（x）=cos（2x）为奇函数，则=k+，kZ，=k，kZ，故B错误；C，命题“p”为真命题，命题“q”为假命题，则p为假命题，故命题“pq”为假命题，正确；D，f（x）=3x20恒成立，故函数f（x）=x32在R上单调递增，无极值点，故D错误综上所述，命题中是真命题的是C，故选：C点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考全称命题的真假判断及真值表的应用，考查余弦函数的奇偶性及函数的单调性与极值，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答6小题，满分25分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两

13、题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.9（5分）不等式|3x4|4的解集是x|0x考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题分析：首先对不等式去绝对值可得到1x21，然后求解x的取值范围即得到答案解答：解：由不等式|3x4|4，首先去绝对值可得到43x44；移项后得：03x8解得：0x故答案为：x|0x点评：本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解计算量小较容易10（5分）的展开式中x3的系数为10，则实数a=2考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值解答：解：Tr+1=C5

14、rx5r（ ）r=arC5rx52r，又令52r=3得r=1，由题设知C51a1=10a=2故答案为2点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题11（5分）=e1考点：定积分 专题：计算题分析：由于=，即可得出答案解答：解：（ex）=ex，=e1故答案为e1点评：理解微积分基本定理是解题的关键12（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为3考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，代入目标函数的解析式，分别求出对应的函数值，比较后可得答案解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示，目标函数z=x+yz

15、O=0+0=0，zA=0+1.5=1.5，zB=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值为3故答案为：3点评：本题考查的知识点是简单线性规划，角点法是解答此类问题最常用的方法，常用来求解选择和填空题13（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x2=2py（p0）的焦点F，点M（p，yM）C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36，则p=6考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出圆的半径，M为圆心的圆与曲线C的准线相切，可得M到准线的距离为6，再结合M（p，yM）C，即可求出p的值解答：解：圆面积为36，圆的半径为6，M为圆心的圆与曲线C的准线相切，M

16、到准线的距离为6，yM=6，M（p，yM）C，yM=，p=6，故答案为：6点评：本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础（几何证明选讲选做题）14（5分）如图，在RtABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则C的半径长为考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明 专题：直线与圆分析：在RtABC中，利用勾股定理即可得出BC又AB与C相切与点D，连接CD，得到CDAB利用SABC=，即可得出C的半径CD解答：解：在RtABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，=6AB与C相切与点D，连接CD，CDABSABC=，=C的半径长为故答案为点评：熟

17、练掌握勾股定理、圆的切线的性质和“等面积变形”是解题的关键（极坐标选做题）15以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为5考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求得A到圆心C的距离AC，再加上半径，即为所求解答：解：把点A的极坐标（2，）化为直角坐标为（2，2），把曲线C的参数方程为，消去参数，化为直角坐标方程为（x2）2+（y+2）2=1，表示以C（2，2）为圆心、半径等于1的圆求得AC=

18、4，则曲线C上的点B与点A距离的最大值为AC+r=4+1=5，故答案为：5点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点和圆的位置关系，属于基础题三、解答题：本题共有6个小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知f（）=，0，求cos（+）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期；（2）由f（）=求出sin（+）的

19、值，考虑的取值范围，求出+的取值范围，从而求出cos（+）的值解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，xRf（x）的最小正周期为T= （2）f（）=2sin2（）+1=2sin（+）+1=，0，时，点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，解题时应注意三角函数的化简以及由值求角和由角求值时角的范围，是中档题17（12分）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 1565岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人

20、数频率分布直方图和“追星族”统计表：“追星族”统计表组数分组“追星族”人数占本组频率一15，25）a0.75二25，35）2000.40三35，45）50.1四45，55）3b五55，6520.1（1）求a，b的值（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数，求分布列、期望和方差考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由频率分布直方图能求出a=300，b=0.1（2）由45，65范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，B（2，），由此能求出分布列、期望和方差解答：

21、（本小题满分12分）解：（1）由题设知15，25）这组人数为0.04101000=400，（1分）故a=0.75400=300，（2分）45，55）这组人数为0.003101000=30，故b=（3分）综上，a=300，b=0.1（4分）（2）由45，65范围内的样本数据知，抽到追星族的概率为，B（2，）（6分）故的分布列是：012p0.810.180.01（8分）的期望是（10分）的方差是（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，是中档题，解题时要注意二项分布的性质的合理运用18（14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别

22、为AB、C1D1、DC中点，AB=2，AD=，AC1=3（1）求证：C1E平面AFC（2）求二面角FACG的正切值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知条件推导出四边形AEC1F是平行四边形，由此能证明C1E平面AFC（2）由已知得FG平面ABCD，过F做FHAC于H，又ACFG，由已知得FHG就是二面角FACG的平面角，由此能求出二面角FACG的正切值解答：（本小题满分14分）（1）证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1中点，AEC1F且AE=C1F，四边形AEC1F是平行四边形，C1EAF，（3分）

23、AF平面AFC，C1E平面AFC，C1E平面AFC（5分）（2）解：长方体ABCDA1B1C1D1中，F、G分别为C1D1、DC中点，FG平面ABCD，（7分）过F做FHAC于H，又ACFG，AC平面FGH，GHAC，FHG就是二面角FACG的平面角，（9分），在ACG中，GHAC=ADCG，（11分）直角三角形FGH中，（13分）二面角FACG的正切值为（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（ 14分）已知数列an，an2，an+1=，a1=3（1）证明：数列是等差数列（2）设bn=an2，数列bnbn+1的前n项

24、和为Sn，求使（2n+1）2n+2Sn（2n3）2n+1+192成立的最小正整数n考点：数列的求和；等差关系的确定 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明即可；（2）确定数列bnbn+1的通项，利用裂项法求和，即可得出结论解答：（1）证明：由得（2分）an2，（5分）数列是公差为2的等差数列 （6分）（2）解：由知（7分），（9分）=（11分）故等价于n2n+2（2n3）2n+1+192即2n+164=26，故n5（13分）使成立的最小正整数n=6 （14分）点评：本题考查等差数列的证明，考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错裂项法求和在问题中的应

25、用20（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3a4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（xa）（k0）与曲线C2：y=x2相切，交C1于A2、E二点（1）若C1的离心率为，求C1的方程（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由C1的离心率得a2=9，即可求出C1的方程（2）利用韦达定理，表示出|A2E|，利用换元，导数法，即可求|A2E|取得最小值时C2的方程解答：解：（1）由C1的离心率得a2=9（2分）（3分）（2）l与C2方程联立消y得由l与C2相切知=k23ak=0，由k0知k=3a（5分）

26、l与C1方程联立消y得（4+a2k2）x22a3k2x+a4k24a2=0（6分）设点E（xE，yE），则l交C1于A2、E二点，xE、a是的二根，故（8分）=（10分）令t=a29，16，则令，则在t9，16上恒成立故f（t）在9，16上单减 （12分）故t=16即a=4，k=12时f（t）取得最小值，则|A2E|取得最小值此时（14分）点评：本题考查椭圆、抛物线的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，难度大21（14分）已知函数f（x）=（1）若函数f（x）在（a1，a+1）（a1）上有极值点，求实数a的范围（2）求证：x1时，x（x+1）f（x）考点：利用导数研究函数的极值

27、；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 分析：（1）求导数，确定函数的单调性，利用函数f（x）在（a1，a+1）（a1）上有极值点，建立不等式，即可求实数a的范围（2）设h（x）=x（x+1）f（x），则h（x）=2+lnx+，证明h（x）在1，+）上单调递增，即可得出结论解答：（1）解：f（x）=，f（x）=，（0，1）上，f（x）0，（1，+）上，f（x）0，函数在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f（x）在（a1，a+1）（a1）上有极值点，1a2；（2）证明：设h（x）=x（x+1）f（x），则h（x）=2+lnx+x1，h（x）0，h（x）在1，+）上单调递增，h（x）h（1）=20，x1时，x（x+1）f（x）点评：本题考查函数的单调性，考查函数的极值，考查不等式的证明，正确运用函数的单调性是关键